2014(H26)大阪桐蔭入試プレテスト

12月7日に大阪桐蔭中学校でプレテストが行われましたので，そこから1問取り上げてみます。

【6番(3)】1辺の長さが4cmの立方体ABBCD-EFGHがあり，その6つの面を赤くぬります。
3点B，D，Eを通る面を面①，3点C，A，Fを通る面を面②とします。また，辺AEの上にあり，
Aから3㎝の点をKとします。立方体を面①で切ったときにできる2つの立体のうち，体積の
大きい方の立体をV1とし，V1を面②で切ったときにできる2つの立体のうち，体積の大きい方の
立体をV2，小さい方の立体をV3とします。さらに3点K，H，Gを通る面でV2を切ったとき，
辺EFを含む方の立体をV4とします。次の問いに答えなさい。
ただし，角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。
(3)V4の体積を求めなさい。

まずは，3回の切断面を図に書き込んでみましょう。

このときに一番下に残った立体の体積を求めればよいわけですが，これだけ線が描かれると混乱する人が
出てきます。このようなときには，それぞれの切り口がどの面に描かれたかを意識するとよいでしょう。
ここでは分かりやすくするために，
前の面の切り口は水色，右の面の切り口は赤色，左の面の切り口は緑色にしてみました。

同じ色の線同士は同一平面上に乗っているので，●の所は交差します。
●同士のうち，同じ切断面上に乗っているものは結ぶことができますので，(←これ大事！！)
これを手がかりに考えると，V4は下のような立体になることが分かるかと思います。

この立体の体積は，左下の図の三角柱から右下の図の三角すい2つを切り取ればよいですね。

2つの三角すいは同じ体積ですので，右側の三角すいの体積を求めましょう。
前の面から見た図と，右の面から見た図は下のようになりますので，

三角すいABC-Fの体積から隣辺比を利用して三角すいXYZ-Fの体積を求めることができますね。

三角すいABC-Fの体積は4×4×4×1/6＝32/3cm^3ですから，
三角すいXYZ-Fの体積は32/3×1/5×1/4×1/4＝2/15cm^3となります。
三角柱の体積は4×1÷2×4＝8cm^3なので，
V4の体積は8－2/15×2＝116/15cm^3となります。

立体の切断で混乱する人は，切断面を書きこんだ後，どこの部分が残るのかがわからないという人が多いです。
上で色分けをしたように，同一平面上で交わる切り口に注目するということが抜けてしまっている人が多いので，
今一度，入試までに確認しておきましょう。(池)

2014(H26)清風南海入試プレテスト

11月30日に清風南海中学校でプレテストが行われましたので，そこから1問取り上げてみます。

【3番】次の図のような正方形ABCDがあり，正方形の内部に辺ABまたは辺ADに平行な線を引き，
(ア)～(オ)の部分に分けます。(イ)の面積は200㎝^2，(エ)の面積は160cm^2，(オ)の面積は
240㎝^2です。DE，FG，HC，CI，FMの長さがすべて等しいとき，次の問いに答えなさい。

(1)J，Kを結ぶとき，四角形JKLMの面積を求めなさい。
(2)AE：EDを最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3)正方形ABCDの面積を求めなさい。
(4)(ウ)の面積を求めなさい。
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(1)
J，Kを結べと書いてあるので，結んで長方形JKLMを作りましょう。
この長方形の面積を下の図のように(カ)とします。
四角形ABCDは正方形ですから，下の図の×印の長さが等しいこともわかりますね。
すると，(イ)－(カ)の面積と(エ)＋(カ)の面積が等しいことになります。
つまり，200－(カ)＝160＋(カ)ですから，
(カ)×2＝200－160＝40㎝^2
(カ)＝40÷2＝20㎝^2となりますね。


(2)
引き続き，上の図です。
(イ)－(カ)の長方形と(オ)の正方形はいずれも縦の長さが○印ですから，
この2つの四角形の面積比がそのまま横の長さの比，つまりAE：EDとなります。
よって，(200－20)：240＝3：4となります。

(3)
さらに引き続き，上の図です。
(エ)＋(オ)＋(カ)の面積は160＋20＋240＝420㎝^2です。
先ほど，AE：ED＝3：4と出しましたから，
正方形ABCDは420×7/4＝735cm^2となります。

(4)
最後は下の図のように補助線を入れ，長方形(キ)を作りましょう。
正方形FGOMと正方形KHCIはいずれも一辺の長さが○印なので，
(キ)の面積は240－180－20＝40cm^2です。
JK：KN＝長方形JKLM：長方形KNOL＝20：40＝1：2ですから，
(ク)と(ケ)の面積比も1：2ですね。
よって，(ク)の面積は180×1/3＝60cm^2です。
なぜ(ク)を出したかというと，(ウ)の面積は実は(ク)の面積と等しいからです。
JK＝○印－KN＝NHですからね。
よって、求める面積は60cm^2です。


最近、面積迷路というパズルがよく本で出されており、私もよく解いていたのですが、
そのブームに乗った出題というところでしょうか。
興味のある方は本屋さんで探してみるといいかもしれません。
低学年の方でも楽しめますよ。
(池)