聖光学院中学校 算数 問題解説&入試分析★2018年(H30年)

2018.04.20 21:53|入試問題分析(算数)
今回は聖光学院をとりあげます

第1回は受験者数は640人、合格者数は240で実質倍率は2.67倍

科目別得点結果は(科目,満点,平均点,合格者平均,合格最低点)の順に
(国語,150,104.2,93.8,69)
(算数,150,94.1,117.0,62)
(理科,100,65.9,72.9,49)
(社会,100,68.8,74.1,56)
(合計,500,32.5,368.3,341)
です。

やはり算数が受験平均と合格者平均の差が大きいですが,差をつけやすそうな問題だと思います。

それでは実力の差が出そうな旅人算の問題です。

(問題)H30 聖光学院中学校 大問3
聖さんと光さんがP地点からQ地点に向かって,同時に同じ速さで出発しました。光さんは途中で忘れ物に気づき,そのままの速さですぐにP地点に向かって戻りました。学さんは光さんが忘れ物に気づいて6分後に,光さんの忘れ物を持って,P地点からQ地点に向かって出発しました。その後しばらくすると,学さんは戻ってきた光さんと出会い,2人は一緒に学さんが歩いてきた速さでQ地点に向かって進みました。学さんの歩く速さは聖さんの歩く速さと同じだったので,光さんと学さんがQ地点に到着したのは,聖さんがQ地点に到着してから22分後になりました。
もし,学さんの歩く速さが聖さんの歩く速さの5/3倍で,光さんと学さんが出会った後,2人が一緒に学さんが歩いてきた速さでQ地点に向かって進んだとすると,光さんと学さんがQ地点に到着するのは聖さんがQ地点に到着してから24秒後になります。また,学さんの歩く速さが聖さんの歩く速さよりも1分あたり20m速く,光さんと学さんが出会った後,2人が一緒に学さんが歩いてきた速さでQ地点に向かって進んだとすると,光さんと学さんがQ地点に到着するのは聖さんがQ地点に到着してから10分後になります。
このとき,次の問いに答えなさい。
(1)光さんと学さんが出会ったのは,聖さんと光さんがP地点を出発してから何分後ですか。
(2)聖さんがQ地点に到着したのは,学さんがP地点を出発してから何分後ですか。
(3)P地点からQ地点までの距離は何kmですか。



(1)ダイアグラムか状況図かと言うところです。
ダイアグラムでも大丈夫ですが、そんなに複雑ではないので状況図で書いてやってみます。
まず最初の速さが3人とも同じの場合を考えます。
seikou2018k1.jpg
同じ時刻のところは同じ印をつけます。
旅人算では何が一定なのかを考えることが大切です。
3人とも速さは同じで距離が時間に比例するので、距離を時間で考えることができます。

PQは青+緑ですが学さんの□からQまでは22分より青は22分に対応します。
光さんの×からRまで6分より,○からRまでは22-6=16分
よってから△の紫2つは16-6=10分より紫1つは5分に対応します。
したがって光さんと学さんが出会ったのは○から△までの時間で16+6+5=27分後とわかります。


(2)同じように旅人算では何が一定なのかを考えます。
聖さんと学さんが進む距離がPQで同じなので、速さの比と時間の比は逆比です。

速さの比は
聖:学=1:5/3=3:5より
PQにかかる時間の比は
聖:学=5:3
なのでPQを進むのに聖のかかる時間⑤分,学のかかる時間③分とおけます。
時間の差⑤-③=②分は22-24/6=108/5分より
②=108/5
①=54/5
よって聖さんのPQ進むのかかる時間は⑤=54分,求める緑にかかる時間は54-22=32分とわかりました。


(3)同じく何が一定なのかに注目します。
聖さんと学さんは同じPQを進みます。

PQを進むのにかかる時間の比は
聖:学=54:(54-22+10)
=54:42
=27:21
速さの比は逆比で
聖:学=21:27
よって聖の速さ㉑m/分,学の速さ㉗m/分とおけてこの差㉗-㉑=⑥は20m/分より
⑥=20から
①=10/3
聖の速さは㉑=70m/分
よってPQは70×54=3780mつまり3.78kmとわかりました。


がっちりと旅人算で使う考え方がはまる問題です。
同じ時刻は同じ印をつける,距離,速さ,時間の何が一定なのかを考えることを意識して練習して合格点を狙いにいきましょう。(畠田)
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慶應義塾中等部 算数 問題 解説&入試分析★2018年(H30年)

