2011(H23)入試分析 算数 四天王寺中学

では，今回は四天王寺中学のこの問題。

6番
整数の各位の数の和を求める操作をします。この操作を，各位の数の和が1けたの数になるまでくり返します。
例えば，87654は
87654　→　8＋7＋6＋5＋4＝30　→　3＋0＝3
となり，2回の操作で，和が1けたの数になります。
①　9484は何回の操作で，和が1けたの数になりますか。
②　3けたの整数のうち，1回の操作で和が5になるものは何個ありますか。
③　3けたの整数のうち，3回の操作で和が1けたの数になるものは何個ありますか。

①
9＋4＋8＋4＝25　→　2＋5＝7
なので，2回。

②
3けたの整数で，各位の和が5になる数の組み合わせは(0，0，5)，(0，1，4)，(0，2，3)，(1，1，3)，(1，2，2)で，それぞれの並べかえてできる整数が，1個，4個，4個，3個，3個ずつあるので，合計15個です。

③
3けたの整数に1回上記の操作をした場合，できる数は最高で27(9＋9＋9)である。
3回目の操作で初めて1けたの数になるということは，2回目の操作ではまだ2けたでなくてはなりません。
10以上27以下の2けたの整数で，各位の和が2けたになるのは19(1＋9＝10)しかありません。
よって，元の3けたの整数の各位の数の組み合わせ(かっこの中は，並べかえてできる整数の数)は，
(1，9，9)(3個)，(2，8，9)(6個)，(3，7，9)(6個)，(3，8，8)(3個)，(4，6，9)(6個)，(4，7，8)(6個)，(5，5，9)(3個)，(5，6，8)(6個)，(5，7，7)(3個)，(6，6，7)(3個)
となるので，合計45個です。

チャレンジ問題(算数)No.6(解答)

それでは前回の問題の解答です。

問題
A，Bの二人が，静水時の速さが同じである2台のボートにそれぞれ乗って，
川の下流の甲地点から上流の乙地点へ向かって同時にスタートしました。
ところが，Bさんのボートはスタートと同時に故障し，しばらく流されてしまいました。
しばらくしてようやくBさんの乗ったボートのエンジンが直り，
Bさんはそこから静水時の速さを普段の2.5倍にしてAさんを追いかけたところ，
二人同時に出発してから120分後に，Aさんに乙地点で追いつきました。

Bさんのボートのエンジンが故障していたのは何分間ですか？

ただし，Aさんのボートの静水時の速さと，川の流れの速さは常に一定であるとします。

色々なやり方がありますよね。

[流水の影響だけ分けて考える]
Aの静水時の速さを[2]m/分，Bの後半の静水時の速さを[5]m/分，
故障していた時間を□分として，
A，Bが進んだ距離について式を立てると，

[2]×120－流速×120＝[5]×(120－□)－流速×120

となるので，流速分が消えて，120－□＝48，つまり□＝72(分)とわかりますね。

[「距離の差一定」を利用]
Bのボートの故障時の，A，Bのボートの速さの差は[2]m/分，
Bのボートが故障が直ってからの，A，Bのボートの速さの差は[5]－[2]＝[3]m/分
故障時にできた距離の差を，故障が直ってから縮めることになるわけですから，
その間にできる距離の差と，縮める距離の差は同じ，つまり距離の差一定ですね。
よって，故障時と，故障が直ってから追いつかれるまでの時間の比は，
速さの差の逆比，つまり<3>：<2>となります。
合わせた<5>＝120分なので，<3>＝72(分)です。

[平均速度の利用(マイナスが出てきますけど…)]
Bは故障時に(－流速)m/分，故障が直ってから([5]－流速)m/分，
この平均の速さがAの上りの速さ，([2]－流速)m/分と同じになるわけですから，
(面積図的なものを描くと分かりやすいかと思いますが)
2つの時間の比が<3>：<2>となります。
あとはさっきと同様，合わせた<5>＝120分なので，<3>＝72(分)です。

チャレンジ問題(算数)No.6

それでは今回はこんな問題を載せてみます。

問題
A，Bの二人が，静水時の速さが同じである2台のボートにそれぞれ乗って，
川の下流の甲地点から上流の乙地点へ向かって同時にスタートしました。
ところが，Bさんのボートはスタートと同時に故障し，しばらく流されてしまいました。
しばらくしてようやくBさんの乗ったボートのエンジンが直り，
Bさんはそこから静水時の速さを普段の2.5倍にしてAさんを追いかけたところ，
二人同時に出発してから120分後に，Aさんに乙地点で追いつきました。

Bさんのボートのエンジンが故障していたのは何分間ですか？

ただし，Aさんのボートの静水時の速さと，川の流れの速さは常に一定であるとします。

ヒントは…

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