チャレンジ問題(算数)No.6(解答)

それでは前回の問題の解答です。

問題
A，Bの二人が，静水時の速さが同じである2台のボートにそれぞれ乗って，
川の下流の甲地点から上流の乙地点へ向かって同時にスタートしました。
ところが，Bさんのボートはスタートと同時に故障し，しばらく流されてしまいました。
しばらくしてようやくBさんの乗ったボートのエンジンが直り，
Bさんはそこから静水時の速さを普段の2.5倍にしてAさんを追いかけたところ，
二人同時に出発してから120分後に，Aさんに乙地点で追いつきました。

Bさんのボートのエンジンが故障していたのは何分間ですか？

ただし，Aさんのボートの静水時の速さと，川の流れの速さは常に一定であるとします。

色々なやり方がありますよね。

[流水の影響だけ分けて考える]
Aの静水時の速さを[2]m/分，Bの後半の静水時の速さを[5]m/分，
故障していた時間を□分として，
A，Bが進んだ距離について式を立てると，

[2]×120－流速×120＝[5]×(120－□)－流速×120

となるので，流速分が消えて，120－□＝48，つまり□＝72(分)とわかりますね。

[「距離の差一定」を利用]
Bのボートの故障時の，A，Bのボートの速さの差は[2]m/分，
Bのボートが故障が直ってからの，A，Bのボートの速さの差は[5]－[2]＝[3]m/分
故障時にできた距離の差を，故障が直ってから縮めることになるわけですから，
その間にできる距離の差と，縮める距離の差は同じ，つまり距離の差一定ですね。
よって，故障時と，故障が直ってから追いつかれるまでの時間の比は，
速さの差の逆比，つまり<3>：<2>となります。
合わせた<5>＝120分なので，<3>＝72(分)です。

[平均速度の利用(マイナスが出てきますけど…)]
Bは故障時に(－流速)m/分，故障が直ってから([5]－流速)m/分，
この平均の速さがAの上りの速さ，([2]－流速)m/分と同じになるわけですから，
(面積図的なものを描くと分かりやすいかと思いますが)
2つの時間の比が<3>：<2>となります。
あとはさっきと同様，合わせた<5>＝120分なので，<3>＝72(分)です。

チャレンジ問題(算数)No.6

それでは今回はこんな問題を載せてみます。

問題
A，Bの二人が，静水時の速さが同じである2台のボートにそれぞれ乗って，
川の下流の甲地点から上流の乙地点へ向かって同時にスタートしました。
ところが，Bさんのボートはスタートと同時に故障し，しばらく流されてしまいました。
しばらくしてようやくBさんの乗ったボートのエンジンが直り，
Bさんはそこから静水時の速さを普段の2.5倍にしてAさんを追いかけたところ，
二人同時に出発してから120分後に，Aさんに乙地点で追いつきました。

Bさんのボートのエンジンが故障していたのは何分間ですか？

ただし，Aさんのボートの静水時の速さと，川の流れの速さは常に一定であるとします。

ヒントは…

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チャレンジ問題(算数)No.5(解答)

それでは前回の解答です。

できる影の図形は，
点Aの影をA'としたときにA'とC，Dを結んだ三角形になるのはわかりますね。

で，立体感覚が豊かであれば，
この図を真上から見たときにABとCDが垂直に交わるように見え，
ABは床に平行なので，
Pからの光によってできるABの影A'Bも，CDと垂直になるのはわかると思います。

それさえわかってしまえば，
CD＝4(cm)
A'B＝AB×3/2(△PABとPA'Bの相似比が2：3)
　＝6(cm)
なので，
影の面積は
4×6÷2＝12(平方センチメートル)ですね。

ちなみに，正四面体が立方体の互いに隣り合わない4点を結んでできることを考えると，
この影は真上から見ると下図のようになるのはわかりますね。
(A'は左下の正方形の対角線の交点と重なる)

チャレンジ問題(算数)No.5

お久しぶりでございます…m(__)m

今年の算数の入試問題分析もすっかりそのまんまになってしまっておりますが，
これからこっそり更新していきます(今さらですが…)。

今日はとりあえずチャレンジ問題でお茶をにご…(以下略)。

問題
下図のように1辺が4cmの正四面体ABCDを，CDが床につきABが床に平行になるように置き，また，辺DBを延長した直線上にBP＝8cmとなる点Pを決め，ここに点光源を置きます。
このとき，点光源からの光によって床にできる正四面体ABCDの影の面積を求めなさい。

チャレンジ問題(算数)No.4

すっかりご無沙汰でございます…。
今でも見に来てくださっている方がいて嬉しい限りです。

先日，体調を崩し家でウンウンとうなされていたときに，
夢の中で出てきた問題をここに出して供養したいと思います。
(夢の中ではもうちょっとややこしい設定にできていた気がするのですが，
現に作ってみると大したことないですね…)。

問題
下図のように正六角形ABCDEFと，正六角形GHIJKLが辺DEと辺JKが重なるように接しています。
EK＝1.2cm，JD＝1.8cmで，正六角形ABCDEFの1辺が10cmで，
AGを延長した直線と辺DEの交点をMとするとき，KMの長さを求めよ。