甲陽中学校 算数 (1日目) その2 2018(H30)入試分析

2018.02.20 16:26|入試問題分析(算数)
大問4の図形の問題を扱います。

(問題)H30 甲陽学院中学校 算数(第1日) 大問4番
正三角形ABCの辺ABの真ん中の点をDとします。また,PとQはそれぞれ辺BC,AC上の点で,図のようにAとP,PとQ,QとDを直線で結んだときにその長さの合計AP+PQ+QDが一番短くなるような点とします。
kouyoyu1812m1.jpg
(1)長さの比BP:PC,AQ:QCを最も簡単な整数の比でそれぞれ求めなさい。

(2)直線APと直線QDが交わる点をRとします。三角形PQRの面積は正三角形ABCの面積の何倍ですか。



(1)
最短距離の問題は図を折り返して,2点を直線で結べばよかったですね。
kouyou1812k1.jpg
ACで折り返して、更にB'Cで折り返してDとA'を直線で結びます。
一つの解法としてはDCとAA'の補助線でも引けば、図よりB'P':P'C=3:1よりBP:PC=3:1
AQ:QC=AD:P'C=2:1
とわかります。


(2)
kouyou1812k2.jpg
RはDA'とAPとの交点なので、△ABA'にベンツ切りを使ってAR:RPを出す方法があります。
△ARB:△ARA'=BP:PA'=3:(4+1)=3:5
△ARA':△BRA'=AD:DB=5:5
よって
AP:RP=(△ARB+△ARA'+△BRA'):△BRA'
=(3+5+5):5
=13:5
したがって
△PQR=△APQ×5/13
=△APC×2/3×5/13
=△ABC×1/4×2/3×5/13
=△ABC×5/78
5/78倍とわかりました


使うことは特殊なことではなく、よく使う方法なので普段からたくさん練習しておくことで点数につながっていくと思います。
勉強がんばっていきましょう(畠田)

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甲陽中学校 算数(1日目) その1 2018(H30)入試分析

2018.02.17 11:33|入試問題分析(算数)
甲陽学院中学1日目の問題をとりあげたいと思います。

受験者数 389名→363名→350名→349名→317名→382名→369名→402名
合格者数 218名→216名→219名→219名→215名→220名→219名→222名
実質倍率 1.78倍→1.68倍→1.60倍→1.59倍→1.47倍→1.74倍→1.68倍→1.81倍
今年は例年よりも高い倍率となりました。

各科目の得点情報は
受験者平均
国語① 64.9→49.4→63.1→62.0→56.5→53.6→55.2
国語② 59.9→59.0→69.5→49.3→60.7→59.7→52.8
算数① 56.0→49.8→60.3→62.1→58.3→58.9→62.1
算数② 54.0→56.3→61.4→53.1→47.5→54.3→58.3
理科  54.7→52.1→67.9→53.7→59.8→56.9→47.9
合格者平均
国語 132.0→114.9→138.1→117.7→125.4→119.9→117.1
算数 128.6→122.6→138.3→127.2→119.0→130.5→141.4
理科 58.8→58.1→71.7→57.1→59.8→60.6→53.3

算数の(①の平均点)+(②の平均点)は
110.0→106.1→121.7→115.2→105.8→113.2→120.4
これと合格者平均との差は
18.6→20.5→16.6→12→13.2→17.3→21
例年に比べて少し差がつきやすかったようです。

それでは1日目の速さの問題を取り上げます。

(問題)H30 甲陽学院中学校 算数(第1日) 大問3番
太郎,次郎,三郎は,直線道路で結ばれたA市とB市の間をそれぞれ一定の速さで一往復します。太郎と三郎はA市を,次郎はB市を同じ時刻に出発し,出発してから15分後に太郎と次郎ははじめて出会いました。そして,次郎がA市に着いたとき,太郎と三郎ははじめて出会いました。さらに,太郎と次郎が折り返したあと出会ったのは,はじめて出会った地点から600mだけA市に近い地点でした。
(1)太郎と次郎が折り返したあと出会ったのは,はじめて出会ってから何分後ですか。

(2)太郎と次郎の速さの差は,毎分何mですか。

(3)三郎の速さが毎分45mです。A市とB市は何m離れていますか。




(1)太郎君と次郎君が最初に出会うと二人の歩いた距離の和はAB1つ分で15分かかり、次に出会うまでの距離の和はAB2つ分なので15分×2=30分後になります。

(2)
kouyou1811k1.jpg
○から×までを15分間、×から□までが30分間です。

太郎と次郎が初めて出会ってからの30分間に進む距離を考えると図から
(太郎:×から□まで)-(次郎:○から×までの2倍)=600m
なので太郎と次郎の速さの差は
600÷30=20m/分
とわかります。