2018.04.16 21:57|入試問題分析(算数)
今回は慶應義塾中等部です。

問題の難易度は高くないので男子なら8割5分、女子なら9割を目標にしましょう。
標準的な問題を早く正確に処理することが求められます。


(問題)H30年 慶應義塾中等部 大問7
同じ大きさの正三角形のタイルが140枚あります。このタイルをすき間なく並べて、正三角形または正六角形をつくります。[図1],[図2]はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。
次の[      ]に適当な数をいれなさい。
keiouchuto2018m1.jpg
(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で[      ]枚使います。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、正三角形をつくるのに使うタイルは[ア]枚、正六角形をつくるのに使うタイルは[イ]枚です。



(1)
まずは手を動かして正三角形になる場合を書いてみて実験してみます。
keiouchuto2018k1.jpg
小さいものから順に1枚,4枚,9枚,16枚となっていくので平方数であることがわかります。
よって140枚をこえない最大の平方数を考えて11×11=121枚です。


(2)
今度は正六角形になる場合はどんな場合か書いてみて実験してみます。
keiouchuto2018k2.jpg
すると,正三角形の6倍であることに気付いてきます。
正六角形は(平方数)×6枚と言うことになります。

正三角形と正六角形の枚数が140をこえない場合を考えることになりますが,正六角形の枚数である(平方数)×6の方が荒いのでこちらの値で場合分けすることにします。
(1×1)×6=6枚,(2×2)×6=24枚,(3×3)×6=54枚,(4×4)×6=96枚
で(5×5)×6=150は140を超えて4パターンの値しかありません。

●正六角形の枚数が6枚の時
残り140-6=134枚
最大になる正三角形は11×11=121枚
余ったタイルは134-121=13枚

●正六角形の枚数が24枚の時
残り140-24=116枚
最大になる正三角形は10×10=100枚
余ったタイルは116-100=16枚

●正六角形の枚数が54枚の時
残り140-54=86枚
最大になる正三角形は9×9=81枚
余ったタイルは86-81=5枚

●正六角形の枚数が96枚の時
残り140-96=44枚
最大になる正三角形は6×6=36枚
余ったタイルは44-36=8枚

以上より余ったタイルが5枚の場合が一番少なく
正三角形が81枚、正六角形が54枚となります。


このような処理能力を求められてる学校の問題では、考えて悩むのではなく、手を動かして書いてみて掴んでいきましょう(畠田)
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フェリス女学院中学校 算数 問題 解説&入試分析★2018年(H30年)

2018.04.16 15:46|入試問題分析(算数)
フェリス女学院を取り上げます。
2018年度の受験者数は386人で合格者196人、倍率は1.97倍です。

合格者平均点は
国語:60/100
算数:48/100
社会:38/60
理科:35/60

と例年のように算数が低く、勉強すればとれる問題が多いので他の受験生に大きな差をつけやすい教科でもあります。

それでは図形の回転の理解が深まりそうな問題をとりあげます。

(問題)H30年 フェリス女学院中学校 第3問
四角形ABCDを,(あ)図のように矢印の向きに回転させ,四角形EFGDと重なるように動かすことを,「四角形ABCDを点Dのまわりに,時計まわりに90°回転させる」といいます。次の[ア],[イ],[ウ]にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
feri2018km1_201804161531590d1.jpg

(1)(い)図は,ある四角形を点Oのまわりに,時計まわりに90°回転させるとき,その四角形が通るところを表したものです。曲線⌒PRは点Oを中心とする円の一部です。3つの点Q,O,Rは一直線上にならんでいます。また,直線PQの長さと直線QOの長さは等しいです。この四角形の角のうち,最も小さい角の大きさは[ア]°です。
feri2018km2_2018041615320037f.jpg

(2)(い)図は,(1)とは別の四角形を点Oのまわりに時計まわりに[      ]°回転させたとき,その四角形が通ったところを表したものと考えることができます。[      ]にあてはまる数のうち,最も小さいものは[イ]で,そのときの四角形の角のうち,最も小さい角の大きさは[ウ]°です。
feri2018km3_20180416153202c35.jpg




