2011(H23)入試分析 算数 六甲中学 Part1

今回は今年の六甲中学の算数の問題にいきます。
(神戸女学院の問題をもう一問やりたかったのですが，パソコンの事情により次回に…)

今年の六甲の算数は，ちょっとハードでしたね。
以下の6番もそうですし，
5番の自動車の排気ガスの問題，
そして極めつけは7番の立体図形の影の問題。
5番，6番は整理をちゃんとできるかが大きなポイントだったでしょう。
7番は，入試では後回しにするのが得策ですね(9番も数え方を間違うとなかなか大変な問題ですが…)。

6番
図のように，川の下流にA地点，上流にB地点があり，船でAB間を往復します。A地点とB地点の間は水路①と水路②の2つに分かれ，それらの長さはともに20kmです。②の流れの速さは，①の流れの速さの2倍です。上りも下りも①を通ると5時間かかり，上りも下りも②を通ると8時間かかります。また，上りは②を，下りは①を通ると8時間20分かかります。上りで①を通るときにかかる時間は，下りで②を通るときにかかる時間の2.5倍です。この船の静水での速さを求めなさい。ただし，船の静水での速さは一定とします。


まず整理をしてみましょう。

でも，どこから？？

この問題の場合，うっかり静水時の速さや流速などをおいて式を作ろうなんて思うと
ちょっと大変なことになりますね。
問題文中に与えられている情報は，もっぱら時間についてのことなので，時間に関しての式を立ててみましょう。

(①の上りの時間)＋(①の下りの時間)＝5:00’…(ア)
(②の上りの時間)＋(②の下りの時間)＝8:00’…(イ)
(①の下りの時間)＋(②の上りの時間)＝8:20’…(ウ)

(ア)と(イ)の式を足して，(ウ)を引くと，

(①の上りの時間)＋(②の下りの時間)＝4:40’

となります。

問題の条件より，
(①の上りの時間)：(②の下りの時間)＝2.5：1＝[5]：[2]なので，
[7]＝4:40’
[1]＝0:40’

もうここまでくれば，①，②の上り・下りにかかる時間がすべてわかるので楽勝ですね。
静水時の速さは時速9kmです。
(ちなみに①の上り＝時速6km，①の下り＝時速12km，②の上り＝時速3km，②の下り＝時速15kmです。)

「算数・数学 マメ知識No.11(数列の和)」

以前，こんな問いかけをしました。

次の2つの数列の和を求めるのに，どう考えれば楽かを考えてみてください。
(1)　1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，…
(2)　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…(いわゆるフィボナッチ数列ですね)

その答えを書いておきます。

(1)は，初項が1，公比が2の等比数列ですね。
この和を，この数列の下に順番に書いていくと，
数列　1，2，4， 8，16，32， 64， 128，256， 512，…
和　 　1，3，7，15，31，63，127，255，511，1023，…
というように，
□番目までの項の和は，((□＋1)番目の項－1)となっています。

(2)の和も同様に順番に書いていくと，
数列　1，1，2，3， 5，　8，13，21，34， 55， 89，…
和　　 1，2，4，7，12，20，33，54，88，143，232，…
というように，
□番目までの項の和は，((□＋2)番目の項－1)となっています。

つまり，いずれの場合もまともに頭から計算しなくても，
(1)ではその一つ後の項，(2)ではその2つ後の項まで書いて，そこからいずれも1を引けばいいだけです。

(1)は計算の工夫としてよく使えることですので必ず覚えておきましょう。