(3)
kouyou1811k2.jpg
○から×までのそれぞれの進んだ距離を考えて
(三郎の進んだ距離)は速さ45m/分から㊺
(太郎の□から×)までが太郎と次郎の速さの差20m/分から⑳
とおくと
(太郎の進んだ距離)=㊺+⑳+⑳
(次郎の進んだ距離)=㊺+⑳
となり
太郎の速さは45+20+20=85m/分
次郎の速さは45+20=65m/分
したがってABの距離は(85+65)×15=2250mとわかります。


同じ時刻は同じ記号を使うなど状況図を描いて、時間が一定の場合は速さと距離は比例します。
何が一定なのか?を意識して練習していけば点数に結びついていくのでがんばりましょう。(畠田)
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灘中学校 算数 (2日目)2018(H30)入試分析

2018.02.16 15:02|入試問題分析(算数)
灘中学校、算数2日目をとりあげます。

受験者平均が(H24)71.4⇒(H25)54.9⇒(H26)49.7⇒(H27)52.7⇒(H28)50.8⇒(H29)48.4⇒(H30)54.8
合格者平均が(H24)86.2⇒(H25)70.3⇒(H26)63.9⇒(H27)64.6⇒(H28)61.2⇒(H29)62.4⇒(U30)69.2

受験者平均,合格者平均ともに例年より高めで,ここ最近ではこの差は大きめです。

それでは,問題を一つとりあげたいと思います。

(問題)H30 灘中学校・2日目算数 大問4番の問2
1辺の長さが5cmの立方体のブロックが2種類あります。一方は光を通す透明なブロックで,もう一方は光を通さない黒いブロックです。また,図1は,光を通す6枚の正方形の板で囲まれた,1辺の長さが15cmの立方体の箱です。面ABCDの板だけふたになっています。
ふたを外して箱の中に2種類のブロックを合わせて27個入れるとき,それぞれのブロックが箱の中にどの位置にあるかを表す記号を次のように定めます。まず,1つの頂点がEにあるブロックの位置を1-1-1という記号で表します。次に,1-1-1を基準にして,EからFに向かう方向にx個目,EからHに向かう方向にy個目,EからAに向かう方向にz個目にあるブロックの位置をx-y-zという記号で表します。例えば,3-2-1の位置は図2の通りです。

nada20182m2.jpg
(1)ふたを外して箱の中に2種類のブロックを合わせて27個入れたのち,ふたを閉じ,面EFGHが床に触れるように箱を水平な床の上に置くと,図1のADに平行な矢印の方向から見ても真上から見ても,図3のように見えました。黒く見える部分を斜線で表しています。
(ア)黒いブロックが必ず入っている位置を表す記号をすべて,解答欄に記入しなさい。ただし,1つの解答欄には1つの位置を表す記号を記入しなさい。また、解答欄をすべて使うとは限りません。

[      ][      ][      ][      ][      ]
[      ][      ][      ][      ][      ]

(イ)(ア)で答えた位置以外に,黒いブロックが入っている可能性がある位置を表す記号をすべて答えなさい。ただし,1つの解答欄には1つの位置を表す記号を記入しなさい。また,解答欄をすべて使うとは限りません。
[      ][      ][      ][      ][      ]
[      ][      ][      ][      ][      ]

(ウ)箱の中にある黒いブロックの個数は最大で[      ]個,最小で[      ]個です。
(エ)箱の中の黒いブロックの配置として可能なものは全部で[      ]通りあります。


nada20182m1.jpg
(2)図4のように,箱の頂点Dにひもをつけてつるし,箱を床から離します。このとき,光を真上から当てたときに床にできる影を考えます。

(ア)図2の1-1-1,3-2-1の2つの位置に黒いブロックを入れ、その他の位置に透明なブロックを入れます。床にできる影のうち,3-2-1の位置にある黒いブロックの影は図5の斜線部分のような正六角形になります。1-1-1の位置にある黒いブロックの影を図5にかき入れなさい。ただし,影のふちを太くなぞり,内側を斜線で示しなさい。

(イ)箱を水平な床の上に置くと,ADに平行な矢印の方向から見ても真上から見ても,図3のように見えるようにブロックを箱に入れる場合を再び考えます。その中で箱の中にある黒いブロックの個数が最大の場合について,床にできる影を(ア)と同じように図6にかき入れなさい。




そのまま立体のまま考えても解ける人は解けると思いますが、焦ってくると混乱してきて頭がおかしくなりそうになります。
そこで問題文で1-1-1や3-2-1のように黒いブロックを座標のように表しているので座標のように考えて解いてみることにします。

nada20182k12.jpg
立方体の頂点の影に対応する記号を記入し、図のように立方体にx軸,y軸,z軸をとると、ぞれぞれの軸の影は図のようになります、
そして,1-1-1の立方体の影は紫のようになります。
そこで1-1-1を影においてx軸に1,y軸に1,z軸に1進ませた青い点に対応させます。
すると青い点は正六角形の右下の頂点になります。

