2012(H24)入試分析 算数 神戸女学院中等部 Part2

それでは，今回も引き続き神戸女学院中等部の算数の問題を見てみましょう。

(問題)H24　神戸女学院中等部・算数　大問5番
箱の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。この箱の中からカードを1枚ずつ順に取り出し，取り出したカードに書かれた数の和が3の倍数になったときに終了することにします。もし1枚目の数が3の倍数ならば，そこで終了です。ただし，取り出したカードは元に戻さないものとします。
(1)　2枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。
(2)　3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

どちらも丁寧に場合分けをして書き出していっても解けますが，
(1)はともかく(2)はちょっと厄介ですね。

(1)
まず(1)を書き出しでやってみましょう。
1枚目が1の場合は，2枚目が2か5，
1枚目が2の場合は，2枚目が1か4か7，
1枚目が4の場合は，2枚目が2か5，
1枚目が5の場合は，2枚目が1か4か7，
1枚目が7の場合は，2枚目が2か5，
よって，(1)の答えは12通り。

このパターンの書き出しの過程で
2枚目の1つが「2」だと，他はそれに3を足した「5」，
2枚目の1つが「1」だと，他はそれに3を足していった「4」，「7」，
となるのはすぐ気付くと思います。
3ずつ増える数のグループというのは，
言い方を変えれば「3で割った余りが等しいグループ」ということになります。
この考え方(「剰余系」などと言いますね)を使えば，
(2)では以下のような解き方も可能です。

(2)
7つの整数を以下の3つのグループに分けます。
(ア)　3で割って1余るグループ(1，4，7)
(イ)　3で割って2余るグループ(2，5)
(ウ)　3で割り切れるグループ(3，6)
これで3枚目で終了するような取り出し方を考えると，
以下の4パターンしかないことがわかります。
1枚目　　2枚目　　3枚目
(ア)　－　(ウ)　－　(イ)　→　3×2×2＝12(通り)
(ア)　－　(ア)　－　(ア)　→　3×2×1＝6(通り)
(イ)　－　(ウ)　－　(ア)　→　2×2×3＝12(通り)
(イ)　－　(イ)　－　(イ)　→　0通り
それぞれ，どのグループからどのカードを出すかを考えると，
上の右のような式で場合の数が求められるので，答えは
12＋6＋12＝30(通り)
となります。

同様に考えれば(1)も
1枚目　　2枚目
(ア)　－　(イ)　→　3×2＝6(通り)
(イ)　－　(ア)　→　2×3＝6(通り)
で，6＋6＝12(通り)とも出せます。

これを，途中で3の倍数にならないように注意しながらまともに書き出していこうとすると
非常にミスしやすいのではないかと思います。

では次回は，東大寺学園の問題を見てみましょう。

(フライングディスクは…前足でこう取るっ！！)

2012(H24)入試分析 算数 神戸女学院中等部 Part1

それでは，今回は神戸女学院中等部の算数の問題を見てみましょう。

例年，神戸女学院の算数は頻出パターンというのがいくつかありますので，
過去問をやりこむことが合格への非常に大きな近道となりますが，
今年は全体的に難化した(というよりは処理量が増えた？)気がします。

また，答えの数値が鬱陶しくなるのはここ数年鳴りを潜めていたような気がしますが，
今年は1番から鬱陶しかったですね
(1番の(3)の答えが，17711/8cm^3って…(^o^;;)。

とにかく，時間配分は大事ですね。

では，問題を見てまいりましょう。

(問題)H24　神戸女学院中等部・算数　大問4番
川の上流地点Aと下流地点Bまでの4.2kmの間を船が往復しています。下流地点Bを船が出ると同時に，花子さんは川沿いの道を上流地点Aから下流地点Bに向かって歩きはじめました。そして10分後に船と出会い，さらにその2分後，船が上流地点Aに着くのを見ました。船はAで何分間か休んだ後，最初にBを出たときからx分後に再びBに向かって出発し，そのy分後に花子さんを追いぬきました。xとyの比は9:2でした。
(1)　花子さんはAからBまで何分かかりましたか。
(2)　川の流れの速さは毎分何mですか。
xを<9>分後，yを<2>分後として，状況図を描くと以下のようになります。

