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7月1日に「8時59分60秒」が発生!==うるう秒==

2012.06.30 12:45|雑談
 明日,7月1日に「8時59分60秒」が挿入されると聞いて,ググってみました。

ネット上のニュース記事によると,地球が誕生したころは1日が5時間だったが,
潮汐摩擦・風・海流・地震などによって,段々と1日が長くなっているとのこと。

1日5時間だったら,寝てる途中で明るくなったり,スポーツの試合中に暗くなったり,
色々不便だなぁと妄想。

(池)
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フィボナッチ数列的な場合の数

2012.06.29 16:31|基礎学習
よく見かける問題で、階段の上り方が何通りあるか、というものがあります。
階段を上るのに1度に1段または2段しか上ることができないとします。
たとえば,2段の階段は,1段ずつ2回上る方法と,2段を1回で上る方法の2通りの上り方があります。

この上り方で、順に階段を上ると、何通りの上り方ができるかを考えるというものです。

フィボナッチ階段

上の図の4段目までの上り方を見てみると、2+3=5で5通りと求めているのが分かります。4段目に来るためにはその1段前の3段目まできてあと1段上るか、2段前の2段目まで来てそこから一足で4段目に来るかの2つしか考えられません。2段目までの上り方が2通り、3段目までの上り方が3通りなので、2+3=5(通り)となるのです。
こう考えると、5段目までは3+5=8(通り),6段目までは5+8=13(通り),…となって、出てくる数を順に書くと(0段目は1通りと考えて)、1,1,2,3,5,8,13,21,…とフィボナッチ数列が出てきます。

この「階段の問題」以外にも、フィボナッチ数列的な考え方を場合の数に持ち込んだものとして、次のような問題がありました。
星光トリボナッチ


1kmから順に見ると、
1km … (1)の1通り … ☆1
2km … (1,1)か(2)の2通り … ☆2
3km … (1,1,1),(1,2),(2,1),(3)の4通り … ☆3
4kmは、 最後にA(1km)走る ← その前に3km走るので4通り(☆3)
     最後にB(2km)走る ← その前に2km走るので2通り(☆2)
     最後にC(3km)走る ← その前に1km走るので1通り(☆1)
合計4+2+1=7(通り)
5kmは、同様に考えて、7+4+2=13(通り)
6km … 13+7+4=24(通り)
7km … 24+13+7=44(通り)
8km … 44+24+13=81(通り)

前3項の和(トリボナッチ数列)が並ぶことになりますね。

フィボナッチ数列やその仲間の数列が場合の数の問題に時々登場します。
問題全体を見て、答えの登場の仕方などをよく考えながら、上手に応用できるように
練習を積んでいってくださいね!(算数科 道幸)
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整数の2乗の和

2012.06.27 14:50|マメ知識集
さらに「整数の2乗の和」の続きを。

2jouwa1.jpg

例えば,上図のように三角形の形で1から4までの整数を並べたときに,
このすべての整数の和が,
1×1+2×2+3×3+4×4
になるのはわかると思います。
次にこの三角形を120°ずつ回転させていったものを3つ作り,
3つの三角形の同じ位置に書かれた数字を足していくと,
その和はすべて9(=4+1)になります。
つまり,全部で9が
10個(=(1+44×1/2(等差数列の和))
できるので,その和は
9×10=90
となります。
よって,元の三角形に並べられた整数の和は,この1/3倍,つまり
30
となります。

同様に1からNまでの整数を同じように並べた場合,その和は
1/6×N×(N+1)×(2×N+1)(上の太字部分の「4」を「N」に置きかえて,すべてかけて整理したもの)
となります。
(高校数学で数列を習った方にはおなじみの公式ですね)

ちなみに上の公式は,
下図のような立体を組み立てることからも考えることができます。
(組み立てた後,若干の変形が必要ですが)
一度考えてみてくださいね。
(宇)
2jouwa2.jpg
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メダカ

2012.06.25 15:19|雑談
今まで日本産のメダカちゃんは1種類と考えられていましたが,先日,近大の方が2種類いることを証明されたようですね。

その記事

まぁ,中学入試には影響はないんでしょうけど,ちょっとウキウキしました。(^^♪

(池)