(2)(ア)
nada20182k4.jpg
1-1-1と3-2-1は影においてそれぞれ進ませると青い点になるので
これが右下の頂点になるように正六角形を描きましょう。

(イ)
nada20182k3.jpg
(1)から1-2-2,3-2-2,2-1-1,2-3-1,2-1-3,2-3-3でそれぞれ影において進ませて青い点を記入すると
「(y軸に1進ませること)+(z軸に1進ませること)」=「x軸に1進ませること」の関係が影響し
1-2-2と2-1-1
3-2-2と2-3-3
が同じ点となり図の4つの青い点になります。
これが右下の頂点になるように正六角形を書いてください。

ややこしくなりそうな問題でも、問題文がヒントになっていたりすることもあります。
そしてこのような移動や影の問題では、頂点の1点だけに注目することなどの考え方も練習していけば点数につながるので色々な問題に触れて考え方を吸収していきましょう!(畠田)
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灘中学校 算数(1日目)2018(H30)入試分析 その2

2018.02.15 16:10|入試問題分析(算数)
灘中学校の1日目をもう一問とりあげます。

(問題)H30 灘中学校・1日目算数 大問9番
光が鏡で反射するときには,図1のように角㋐と角㋑の大きさが等しくなります。
図2は,3枚の鏡AB,BC,CAで,何回も反射しながら同じ経路を繰り返し進む光の様子を表しています。このとき,角㋒の大きさは[   ]度です。

nada201812m1.jpg



反射と言えば、折り返しです。
色々な解法が考えられると思いますが、辺ABと辺ACで三角形を折り返すと図のようになります。
nada201812k1.jpg

○2つと×2つと△2つの和は、青い三角形の外角になっていて360°なので
○+×+△=180
左下の三角形と右下の三角形の内角の和から
○+×+74=180
○+78+△=180
なので3つの式を見比べると
×=78°,△=74°,○=180-74-78=28°
とわかりました。

使うことは基本的なことですが、対応できるバリエーション多くしておいて解けるようによく練習をしておきましょう!(畠田)
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灘中学校 算数(1日目)2018(H30)入試分析 その1

2018.02.13 19:59|入試問題分析(算数)
今年から入試問題解説記事を担当することになった畠田です。
よろしくお願いします。

最初は灘中学校の1日目です。

資料情報をまず見てみると,
実質倍率は(H24)2.81⇒(H25)2.81⇒(H26)2.97⇒(H27)2.61⇒(H28)2.67⇒(H29)2.76⇒(H30)2.88
となり例年より高めです。

平均点は(教科,受験者平均点,合格者平均点)の順に
(国語1日目,59.4点,63.9点)
(国語2日目,70.7点,77.3点)
(国語合計,130.1点,141.2点)
(算数1日目,52.6点,66.5点)
(算数2日目,54.8点,69.2点)
(算数合計,107.4点,135.7点)
(理科,62.5点,71.9点)
(総合,300.0点,348,7点)

算数1日目の点数に目を向けると,
受験者平均が(H24)66.5⇒(H25)45.0⇒(H26)57.2⇒(H27)41.9⇒(H28)42.7⇒(H29)49.1⇒(H30)52.6
合格者平均が(H24)79.4⇒(H25)58.6⇒(H26)73.3⇒(H27)54.4⇒(H28)54.8⇒(H29)63.1⇒(H30)66.5

なのでここ数年では平均点は高めでしたが、受験者平均と合格者平均の差は例年並みです。

今年は去年までとは逆で1枚目の数の問題が、2枚目の図形の問題よりも点数がとりやすかったです。
一つの問題に固執せずに全ての問題を目を通せるような余裕のある男になるように勉強していきましょう。

それでは、図形系の問題を一つとりあげたいと思います。

(問題)H30 灘中学校・1日目算数 大問10番
右の図のように,正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり,6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。三角形ABP,CDP,EFPの面積がそれぞれ3cm^2,5cm^2,8cm^2であるとき,三角形BCPの面積は[      ]cm^2です。
nada1811m1.jpg


正六角形とこれば、まず6つの正三角形を分割することが考えられます。
色々な解法が考えられますが、3+5=8で△ABP+△CDP=△EFPの関係を使えと言う意図であったと推測して解法を考えてみると
nada1811k1.jpg
図より赤の部分は正三角形2個分になります。

nada1811k2.jpg
すると図より緑の三角形は正三角形3個分から赤の部分の正三角形2個分を引いて、正三角形1個分となり

緑の三角形はADを底辺と考えると、その底辺は正三角形の底辺の2倍です。
なので緑の三角形の高さは正三角形の高さの1/2倍になるので
△BCP:△EFP=(1-1/2):(1+1/2)
=1:3
よって
△BCP=△EFP×1/3
8/3cm^2
とわかりました。

正六角形を6つの正三角形に分ける問題は中学受験ではよく出るので、あらゆるパターンを練習しておいて点数に結びつけましょう。
頑張ってください!(畠田)
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