平面図形の回転のポイントの一つは端に注目します。
feri2018k1_201804161532033d3.jpg
図のように回転して通るところの端に元の図形の端の形があらわれます。
回転して青の実線は青の破線に,赤の実線は赤の破線になります。
(1)
feri2018k2_2018041615320551f.jpg
図のように左の端は青の実線のOQとOP,右の端は赤の破線ORの部分の形になります。
赤の破線を90°逆に回転させて元に戻してOR'を考えます。
feri2018k3_20180416153218e40.jpg
すると元の図形はPとR'を直線で結んで四角形OR'PQとなることがわかります。
∠POR'=90°-30°=60°

OP=OR'
より△OR'Pは正三角形となるので最も小さい角の大きさは∠OR'P=60°とわかります。


(2)
feri2018k4_20180416153220507.jpg
(1)の図形では図のように緑の扇形の弧R'P'の部分が重なっているので,ここが重ならない(P'とR'が同じ点になる)ように回転させたら良さそうです。
つまり90°回転から30°÷2=15°ひいて75°回転を考えます。
feri2018k5_20180416153221a05.jpg
すると図より
∠POP'=75°
OP=OP'
から最も小さい角の大きさは∠OP'P=(180-75°)÷2=52.5°となります。


フェリス女学院はどういう解き方をしたら良いかを求められる問題をよく出します。
しっかり過去問で練習していきましょう!(畠田)
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渋谷教育学園幕張中学校 算数 問題 解説&入試分析★2018年(H30年)第1回

2018.04.13 22:22|入試問題分析(算数)
今回は渋谷教育学園幕張中学の一次をとりあげます。

2018年度は
受験者、男子1411人、女子593人、計2004人
合格者、男子520人、女子191人、計711人
倍率は2.8となっています。

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(50.3,59.7)
算数(48.9,59.2)
社会(36.8,42.5)
理科(29.3,38.9)
合格最低点が179/350

相変わらず難易度の高い問題が多いですが、渋幕としては例年程度だったと思います。

難関校に多そうな立体図形の切断の問題をとりあげます。
渋谷教育学園渋谷中学2018年で立方体を切断しましたが、それの直方体版です。


(問題)H29年 渋谷教育学園幕張中学校 第1回 大問5
図のような直方体があり、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、PBとQBの長さがどちらも2cmになるようにとります。
また、辺EF上に点Rを、辺FG上に点Sを、RFとSFの長さがどちらも6cmになるようにとります。4つの点P,Q,R,Sを通る平面でこの直方体を切り、点Aを含むほうの立体を(あ)とします。
sibumaku2018m1.jpg

このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。
(1)立体(あ)の体積は何㎤ですか。
(2)立体(あ)を面PRSQが底面になるように平らなゆかの上におきます。このとき、点Dはゆかから何cmの高さにありますか。



(1)
sibumaku2018k1aa.jpg
直方体の体積から図の赤の実線部分の三角すいTPBQの体積を引きます。

小さい三角すいTPBQと大きい三角すいTRFSの相似比は
2:6=1:3
です。
大きい三角すいの高さTF=BF×3/(3-1)=12cmで
体積比は
(大きい三角すい):(赤の実線部分)=3×3×3:(3×3×3-1×1×1)=27:26
より
(赤の実線部分)=(大きい三角錐すい)×26/27=△FRS×TF×1/3×26/27=208/3㎤
よって
(あ)=8×12×10-208/3=2672/3㎤


(2)平面PRSQを底面と考えたときの点Dの高さを求めなさいと言う問題になります。
色々な解法が考えられそうですが,
(1)で考えた小さい三角すいTPQBは1:1:2です。
sibumaku2018k21.jpg
これは赤の三角形の面積が展開図を考えれば求まる有名な三角すいです
sibumaku2018k22.jpg
もちろん体積もわかるので,赤の三角形を底面と考えると,高さもわかります。
赤の三角形は平面PRSQ上にあるので,底面PRSQに対して点Bの高さが求まることになります。
点Dの高さを求めるには,点Bの高さが使えないかを考えてみることにします。

まず点Bの高さを求めていくと
(赤の三角形の面積)=(正方形)-(青の三角形)-(黄の三角形)-(緑の三角形)
=4×4-2×4÷2-2×2÷2-2×4÷2=6㎠
(小さい三角すいの体積)=2×2÷2×4÷3=8/3㎤
よって赤の三角形を底面としたときの高さは8/3×3÷6=4/3cm