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流行

2012.06.23 18:22|算数雑談
ファッションに流行り廃り(はやりすたり)があるように、中学入試問題にも流行り廃りはあるようです。
何年か前に、リフトの問題を結構見かけるなぁと思っていましたが、最近はとんと出題されなかったり、峠越えの問題が、あっちにもこっちにも出題されているなぁと思っているうちに見かけなくなったり…。そういえば、円柱の側面に平行四辺形を巻きつけていくというような問題も、一時よく見かけたように思うのですが、最近は目にしないですね。
そんな中、過去の一時期に流行った問題が、復活して難関校に出題されています。それが、ここ2年ぐらい目につきました
ひとつは今年の灘中学2日目大問4。串刺しの問題で、何年か前はよく見かけた問題なので、受験生が勉強する参考書や問題集には必ず載っているような問題。実は、もっと平易な問題なのですが、同じ串刺し問題が昨年の大阪星光にも出題されています。今年、灘でまさかの出題でした。ところが、この串刺しの問題が、立体版で今年の洛南に出題されていました。立方体の串刺しも、一時期流行りましたね。
2つ目は、ある数の倍数のカードを次々に裏返していくという類の問題。灘や甲陽で昔出た問題とほとんど同じ問題が今年の東大寺洛南に出題されています。
難関中学で出題されることをきっかけに、そういった昔の「名作」が他の中学でも入試の題材として扱われていくのでしょうか。それとも、このまま消えていくのでしょうか。そんな視点でいろんな学校の入試問題を見ていくのも一興です。(算数科 道幸)
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3乗の和

2012.06.20 16:09|マメ知識集
以前,道幸先生が2乗の和の記事を書いておられましたので,今回は3乗の和の記事を。

1×1×1+2×2×2+…+9×9×9を簡単に計算する方法を考えてみましょう。

そのまえに,皆さん,九九の表はご存知ですよね。

九九の表
この九九の表に出てくる数字の和は,
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2025
となっています。

一方,1×1×1+2×2×2+…+9×9×9を計算すると,
1+8+27+64+125+216+343+512+729=2025
となります。

では,なぜこれが一致するのかを考えてみましょう。
九九の表でわざとL字型に色分けをしていますが,それぞれ同じ色のところを合計すると,3乗の計算結果になります。
例えば,5+10+15+20+25+5+10+15+20=(5+20)+(10+15)+(15+10)+(20+5)+25=25×5=125となり,
5×5×5=125です。

L字の角の所は□×□になっており,それ以外の2直線のところを組み合わせると□×□と同じ値が□-1組作れるので,
これらを合わせると□×□×□となります。

よって,1×1×1+2×2×2+…+100×100×100だったら,
(1+2+…+100)×(1+2+…+100)=5050×5050=25502500
という風に計算することができます。

そのまま計算するよりは,かなり楽になったでしょ?

(池)

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男の手料理

2012.06.19 00:10|雑談
昨日は久しぶりに料理を作ってみました。
野菜たっぷりのカレー。
玉ねぎ,にんじん,じゃがいも,カボチャ,アスパラガス,ナス,パプリカ。
肉は鶏のもも肉。
後でオクラを入れておけばよかったと後悔。

色合いは悪いけど,我ながら出来栄えには満足。

料理している間って無心になれるんで,
いい気分転換になりますね(^-^)
「たまに」のことだからかも知れませんけど(^o^;;

(宇)

IMG_0547.jpg
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時間を計る意味

2012.06.10 20:50|雑談
 今日は自習をしている子に時間の使い方の指導をしました。

「今やっているやつ,いつまでに終わらすつもり?」
ときくと,
「20分」
と言うので,20分後に様子を見てみると,全然終わらずにだらだらとやっている。

これでは時間を計っている意味がないので,
「この8問(小問14問)をテストのつもりで10分でやりなさい」
と指示を出しました。5分ぐらいして,
「全部終わった」
と言うので,
「残り5分は全力で見直し。100%全部正解していると思うなら言いなさい」
と再び指示出し。残り2分で満点宣言をするので,採点すると2問間違い。
82点の点数をつけて返却しました。

こんなやり取りを繰り返しながら,少しずつでも時間に対する意識が高まってくれればと思っています。

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【錯視体験】同じ色

2012.06.10 13:10|雑談
嘘みたいだろ? この青と緑、同じ色なんだぜ……
http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1206/09/news003.html
何回見ても信じられません。

ペイントで拡大して,青と緑を並べてみると,確かに同じ色でした…(+o+)