これで「距離一定」のところでは，時間の比と速さの比が逆比になることを利用すると，
(花子の速さ)：(船の上りの速さ)＝2：10＝1：5
(花子の速さ)：(船の下りの速さ)＝<2>：(<9>＋<2>)＝2：11
なので，
(花子の速さ)：(船の上りの速さ) ：(船の下りの速さ)＝2：10：11
となります。

(1)
船はBからAまで上るのに12分かかっているので，
花子さんはAからBまで下るのに
12×5/1＝60(分)
かかります。

(2)
船の上りの速さは
4200÷12＝350(m/分)
なので，船の下りの速さは
350×11/10＝385(m/分)
よって，川の流れの速さは
(385－350)÷2＝17.5(m/分)
となりますね。

(寒かったですね…。皆さんも風邪には気を付けてください。)

2012(H24)入試分析 算数 洛南高等学校附属中学校

それでは，今回は洛南高等学校附属中学校の算数の問題を見てみましょう。

例年の洛南は，計算・小問に始まり，徐々に難化する出題形式が一般的ですが，
今年は(これは今年の灘，甲陽，後に見ていく東大寺，西大和などでもそうですが)
全体的に取り組みやすい問題が多かったように思います。

4番は約数の個数に関わる有名な問題ですし(ほぼ同じ問題が今年の東大寺の3番で出ています)，
最後の「直方体の突き抜け」は，先日紹介した灘の第2日の問題とほぼ同じ問題です(最後だけ異なりますが)。
これは決して「ネタ切れ」などということでなく(^o^;;，
各学校の先生方から
「習った知識をちゃんと自分のものにできているかどうか」
という問いを改めて突きつけられているような気がします。
シンプルなテクニックは見栄えだけはいいですが，それを使いこなせなければ意味がありません。
習った知識を，自分で使いこなせる「武器」に変えていく作業，
ちゃんと消化していく作業が必須です。

では，問題に移りましょう。

(問題)H24　洛南高等学校附属中学校・算数　大問3番(2)
232から2012までのすべての整数を99で割って，商と余りを求めます。
(2)(ア)　すべての割り算の商を足したものを，99で割ると余りはいくらになりますか。
(イ)　すべての割り算の余りを足したものを，99で割ると余りはいくらになりますか。

例年，小問数が30問近い(テスト時間は70分)洛南の算数では，
前半の問題をいかにスピードよく，かつ正確に処理していくかが，
合否の大きなカギとなってきます。
ですので，自ら計算をややこしくしてしまうようなことは絶対避けねばなりません。

この問題も，規則性さえわかればあとはただの計算の問題ですが，
力ずくでやろうとすると，だいぶ鬱陶しい問題になります。
ある意味，「計算の工夫」の問題ですね。

(ア)
商は，
232から296まで(65個)が「2」，
97から395まで(99個)は「3」，
396から494まで(99個)が「4」，…
となっていき，
1881から1979まで(99個)が「19」，
1980から2012まで(33個)が「20」
となります。

これの和を求めると大変です。
同じ商が99個あるところは，和を99で割り切れるので
商が「2」になるところと「20」になるところだけで余りを考えればよいわけです。
(2×65＋20×33)÷99
＝790÷99
なので，あまりは
97
となります。

先の式を，
｛2×(66－1)＋10×2×33｝÷99
＝(66×12－2)÷99
＝(33×2×3×4－2)÷99
＝(99×8－2)÷99。
よって，余りは
99－2＝97
とかもできなくもないですが，
これはさすがに計算をややこしくしてるだけですね…(^o^;;

(イ)
余りは，
232から296までは「34から98まで」，
297から395まで「0から98まで」，
396から494までが「0から98まで」，…
となっていき，
1881から1979までが「0から98まで」，
1980から2012まで「0から32まで」
となります。

