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2014(H26)清風南海入試プレテスト

2013.12.03 14:06|算数雑談
11月30日に清風南海中学校でプレテストが行われましたので,そこから1問取り上げてみます。

【3番】次の図のような正方形ABCDがあり,正方形の内部に辺ABまたは辺ADに平行な線を引き,
(ア)~(オ)の部分に分けます。(イ)の面積は200㎝^2,(エ)の面積は160cm^2,(オ)の面積は
240㎝^2です。DE,FG,HC,CI,FMの長さがすべて等しいとき,次の問いに答えなさい。
清風南海プレ2013-1
(1)J,Kを結ぶとき,四角形JKLMの面積を求めなさい。
(2)AE:EDを最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3)正方形ABCDの面積を求めなさい。
(4)(ウ)の面積を求めなさい。
-----------------------------------------
(1)
J,Kを結べと書いてあるので,結んで長方形JKLMを作りましょう。
この長方形の面積を下の図のように(カ)とします。
四角形ABCDは正方形ですから,下の図の×印の長さが等しいこともわかりますね。
すると,(イ)-(カ)の面積と(エ)+(カ)の面積が等しいことになります。
つまり,200-(カ)=160+(カ)ですから,
(カ)×2=200-160=40㎝^2
(カ)=40÷2=20㎝^2となりますね。
清風南海プレ2013-2

(2)
引き続き,上の図です。
(イ)-(カ)の長方形と(オ)の正方形はいずれも縦の長さが○印ですから,
この2つの四角形の面積比がそのまま横の長さの比,つまりAE:EDとなります。
よって,(200-20):240=3:4となります。

(3)
さらに引き続き,上の図です。
(エ)+(オ)+(カ)の面積は160+20+240=420㎝^2です。
先ほど,AE:ED=3:4と出しましたから,
正方形ABCDは420×7/4=735cm^2となります。

(4)
最後は下の図のように補助線を入れ,長方形(キ)を作りましょう。
正方形FGOMと正方形KHCIはいずれも一辺の長さが○印なので,
(キ)の面積は240-180-20=40cm^2です。
JK:KN=長方形JKLM:長方形KNOL=20:40=1:2ですから,
(ク)と(ケ)の面積比も1:2ですね。
よって,(ク)の面積は180×1/3=60cm^2です。
なぜ(ク)を出したかというと,(ウ)の面積は実は(ク)の面積と等しいからです。
JK=○印-KN=NHですからね。
よって、求める面積は60cm^2です。
清風南海プレ2013-3

最近、面積迷路というパズルがよく本で出されており、私もよく解いていたのですが、
そのブームに乗った出題というところでしょうか。
興味のある方は本屋さんで探してみるといいかもしれません。
低学年の方でも楽しめますよ。
(池)

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2013(H25)大阪桐蔭入試プレテスト

2013.01.04 17:58|算数雑談
さて,いよいよ今日から関西では前受験が始まりました。
ちょっと時間ができたので,1カ月弱前に行われた,大阪桐蔭中学校のプレ入試問題から1つ。

【3番】次のように,ある決まりに従って分数が並んでいます。
2013大阪桐蔭プレ3番問題
次の問いに答えなさい。
(1)初めから数えて30番目の分数を答えなさい。ただし,約分できるときも約分せずに答えること。
(2)約分すると1になる分数は,1/1,3/3,5/5,…の順に出てきます。約分したときに1になる分数が5回目に
出てくるのは,初めから数えて何番目ですか。
(3)初めの分数から70番目までの分数をすべてかけると,いくつになりますか。ただし,約分できるときは
約分して答えること。

----------
まずは区切りの線を入れてグループごとに区切り,各グループ番号をつけます。

2013大阪桐蔭プレ3番

A:各グループにはグループ番号と同じ個数の分数があり,
B:先頭の数の分母はグループ番号×2-1で,
C:奇数グループにはグループ番号を分子,分母とする分数が登場します。

これを押さえてしまえば,あとは解くだけ。

(1)
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1+2+3+4+5+6+7+2=30個 なので,⑧グループの2番目
⑧グループの分母は8×2-1=15から始まるので,1/15,3/13が答えです。
(2)
1/1,3/3,5/5,7/7,9/9が5番目なので⑨グループ
⑨グループの分母は9×2-1=17から始まるので,分母が9になるのは,17,15,13,11,9で⑨グループ内の5番目
.    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
よって,1+2+3+4+5+6+7+8+5=41番目となります。
(3)
70番目ということは,
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨. . . 
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+4=70なので,⑫グループの4番目までかけるということになります。
①~⑪グループは,各グループ内でかけると1になるので,⑫グループのことだけを考えればOK。
⑫グループの分母は12×2-1=23から始まるので,
1/23 × 3/21 × 5/19 × 7/17 = 5/7429となります。

で,なぜ今さらこの難易度の問題を取り上げるかというと,
「ケアレスミスを防ぐために最大限の注意を払ってもらいたい」
からです。
・線で区切る
・グループ番号をつける
・グループ毎の個数をかく
・分母=グループ番号×2-1になっていることを明記する(分子+分母=グループ番号×2でも可)
・約分すると1になる分数に印をつける
・計算式の上にグループ番号をつける(今回はグループ番号=個数なのでまだマシですが…)
・何グループの何番目を求めればよいかを明記する。
問題を解く上で,式をきちんと書くということ以外にこれだけのことができます。