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同じ誕生日の人がいる確率

2012.06.07 15:57|マメ知識集
算数では今は確率の問題は出ませんが,今日はちょっと確率のお話。

有名な問題ですが,
生徒が40人いるクラスがあったとして,
その中で誕生日が同じ人がいる確率はどれぐらいになるでしょうか?
次の4つの中から選んでください。

A. 約3%
B. 約10%
C. 約50%
D. 約90%


シンキングターイム♪

ゞ(。。*)ノ ウッ♪ヾ(*’□’)ノ”ハッ♪

ゞ(。。*)ノ ウッ♪ヾ(*’□’)ノ”ハッ♪

ゞ(。。*)ノ ウッ♪ヾ(*’□’)ノ”ハッ♪

ゞ(。。*)ノ ウッ♪ヾ(*’□’)ノ”ハッ♪

ゞ(。。*)ノ ウッ♪ヾ(*’□’)ノ”ハッ♪

ゞ(。。*)ノ ウッ♪ヾ(*’□’)ノ”ハッ♪

終了~っ♪(^o^)

さて,自分なりの答えは出ましたか?
中には
「90%って,そんなアホな!これは違うからまず外して…」
と消去法で考えようとした人がいるかもしれません。

ところがどっこい!!!
これ,正解はD「約90%」なんです。

計算で考えてみましょう。
まず同じ誕生日の人がいない確率を考えます。

(ア)2人の場合
 1年を365日と考えますと,2人が同じ誕生日でない確率は
 一人が,もう一人の誕生日以外ならいいので,確率は
 364/365
 です。

(イ)3人の場合
 3人目がまた他の誕生日ならいいので,確率は
 364/365×363/365
 となります。

同じようにしていくと,
40人の場合,同じ誕生日の人がいない確率は
364/365×363/365×362/365×…×327/365×326/365
となります。

40人で同じ誕生日の人がいる確率は,
これを全体(1)から引けばいいので(余事象の考えですね)
1-364/365×363/365×362/365×…×327/365×326/365
で,これを計算すると,その確率は
0.8912…
つまり約90%になるのです。

計算では確かにそうなるとは言っても,今一つピンときませんよね。
「ほんとにそんな高確率でこんなこと起きるの?
あくまで計算上の話で実際はなかなかそうはいかないんじゃないの?」
と。
正直,私もそう思っていました(^o^;;

ところが。

私,先日Facebookのマイカレンダーというアプリを使いまして,
そこに友だちのうち53名の誕生日を登録したところ,なんと!
53名のうち,同じ誕生日の人が3組もいたのです。
計算上の確率でピンとこないものも,
こうやって実体験として見てみると,しっくりくるものですね(^-^)

あ,ちなみに我が数理教育研究会のFacebookページはこちら

こんなものを載せてほしいというリクエストがあればおっしゃってください(^-^)

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2012年6月6日 金星の日面経過が近づいてまいりました。

2012.06.04 14:08|マメ知識集
天文現象の当たり年ともいえる2012年ですが,今度は金星の日面経過が近づいてまいりました。

いわゆる日食は言い換えると月の日面経過,今回の現象は,金星による日食と言い換えてもよいかもしれません。
ただ,地球から見た金星の視直径が月の視直径に比べてかなり小さいので,通過と呼ばれています。



金星の日面通過


日面通過は上図のように太陽・金星・地球の順番で一直線上に並んだときに起こります。この状態は内合と呼ばれます。
一直線に並ぶだけならば584日間隔。結構な頻度で起こることのように感じられますが,実際はそれほど単純ではありません。



金星の日面通過失敗


この図は,上から見たときには一直線上に並んでいるのに,横から見ると一直線上になっていないという図です。
金星の公転面と地球の公転面は3.4度ほど傾いているため,図のような状態になってしまうと日面通過は起こりません。
逆にいえば,「金星が地球軌道面を横切るタイミング」で内合になると太陽面通過が起こります。
金星の軌道と地球の軌道が重なる所に地球が来るのは12月9日頃と6月7日頃で,この前後あわせて3.5日間だけしか
金星日面通過は起こりません。

空間上で一直線上になるのは非常にまれなこと。今のところは105.5年、8年、121.5年、8年の間隔で起こっており,
前回は2004年6月8日,次回は2117年12月11日とのことです。

うーん,私は次回は確実に見れないですね(^^;


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魔方陣3×3

2012.06.03 11:00|マメ知識集
2 9 4
7 5 3
6 1 8


3×3の魔方陣の並び方はこの一通りです。
※当然,向きを変えたものはあります。

2 7 6     8 1 6
9 5 1     3 5 7
4 3 8     4 9 2

など。

暗記方法として,
「憎し(294)と思えば、七五三(753)、六一坊主に蜂(618)が刺す」
というのがあります。
ちなみに,六一坊主というのは
①6+1=7であることから「質屋」を意味し、お寺のご本尊を質草にしているような生臭坊主。
②6が出るか1が出るか,サイコロ勝負,ギャンブル狂いしているような生臭坊主。
とのこと。そんな生臭坊主は蜂に刺されるよということです。