「0から98まで」余りが揃うところは，その和が99で割り切れるので，
(平均が49で個数が99なので，和は99の倍数ですね)
これも232から296までと1980から2012までだけを考えればよいことになります。
これもあとは和を普通に求めてもたかがしれていますが，
ここの部分の余りは0から98までの数のうち，33だけが抜けている状態なので，
求める答えは
99－33＝66
となります。

では，次回は神戸女学院中等部の問題を見てみましょう。

(あのね…邪魔です…。)

2012(H24)入試分析 算数 甲陽学院中学校(第2日)

それでは，今回は甲陽学院中学校の第二日の算数の問題を見てみましょう。

(問題)H24　甲陽学院中学校・算数(第二日)　大問4番
1辺の長さが1cmの立方体Aをすき間なく積み上げて，大きな立方体Bを作ります。Bの6つの面のうちいくつかの面を青色にぬったあと，Bをくずして青色がぬられていない立方体Aの個数を数えました。
(1)　青色がぬられていない立方体が60個であったとき，立方体Bの青色がぬられていた面の数と1辺の長さを求めなさい。
(2)　青色がぬられていない立方体が175個であったとき，立方体Bの青色がぬられていた面の数と1辺の長さを求めなさい。

立方体Bのいくつかの面に青色をぬった後，
青色をぬった立方体Aだけを取り除いて，
青色がぬられていない立方体Aが直方体の形に集まった状態のまま残すことを考えます。
その直方体を「直方体C」と呼ぶことにしましょう。

青色がぬられた立方体Aを取り除くとき，
元の立方体Bの前後，左右，上下の面のどれかを1面分まるまる取り去ることとなるので，
直方体Cの各辺の長さは，元の立方体Bのそれらより最大で2cm短くなることになります。
つまり，言い換えると
「残った直方体Cのたて・横・高さの差は最大で2cmにしかならない」
ということになりますので，(1)，(2)は以下のように解けます。

(1)
いずれの2数の差も2以下となるような3つの整数で，
積が60となるような組み合わせは「3×4×5」しかありません。
3と5の差が2なので，元の立方体Bの1辺の長さは5cmであったとわかります。
よって，青色がぬられていた面の数は，(5－3)＋(5－4)＝3(面)

(2)
いずれの2数の差も2以下となるような3つの整数で，
積が175となるような組み合わせは「5×5×7」しかありません。
5と7の差が2なので，元の立方体Bの1辺の長さは7cmであったとわかります。
よって，青色がぬられていた面の数は，(7－5)＋(7－5)＝4(面)

着目点さえ見つかってしまえば，(1)，(2)はまったく同様に解ける問題でしたね。

では，次回からは洛南高等学校附属中学校の問題を見ていきましょう。

(えっと…人のお腹で寝るのはやめてもらえんかな…。動くに動けんのだが…。)

2012(H24)入試分析 算数 甲陽学院中学校(第1日) Part2

それでは，今回も甲陽学院中学校の算数の第一日からです。

(問題)H24　甲陽学院中学校・算数(第一日)　大問6番
円をいくつかのおうぎ形に分けて，となり合うおうぎ形には異なる色をぬることにして，赤，青，黄の3色でぬり分けます。図のように，円が2つのおうぎ形A，Bに分けられていて，Aには赤色がぬられています。
(1) Bを4つのおうぎ形に分けると，何通りのぬり方がありますか。
(2) Bをいくつかのおうぎ形に分けると86通りのぬり方があり，分けるおうぎ形を1つ増やすと170通りのぬり方があります。さらに2つ増やして，86通りのぬり方があるときよりもおうぎ形を3つ増やすと，何通りのぬり方がありますか。

(1)
順番に考えていきましょう。
(ア) Bがおうぎ形に分けられていない場合
ぬり方は青か黄色の2通りです。
(イ) Bが2つのおうぎ形に分けられている場合

図のように3つの場所が一列に並んでいる場合なら，
2×2＝4(通り)ですが，実際にはこれの最初と最後がつながっている状態です。

(元の図とAの位置が変わってしまっていますね…。すいません…。)