規則性の問題では1つずれたとかいうことがよく発生しますが,それを防ぐために
これだけのことができるのです。時間がもったいないと言って手を抜く人がよくいますが,
速解き競争をしているのであればともかく,制限時間内で解いて,見直しまですることを
目標にしているのであれば,逆に時間が短縮できるはずです。
1つケアレスミスをすれば,その問題を解くために費やした時間が全てパーになると肝に銘じ,
ミスを減らす工夫をしっかりとやって下さい。

実力以上のものを出すのではなく,実力の範囲内のものを落とさず取ることが合格への近道です。
がんばれ,受験生!!!!
(池)

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ミスのチェック

2012.09.12 17:31|算数雑談
前回,「常識(的な内容の)チェック」の話を書きましたが,
それ以外でも色々なミスがあります。

算数で計算ミスを連発するお子さんがいらっしゃいますが,
ミスの中身を分析してみると
「(小数)÷(小数)の割り算」とか「小数どうしのかけ算」とかの面倒な計算では
意外と(?)ミスをしないものなのですね
(もちろんすべてがすべてそうとは言いません)。
案外,単純なたし算や引き算でミスしていたりするものです
(しつこいようですが,すべてがすべてそうとは言いません)。

そして,ミスをしやすいお子さんだからといって,
ありとあらゆるパターンのミスをするかというと案外そうでもありません。
計算ミスには,お子さんによって結構クセがあったりします。
「○3-△7」の計算で,
くり下がりをして13-7の計算をしなければならないところを
なぜか,かなりの頻度で「5」と書いてしまうとか,
筆算のくり上がり分をかなりの頻度でたし忘れるとか。

ミスを無くす上では,
まず「自分がやりがちなミスのクセ」に気付くことが大切です。
そのために,日頃の計算練習でも,

「間違えたー!」

解き直し

「よし,正解!」

で終わってしまうのでなく,

「間違えたー!」

「どこで間違ったんやろ?」

計算過程を自分でチェック

ミスしたポイントに気付く


その上で解き直し

「よし,正解!」

というように,間に「ミスのチェック」のプロセスを挟むことが大事です。
これは日頃,計算以外の問題を解く時でも同じく重要なことです。

そうしていく内に,自分のミスのパターンに気付いてくると,
その計算が出た時にちゃんと警戒できるようになってくるのですね。

あ,あと,たまに字が雑過ぎて自分が書いた数字を自分で読み間違えてミスしている子もいますが,
計算用紙でも答案用紙でも,
最低限「読み間違えをしないような字を書く」ことはとても大事なことですね。

(宇)
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常識チェック

2012.08.22 13:00|算数雑談
生徒の算数のテストの答案などを見ていると,
思わずツッコミを入れたくなる答えが見受けられる時があります。

(旅人算で)
問題「家から駅までの距離を求めなさい」
→答え「500km


遠い…。遠過ぎる…。
逆に,そこまで歩く人が,何をしにそんな遠い駅まで行くのでしょう…。

(旅人算で)
問題「太郎君の歩く速さを求めなさい」
→答え「秒速12m


歩きながらボルトをぶっちぎる太郎君…。かっこよすぎる…。

(通過算で)
問題「列車Aの速さを求めなさい。」
→答え「時速6km


歩く太郎君の方が約7倍速い…。

(食塩水の問題で)
問題「この食塩水の濃度を求めなさい」
→答え「53%


こんな濃い食塩水はできません…。

こういったものは,例えば
(どこで計測するかによって誤差はかなり出ますので,あくまで「大まかに」ですが)
「東京-大阪間で500kmぐらい」
とか
「ボルトの全力疾走で秒速10mぐらい」
とか
「人の徒歩の速さは時速4kmぐらい」
とか
「100gの水に溶かせる食塩の量が36gぐらいだから,濃度はせいぜい30%ぐらいのはず」
と大まかにでも知っていると,すぐにおかしいことに気付くことですが,
知らないと確かに自分で気付くのは難しいことではあります。

ただ,生徒の答案を見ていると
(いくら問題文中の図が正確とは限らないとはいえ)
答えが30°ぐらいの角度を「100°」とか答えてみたり,
旅人算の問題文で,「AがBに追いついた」と書いているのに,
求めた答えでBの速さがAより速くなっていたり,
というように,
「明らかに変だよね??」
ということを平気で書いている答案というのが見受けられます。

検算も大事な作業ですが,
その前にまず「常識的におかしくないか」の「常識チェック」も取り入れてみてほしいと思います。

追記:
かつて社会科のテストの点数計算だけお手伝いした際に,
みんなが「豊臣秀吉」と答えているところを,
「前方後円墳」と答えて×にされている子がいるのを発見してしまいました。
元の問題がなんだったのかとても気になりながら,
その場の空気で聞くに聞けず,
未だに気になり続けています…(^o^;;
その子は「常識チェック」はしなかったんでしょうね…。

(宇)
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中学受験算数の必修項目ってどれぐらい?

2012.08.19 20:37|算数雑談
受験算数の土台を作っていってもらうべく、プリントを作成していこうということで、必修の項目をピックアップしていったら、何と、250項目になってしまいました。
「すっげ~数」って驚くなかれ。これはほんの「土台」。
ここにどんどん上積みをしっかりしていって、完成ということになります。
何やら建物づくりに似ていますよね。
基礎(支える部分)をしっかり作っておくことが、将来の伸び、実力を支えていくのですね。

みなさん、土台をしっかり作っておきましょう、と、今回はそういうお話でした。ちゃんちゃん・・・(道)
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