でも,いまいちピンとこないなぁという人には,
「フクシ(294)マの、七五三(753)は、ロイヤ(618)ルホテルで祝いましょう」
などでいかがでしょうか。

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2012年6月4日 部分月食が近づいてまいりました。

2012.06.02 18:05|マメ知識集
5月21日に日本各地で金環日食・部分日食で日本中が大騒ぎとなりましたが,次は部分月食が6月4日に観測できます。
今回は月食の仕組みを説明しておきましょう。

月食は太陽・地球・月が一直線に並ぶ満月の際、地球が月に対して太陽の光をさえぎる場合に起こる現象です。
約1か月前に満月に絡む現象,スーパームーンが。半月前には新月に絡む現象,金環日食が。
そして今回,満月に絡む現象,部分月食ということで,満月,新月のおよそ半月のサイクルに合っていることも
お分かりいただけるかと思います。
2012年に見られる月食(本影食)は6月4日の1回限りですので,しっかり観察しましょう。

月食

地球から見て太陽の反対側には、長い地球の影が伸びています。この影には、太陽の光が地球に完全にさえぎられる
「本影:図の濃い網がけ部分」と、地球の周りから一部が届く「半影:図の薄い網がけ」の2種類があります。
この本影に月が隠されると,とても暗くなるのですぐにわかりますが、半影に隠されただけでは写真撮影をして
初めてわかるほどの変化しかしません。

この図自体は,金環日食の図ともよく似ていますので,見比べてみてもよいのではないでしょうか。

月が本影に完全に入り込んだものを「皆既月食」、一部分が本影に入り込むものを「部分月食」と言います。
今回の月食は、最大4割弱が本影に入り込む「部分月食」です。
ちなみに半影にしか入らないものは「半影月食」と呼ばれ、今年11月28日に起こります。

月食2

こちらの図は地球の影と月の位置関係を示したものです。
月の出が札幌でも18:59なので,そこからの図になっています。

18:59 本影にかかり始めて部分食の開始
20:03 食の最大
21:07 部分食の終了
22:19 半影食終了
となります。

ちなみに,日食では観測する場所によって月と太陽の位置関係が異なるため、太陽の欠け具合や欠ける時刻が
場所によって異なりましたが、月食では月に写る地球の影を観察することになるため、どこから観測しても月の欠け具合や
欠ける時刻は同じです。
「~に住んでたら見れたのに!!!」というような不公平が無いですね♪

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第21回 算数オリンピック トライアル 寸評

2012.06.01 19:36|算数雑談
今回は「算数オリンピック トライアル」の寸評です。
※☆は難易度です。

問題1
 虫食い算。上から4段目の上3桁⇒3段目と4段目の差に注目して1段目…とたどれば,当てはめも2パターン位で
 おさまるでしょう。これは落とせません。
問題2☆☆
 まずは書いてあることをそのまま式にすると,赤□と青○,赤○と青□の関係が浮かび上がります。面白い問題でした。
問題3
 ジュニア算数オリンピック トライアルの4番と同じ問題。これはとっておきたいところです。
問題4☆☆☆
 △を1,5,7,9までしぼれば,かなり楽になるのではないでしょうか。
問題5☆☆☆☆
 「わかりません=他の二人は等しくない」ということがカギですね。
 それに加えて,自分よりも前に発言した人はわかりませんと言っている。
 これをうまく組み合わせて考えましょう。
問題6☆☆☆
 素因数分解して,4つの直線にどう配分するかです。素因数3,5,7がカギですね。
問題7☆☆☆☆
 九九の答えが十の位と一の位で1差のものから絞ると思われますが,答えにたどり着くまでの道のりが長いですね。
 かなりしんどいです。
問題8☆☆
 ジュニア算数オリンピック トライアルの8番の正四面体が立方体になった問題。
 場合分けをきちんとして,対称性を利用すればあっさりいけるでしょう。
問題9☆☆☆☆
 0の置き場所・同じ数字の置き場所に注目して場合分け。
 場合分けが難しいので,7番と同様に正解率は低そうです。
問題10☆☆☆
 二等辺三角形は縦割りという,基本動作をきちんと行えば,相似がすぐに見つかりました。
 きちんとここに時間を充てることができましたか?


難しい問題と簡単な問題のムラが大きかったですね。最後の図形が以外と取りやすかったので,
図形が極端に苦手な人と,ものすごく得意な人には残念なテストだったかもしれません。

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