「え？これでも4通りでいいんじゃないの？」
と思うなかれ。
それでは，最初と最後の部分が同じ色になる場合が含まれてしまっています。

「あっちゃー！じゃあ，いちいち面倒な場合分けをしなきゃいけないの？」
いえいえ，そんなことをする必要はありません。
最初と最後が同じ色(赤)になっている場合というのは，
結局2か所を色分けする場合，つまり(ア)と同じ状態になっているはずですね。
ですので，上の「4通り」から(ア)の場合の数を引けばいいわけです。
つまり，4－2＝2(通り)ですね。
(ウ) Bが3つのおうぎ形に分けられている場合も同じように考えましょう。
4つの場所が一列に並んでいる場合のぬり分け方が2×2×2=8(通り)，
最初と最後が同じになる場合が(イ)と同じぬり分け方ですので2通り。
よって，8－2＝6(通り)。
(エ) Bが4つのおうぎ形に分けられている場合は(もう後は式だけにします)，
2×2×2×2－6＝10(通り)です。

(2)
以下，
Bが5つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2－10＝22(通り)
Bが6つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2－22＝42(通り)
Bが7つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2－42＝86(通り)
問題で書かれているのはここなので，この3つ後が答えです。
Bが8つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2×2－86＝170(通り)
Bが9つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2×2×2－170＝342(通り)
Bが10つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2×2×2×2－342＝682(通り)

この解き方がわかっていれば，実は「170通りのぬり方」という条件は不要ということがわかりますね。
(確認ができるという点ではとてもありがたいですけどね。)

さて，次回は甲陽学院の第2日に入ります。

(今からそこに座ってご飯を食べるんやけど，どいてくれへんかな？アカンの？あ，そう…。)

2012(H24)入試分析 算数 甲陽学院中学校(第1日) Part1

それでは，今回から甲陽学院中学校の算数(第一日)の問題に入りましょう。

平均点は第一日の方がだいぶ低かったですね
(受験者平均は，第一日が49.8点，第二日が56.3点)。
ただ，第一日の問題の中でも，
恐らく大半の進学塾がテキストで扱っているであろうような問題が多かったので，
そういった問題をどれだけきっちりと自分のものにしているかが
大きな勝負の分かれ目になったのではないでしょうか。
2日合わせての受験者平均と合格者平均の17点近い差は
そういったところから生まれているようにも思います。

去年の甲陽で出た「時計の長針・短針の入れ替わり」問題や「約数の逆数の和」問題などもそうですし，
今年の各最難関校の入試問題でもそうですが，
そういった頻出題がポロポロと出てきています
(来年度もこの傾向が続くとは思いにくいですが…)。
皆さんが塾で習っている問題で「こんなのは絶対に出ない！」と断言できるような問題などありません。
「この問題を見るのは入試までこの一回きりかも知れない」という意識で，
1問1問を大事にしていきましょう。

では，早速問題を見てみます。

(問題)H24　甲陽学院中学校・算数(第一日)　大問4番
目盛りのついていない定規があります。この定規に33本の等間かくの青線を引いて34等分し，次に，22本の等間かくの赤線を引いて23等分します。それぞれ左から順に青線は1～33，赤線は1～22の番号をつけておきます。
(1)　青線と赤線が最も近くなるのは，それぞれ何番の青線と赤線ですか。2組答えなさい。
(2)　(1)の最も近くなる青線と赤線の間かくが0.25cmのとき，定規の長さは何cmですか。
(3)　青線と赤線の間かくが(1)の5倍となるのは，それぞれ何番の青線と赤線ですか。2組答えなさい。

さて，この問題を解く前に以下のような話をしておきます。

0より大きく30より小さい，5の倍数と6の倍数を並べてみます。

5の倍数　(0)　　5　　10　　15　　20　　25　　(30)
6の倍数　(0)　　　6　　12　　18　　　24　　　(30)

このとき，5の倍数と6の倍数の差が一番小さくなるのは，
その差が1となる「5」と「6」ですね。
そしてもう一つは「24」と「25」です。
実は「5」と「6」の組み合わせが見つかると，もう一組はすぐに見つかるのです。