ここで一つの方法として点Dと点Bの高さの比を考えてみます。
sibumaku2018k3aa.jpg
図のように平面PRSQで平行な面で等間隔になるようにスライスすると
点Bから平面PRSQまでは1つ,点Dから平面PRSQまでは10つ層があるので
(点Dの高さ):(点Bの高さ)=10:1
であることがわかります。

実際には
sibumaku2018k4.jpg
上面において相似比
(赤と直角二等辺三角形):(青の直角伊藤辺三角形)=AP:UB=10:1
から10:1と計算すればよいです。

よって
4/3×10=40/3cm
とわかりました。


渋幕の立体図形の問題は難しいですが,典型的な解法で解けるには解けます。
色々な学校の立体図形の問題で練習して使えるようにしておきましょう(畠田)
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渋谷教育学園渋谷中学校 算数 問題 解説&入試分析★2018年(H30年)第1回

2018.04.11 17:55|入試問題分析(算数)
渋谷教育学園渋谷中学を取り上げます。

第1回は受験者数は男子170名、女子250名、合計420名
合格者数は男子48名、女子71名、合計119名
倍率は男子3.54倍、女子3.52倍、全体で3.53倍
2018年第1回の入試合格最低点は300点満点中、男子182点・女子197点です。
今年も女子の難易度が高くなっています。

それでは勉強になりそうな立体図形の問題をとりあげます。



(問題)H30 渋谷教育学園渋谷中学校 第1回 大問3
1辺の長さが6cmの立方体があります。立方体の3つの頂点を通る平面で切り,立方体から1つの三角すいを取り除いた,図1のような立体Aを作りました。
次の問いに答えなさい。ただし,すい体の体積は,「(底面積)×(高さ)÷3」で求めることができます。
sibusibu2018m1.jpg
(1)解答用紙に立体Aの展開図の一部がかかれています。展開図の1つを完成させなさい。
sibusibu2018m3.jpg

(2)立体Aの①の面を底面として机に置き,真上から見ると1つの平面図形に見えました。そのときの図形の名前を答えなさい。

1辺の長さが10cmの立方体があります。立方体の3つの頂点を通る平面で切り,立方体から三角すいを取り除いた後,さらに立方体の3つの頂点を通る別の平面でもう一度切り,三角すいを取り除いた,立体Bを作りました。図2は立体Bの展開図です。ただし,図の等しい印は,等しい長さであることを表しています。
sibusibu2018m2.jpg
(3)立体Bの体積は何㎤ですか。

(4)立体Aを①の面を底面として机に置き,立体Bを②の面を底面として机に置きます。このときの,立体Aと立体Bの高さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。



(1)
すぐにわかればそれに越したことはないですが,一つの解法としては頂点打ちをします。sibusibu2018k1.jpg

そして展開図の正三角形のところをA,B,Cを打って残りの頂点を打っていきます。
sibusibu2018k2.jpg
すると正方形BGFEがないので,これを書きます。

(2)
各頂点を①を含む平面に正射影するとどんな図形かと言う問題になります。
sibusibu2018k31.jpg
点D,G,Eを通る平面は①に平行です。
正三角形ABCと正三角形DGEを正射影してあわせると6つの頂点が等距離に並ぶようになるはずです。
sibusibu2018k32.jpg
図のような正六角形になります

(3)
sibusibu2018k3.jpg
3つの頂点を通る平面で三角すいを切り落とすことになる切り方は、図のように4つあります。
展開図に正方形がありませんが,このうち正方形がないのは一番右の切り方となります。
よって体積は立方体から三角すい2つを取り除いて
10×10×10-(10×10×1/2×10×1/3)×2=2000/3㎤
とわかります。

(4)
まず一般的に立方体から三角すいを切り落としたとき高さはどのようになるのかを考えてみます。
Bのように立方体を切ります。
sibusibu2018k4.jpg
切り口の正三角形は平行です。
すると図から切り落とす三角すいの高さは立方体の対角線の1/3とわかります。
(Aの元の立方体の辺の長さ):(Bの元の立方体の辺の長さ)=6:10=3:5
(立体Aの高さ)=(対角線の2/3)
(立体Bの高さ)=(対角線の1/3)
より
(立体Aの高さ):(立体Bの高さ)=3×2/3:5×1/3
6:5
とわかりました。


頂点打ちや,切断,平面で考えるなど難しめの道具をたくさん使って解く問題です。
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