2011(H23)入試分析 算数 四天王寺中学

2011.08.07 17:33|入試問題分析(算数)
では,今回は四天王寺中学のこの問題。

6番
整数の各位の数の和を求める操作をします。この操作を,各位の数の和が1けたの数になるまでくり返します。
例えば,87654は
87654 → 8+7+6+5+4=30 → 3+0=3
となり,2回の操作で,和が1けたの数になります。
① 9484は何回の操作で,和が1けたの数になりますか。
② 3けたの整数のうち,1回の操作で和が5になるものは何個ありますか。
③ 3けたの整数のうち,3回の操作で和が1けたの数になるものは何個ありますか。



9+4+8+4=25 → 2+5=7
なので,2回


3けたの整数で,各位の和が5になる数の組み合わせは(0,0,5),(0,1,4),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,2)で,それぞれの並べかえてできる整数が,1個,4個,4個,3個,3個ずつあるので,合計15個です。


3けたの整数に1回上記の操作をした場合,できる数は最高で27(9+9+9)である。
3回目の操作で初めて1けたの数になるということは,2回目の操作ではまだ2けたでなくてはなりません。
10以上27以下の2けたの整数で,各位の和が2けたになるのは19(1+9=10)しかありません。
よって,元の3けたの整数の各位の数の組み合わせ(かっこの中は,並べかえてできる整数の数)は,
(1,9,9)(3個),(2,8,9)(6個),(3,7,9)(6個),(3,8,8)(3個),(4,6,9)(6個),(4,7,8)(6個),(5,5,9)(3個),(5,6,8)(6個),(5,7,7)(3個),(6,6,7)(3個)
となるので,合計45個です。
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チャレンジ問題(算数)No.6(解答)

2011.08.06 19:54|チャレンジ問題(算数)
それでは前回の問題の解答です。

問題
A,Bの二人が,静水時の速さが同じである2台のボートにそれぞれ乗って,
川の下流の甲地点から上流の乙地点へ向かって同時にスタートしました。
ところが,Bさんのボートはスタートと同時に故障し,しばらく流されてしまいました。
しばらくしてようやくBさんの乗ったボートのエンジンが直り,
Bさんはそこから静水時の速さを普段の2.5倍にしてAさんを追いかけたところ,
二人同時に出発してから120分後に,Aさんに乙地点で追いつきました。

Bさんのボートのエンジンが故障していたのは何分間ですか?

ただし,Aさんのボートの静水時の速さと,川の流れの速さは常に一定であるとします。


色々なやり方がありますよね。

[流水の影響だけ分けて考える]
Aの静水時の速さを[2]m/分,Bの後半の静水時の速さを[5]m/分,
故障していた時間を□分として,
A,Bが進んだ距離について式を立てると,

[2]×120-流速×120=[5]×(120-□)-流速×120

となるので,流速分が消えて,120-□=48,つまり□=72(分)とわかりますね。

[「距離の差一定」を利用]
Bのボートの故障時の,A,Bのボートの速さの差は[2]m/分,
Bのボートが故障が直ってからの,A,Bのボートの速さの差は[5]-[2]=[3]m/分
故障時にできた距離の差を,故障が直ってから縮めることになるわけですから,
その間にできる距離の差と,縮める距離の差は同じ,つまり距離の差一定ですね。
よって,故障時と,故障が直ってから追いつかれるまでの時間の比は,
速さの差の逆比,つまり<3>:<2>となります。
合わせた<5>=120分なので,<3>=72(分)です。

[平均速度の利用(マイナスが出てきますけど…)]
Bは故障時に(-流速)m/分,故障が直ってから([5]-流速)m/分,
この平均の速さがAの上りの速さ,([2]-流速)m/分と同じになるわけですから,
(面積図的なものを描くと分かりやすいかと思いますが)
2つの時間の比が<3>:<2>となります。
あとはさっきと同様,合わせた<5>=120分なので,<3>=72(分)です。

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チャレンジ問題(算数)No.6

2011.08.03 12:04|チャレンジ問題(算数)
それでは今回はこんな問題を載せてみます。

問題
A,Bの二人が,静水時の速さが同じである2台のボートにそれぞれ乗って,
川の下流の甲地点から上流の乙地点へ向かって同時にスタートしました。
ところが,Bさんのボートはスタートと同時に故障し,しばらく流されてしまいました。
しばらくしてようやくBさんの乗ったボートのエンジンが直り,
Bさんはそこから静水時の速さを普段の2.5倍にしてAさんを追いかけたところ,
二人同時に出発してから120分後に,Aさんに乙地点で追いつきました。

Bさんのボートのエンジンが故障していたのは何分間ですか?

ただし,Aさんのボートの静水時の速さと,川の流れの速さは常に一定であるとします。


ヒントは…

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