左から見ていった場合，0からスタートして一方は5ずつ，もう一方は6ずつ増え，
右から見ていった場合，30からスタートして一方は5ずつ減り，もう一方は6ずつ減る，
つまり0と30の間で，0と30からの距離が左右対称になっているわけですね
(「0より大きく1より小さい，分母が48の既約分数の和を求めなさい」というような問題も
皆さんはこの特徴を利用して解いていたはずです。
両端から1つずつ足していって，和が同じ数(＝1)の組み合わせを作るわけですよね)。
ですので，差が1になる組み合わせが「5」と「6」で1組見つかれば，
もう1組は30から「5」を引いた「25」と，30から「6」を引いた「24」の組み合わせになるわけです。

さて，これがわかればこの問題は簡単に解けます。

(1)
34等分，23等分しますので，
定規全体の長さを34と23のL.C.M.の<782>cmとすると，
青線は<23>cmごと，赤線は<34>cmごとに付くことになります。
この間かくが最も短くなるところとして，
差が<1>cmになるところがあればいいわけですが，
一つはすぐに見つかります。
3番の青線(<69cm>のところ)と2番の赤線(<68>cm)のところですね。
もう一つは，上の特徴を利用して，
34－3＝31(番)の青線(<713>cmのところ)と23－2＝21(番)の赤線(<714>cmのところ)です。
他に差が<1>cmとなるところはありません。

(2)
0.25×782＝195.5(cm)です。
これは楽勝ですね。

(3)
さて，上の5の倍数と6の倍数の話でも
「5」と「6」の差が「1」，
次の「10」と「12」の差が2，
次の「15」と「18」の差が3…
となっていくのがわかりますね。
当たり前と言えば当たり前のことです。
どちらの数も2倍，3倍…すれば差も2倍，3倍…になるはずですね。

これを使いましょう。

差が5倍になるわけですから，
一つは3×5＝15(番)の青線と2×5＝10(番)の赤線，
もう一つは34－15＝19(番)の青線と23－10＝13(番)の赤線です。
ちなみにこれも，差が<5>となるところは他にはありません。

次回も甲陽学院の第一日を取り上げます。

(ペットショップのエサのコーナーにてルンルンで物色中♪)

2012(H24)入試分析 算数 灘中学校(第2日)

予定通り，今回は灘中学校の第2日の問題の解説です。

で，ネットを見てみると，
どうも2日目の大問4番(2)が一部で話題になっているようで。

曰く，「小学6年生にあんな問題を解かせるなんて鬼畜」だとか…(^o^;;

鬼畜呼ばわりされてしまった灘の先生につくづく同情します…(^o^;;
実際のところ，灘を目指すぐらいの子ならあの問題はすんなり解けたはずです。

ということで今日はその「鬼畜の所業」を見てみましょう…(^o^;;
(灘の先生，ごめんなさい…m(_ _)m)

(問題)H24　灘中学校・算数(第2日)　大問4番
(1)　一辺の長さが1 cmの正方形の形をしたタイルをすきまなく並べて長方形を作り，この長方形の一つの対角線に沿ってタイルを切ったとき，切られたタイルの個数を数えます。

①　タイル15個をたて5cm，横3cmの長方形に並べたとき，切られたタイルは□個です。
②　タイル5184個をたて81cm，横64cmの長方形に並べたとき，切られたタイルは何個ですか。
③　タイル11664個をたて144 cm，横81cmの長方形に並べたとき，切られたタイルは何個ですか。
(2)　一辺の長さが1cmの立方体の形をした透明なブロックを，すきまなく並べて直方体を作ります。この直方体の1つの頂点から，残り7つの頂点の中で最も遠い頂点に向かって光線を発射します。光線はまっすぐ進み，ブロックによって反射したり方向が変化したりすることはありません。この光線が貫いているブロックの個数を数えます。ただし，光線がブロックの頂点のみを通っている場合や辺のみを通っている場合には，光線がブロックを貫いているとは考えません。ブロック202500個をたて75cm，横90cm，高さ30cmの直方体に並べたとき，貫かれたブロックは何個ですか。

