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2011(H23)入試分析 理科 甲陽学院中 大問6番 追加解説

2011.04.21 17:17|入試問題分析(理科)
以前の甲陽学院中入試問題理科の大問6の追加解説を行います。
内容は完全中和のときに残った固体の重さが7.8gとなる事についてです!!


この実験は一定量の水酸化ナトリウム水溶液100cm3に対して塩酸を加えていく実験と同じでありますので,
加える塩酸が0cm3→80cm3まで加えていく間に,水酸化ナトリウムが塩酸と中和することで一定の割合で過剰な水酸化ナトリウムが減っていきます。(80cm3では完全中和となりますので過剰の水酸化ナトリウムは0となります。)

したがってこの間において残った固体について,
①食塩→一定の割合で増加
②アルミン酸ナトリウム→一定の割合で減少
③溶け残りのアルミニウム→一定の割合で増加
④水酸化ナトリム→アルミニウムを溶かすのと中和ですべて使われているので0g

と,すべての固体は一定の割合で変化するので全固体の重さも一定の割合で変化することになります。
したがって,問題文の表より,①と②から塩酸が20cm3→60cm3と40cm3増加すると,固体の重さが7.6g-7.2g=0.4g増加していますので,塩酸を60cm3→80cm3と20cm3増加すると,固体の重さは0.2g増加する事になります。したがって。完全中和における残った固体の重さは7.6g+0.2g=7.8gとなります。

ちなみに,この問題における残った固体をグラフに表してみました。是非参考にしていただければと思います。

kouyouhyou2.png

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2011(H23)入試分析 算数 神戸女学院中等部 Part1

2011.04.21 16:21|入試問題分析(算数)
随分,間が空いてしまいました…。

今回の算数は今年の神戸女学院中等部の入試問題にいきましょう。

4番
次のように分数がある規則にしたがって並んでいます。
神女4-1
(1) 21番目の分数を求めなさい。
(2) 21番目から27番目までの分数の和を求めなさい。
(3) 最初から何番目までの分数の和がちょうど10になるか求めなさい。



(1)
下図のように,この数列の規則性に従い区切りを入れ,セットの番号を振っていくと,
セットの番号と中の分数の個数が等しくなることがわかります。
神女4-2
21=1+2+3+4+5+6
なので,21番目の分数は6セット目の一番最後(6個目)の分数となります。
同じセットの中の分数の分母は,3から始まり6,12,24…と2倍になっていくので,求める分数は,
1/3^(6-1)=1/96です。

(2)
求めるのは,6セット目の最後の数と,7セット目の1番目から6番目までの7個の分数の和です。
1/96+1/3+1/6+1/12+1/24+1/48+1/96
を計算するわけですが,ちょっと工夫をしましょう。
同じように大きさが1/2倍ずつなっていく分数の和で,
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/64
がどうなるかは知ってますよね?
後ろから順番に計算していくと,計算がとても楽です。答えは1ですね。
これと同様に,さっきの計算を並べ替えて
1/3+1/6+1/12+1/24+1/48+1/96+1/96
として後ろから計算していくと,答えは2/3となります。
(通分してもたかが知れてますけどね。
ちなみに下の分数は,全部,上の分数の2/3倍になっていますので,和も当然2/3倍になりますね)

(3)
さて,ここまでは前置きです。
「前の小問が次の小問を解くのにどう活かせるか」は常に意識するように心がけましょう。
この問題の場合,(2)と同様に,下図のような分け方をしてみると,実はどのセットも全部和が2/3になるんですね。
神女4-3
それが分かると楽勝です。
10÷2/3=15ですので,上図のようなセットが15セットちょうどで10になるわけです。
これは16セット目の15番目の分数まで,となりますので,
(1+15)×15÷2+15=135(番目)となりますね。
(もちろん,(1から16までの整数の和)-1(番目)と求めてもかまいません。)

では,数列の和がらみで2つほど問題を。

次の2つの数列の和を求めるのに,どう考えれば楽かを考えてみてください。
(1) 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,…
(2) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…(いわゆるフィボナッチ数列ですね)


もちろん,頭から順番に計算してもたかが知れているんですが,
それで終わっちゃ面白くないですよね。

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