2012(H24)入試分析 算数 開成中学校

では，今回から関東の入試問題の方も見てみましょう。

この番組は，算数科：池田の提供でお送りいたします。
それでは、開成中学校の問題です。

問題の分量は大問4題、小問数は11題。
ここ2年、難易度が下がっていた反動か、全体としては歯ごたえのある問題が並びました。
合格者平均の変化（64.6⇒72.1⇒55.7　85点満点）からもうかがい知ることができます。

1番は問題文の内容を正確に読み取り，コツコツと計算を積み上げていく問題です。
小問2個は確保したいところです。
2番は平面図形＋立体図形ですが、ここで3問取れればかなり楽になります。
3番は不定方程式。定石である「とりあえず未知数を減らす」という作業がきちんとできるかどうかで、
正解率が大きく変わるでしょう。
ちなみにこの問題については問題文解釈が2通りできるということで、合格発表会場には、
「どちらの考え方でも公平に採点する」旨掲示されていたということです。
2通りどちらに解釈しても、難易度は同じということで、不公平感が少なかったことが救いでしょう。
4番は約数と規則性に関する問題ですが、(1)が必須、(2)ができれば(3)は易いというところでしょうか。
キーになりそうな問題は2番と4番ですが、今回は2番を取り上げてみましょう。

(問題)H24　開成中学校・算数　大問2番


問題文を読んで、とりあえずは三角形DEF＝<1>,三角形ABC＝<7>と置いて、BC＝7cmでよかったなぁ
とホッとした受験生は多かったと思います。(^^

では、進めてみましょう。
(1)　

三角形ABC（＝<7>）は底辺比が4：3なので、左上図のように<4>と<3>に分けられます。
ここで、折り返しの部分に目を向けると、折る前と折った後の面積の合計が<5>になっていますね。
折り返しの問題は「折る前と折った後が合同な図形」というのが鉄則ですから、当然面積も等しくなっています。
つまり<2.5>ずつになりますので、<4>のところをさらに細かく分けると右上図のようになります。

BD＝4×2.5/4＝2.5cm
AE＝AB＝6cmなので、
AF＝6×1.5/2.5＝3.6cmとなります。

(2)
三角形ABDと三角形ACDを，ADを軸にして回転させるということですので、
それぞれの体積を出すのに必要なパーツに注目してみましょう。

三角形ABDの回転体は，底面の半径＝BG，高さ＝AD
三角形ACDの回転体は，底面の半径＝CH，高さ＝AD
の円すいの体積として計算することができます。

三角形ABDと三角形ACDのいずれもADを底辺として考えると、高さ比＝面積比になりますので、
BG：CH＝〈2.5〉：〈4.5〉＝5：9ですね。

2つの回転体の高さはいずれもADで等しいですから，底面積の比＝体積の比となりますので，
三角形ABDの回転体：三角形ACDの回転体は
(5×5)：(9×9)＝25：81となり、
81÷25＝3.24倍となります。

図形の複雑な問題は，不要な線に惑わされて，方針が立たないということが多いですね。
そのようなときには、線を減らして考えてみるというのが重要なテクニックになります。

今回の問題でいうと、(1)でADを一度消して考えてみたり、(2)で直線AEと直線EDを消しているのがそれにあたります。
シンプルな図にして考えるということ、図形の問題で行き詰ったときには思い出してみてくださいね。