これ，
平面図形の場合は，
(対角線で切断される正方形の個数)＝(たての個数)＋(横の個数)―(たての個数と横の個数のG.C.M.)
立体図形の場合は，
(対角線で切断される立方体の個数)＝(たての個数)＋(横の個数)＋(高さの個数)－(たての個数と横の個数のG.C.M.)－(たての個数と高さの個数のG.C.M.)－(横の個数と高さの個数のG.C.M.)＋(たての個数と横の個数と高さの個数のG.C.M.)

となるのを知っていれば瞬殺の問題だったのですよね。
これを知識として知っていた(灘中学の)受験生は多かったと思います。

こうなる理屈は，平面図形の方については以前にこのブログのマメ知識で軽く紹介しました(後半かなりはしょってますが…)ので，ご参照ください。

算数・数学　マメ知識No.8(直線が通過する正方形・立方体の個数)
「算数・数学　マメ知識No.8(直線が通過する正方形・立方体の個数)」のつづき

(2)の立体でも同じようにできるわけですが，こちらはちょっと違う説明をしてみましょう。

この対角線をたて方向で75等分，横方向で90等分，高さ方向で30等分するときに，
対角線にそれぞれ違う印をつけていくことにしましょう。
この対角線の長さを，75と90と30の最小公倍数<450>cmとすると，
それぞれ<6>cmごと，<5>cmごと，<15>cmごとに印が付けられ，対角線が切断されていくわけです。
そうするとこの問題は，
1から450まで(450までとしておくと，付けられた印の個数と切断された立方体の個数が等しくなります)の
6または5または15で割りきれる整数の総数を求める問題
と同じことであるのがわかります。
個数の計算は，ベン図で書くとわかりやすいですね。
(重なり方が，普段見る「3つの円で描くベン図」の重なり方とだいぶ異なりますが，
考え方はまったくいっしょです。
普通に3つの円を重ねて，要素が無いところに0と書いてもいいわけですし。)

高校数学で，集合を習った方は，
集合A，B，Cの和集合の要素の個数の求め方を思い出してもらえればいいと思います。
n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(A∩C)－n(B∩C)＋n(A∩B∩C)
という，あれですね。
(これもこんなややこしい記号は別として，内容自体はベン図を使えば算数でも説明できますね。)
この問題の最初に書いた公式と同じことになるのがご理解いただけるでしょうか？

かなりはしょりましたがわかっていただけましたか？(^-^)

ちなみに一応立体の場合の公式どおりやると上記のようになりますが，
この問題については，30等分点はすべて90等分点に含まれますので，
「たて75cmと横90cmの長方形の場合と同じ」と考えてもできます。
つまり，
75＋90－15＝150
ですね(^-^)

(人の腕にアゴをのせるのが好き。)

2012(H24)入試分析 算数 灘中学校(第1日) Part4

某所で質問がありましたので番外編。

(問題)H24　灘中学校・算数(第1日)　大問7番
下の図の，A，B，C，D，E，F，Gのそれぞれに1以上の整数を記入して，どの縦の列の4つの数の積も，どの横の列の4つの数の積もすべて等しくなるようにします。このとき，Gにあてはまる整数として考えられるものは，小さい方から順に□，□です。(問題文一部改)

A：B：C：D＝3：10：2：1

になるのはすぐにわかりますね。
これを

A＝3×○
B＝10×○
C＝2×○
D＝1×○

としましょう。

A×B×C×G＝14×6×20×D

が成り立ちますので，

3×○×10×○×2×○×G＝14×6×20×1×○

どちらも同じ整数(○も含む)で割って整理すると，

○×○×G＝28

となります。

よって，
○＝1のとき，G＝28
○＝2のとき，G＝7
となりますので，答えは7，28です。

これでいかがでしょうか？(^-^)＞ご質問いただいた方

(何かと手(前脚)が器用です。ハート柄は似合いません。)