2014(H26)入試分析 東大寺学園中学校 算数 PART1

東大寺の問題分析をします。
去年も結構なボリュームで，単に枚数が増えただけでなく，問題の難易度レベルもかなり上がったという印象でしたが，今年は時間も60分に増えて，さらにパワーアップしたという印象です。
実際解いてみると，難易度の高い問題がこれでもかと並んでいて，さすがの東大寺受験生も苦しめられたのではないかと思います。
受験者平均は43.1点。受験生の得点分布をみても，6割取れていたのが受験生約900人中100名ほど。
こういう問題に対しては，押さえるべき問題を確実に得点にできるか，ミスはないかという視点を冷静に持てるかどうかも非常に大切でしょう。大問1，大問2は絶対にと言っていいほど外せません。残る大問3つは取れるところを徹底的に取りに行く。問題としての難易度はかなり高いですが，小問を一つでも二つでもきちっと取っておきましょう。

(問題)H26　東大寺学園中学校　算数　大問4番
下の図のような三角形ABCと半径1cmの円Pがあります。円Pを三角形ABCの辺にそって離れることなくその内側を一周させると，三衛形ABCの内部で円Pが通らなかった部分は，頂点A，B，Cの近くと中央の三角形DEFの，合わせて4つあり，その面積は全部で47.86cm^2でした。次に，円Pを三角形DEFの辺にそって離れることなくその外側を一周させたところ，三角形ABCの内部で円Pが通らなかった部分の面積は全部で53.44cm^2でした。このとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は3.14とします。




(1)①三角形ABCの内側を一周させたときに，円Pが通らなかった4つの部分のうち，頂点Aの近くの部分を，解答欄の図に斜線で表しなさい。
②三角形DEFの外側を一周させたときに，円Pが通らなかった4つの部分のうち，頂点Aの近くの部分を，解答欄の図に斜線で表しなさい。
(2)三角形DEFの面積を求めなさい。
(3)三角形ABCのまわりの長さは,三角形DEFのまわりの長さに比べてどれだけ長いですか。

⑴解答欄は，①も②も次のようになっています。


そして解答図です。

①の図ではAGHの部分，②の図ではAJKの部分が答えの斜線部分です。ところで，図には円の中心や頂点Dから三角形ABCの辺まで垂線をひいていますが，これはできれば一緒に記入しておいた方が良いと思います。（記号は後の解説で使うために記入しました。）

さて⑵です。解答図で，四角形AGIHと四角形AJDKは相似で，辺の比はGI：JD＝1cm：2cm＝1：2です。
したがって，面積比は1×1：2×2＝1：4となります。ということは円の通過しないすみっこ（それぞれ3か所あります）の面積の比も1：4となります。それぞれ[1]，[4]とすると
三角形DEF＋[1]＝47.86cm^2　　…㋕
三角形DEF＋[4]＝53.44cm^2　　…㋖
ですから，㋕㋖を比べて，[3]＝53.44－47.86＝5.58cm^2より，[1]＝1.86cm^2
よって，三角形DEF＝47.86－1.86＝46cm^2です。

⑶では，円Pを三角形DEFの辺にそって離れることなくその外側を一周させた方の図で考えます。
次の図を見てください。

図の太線部分の長さの合計が，求める三角形の周囲の長さの差です。
網目をつけた3つの四角形㋐，㋑，㋒を合わせると，太線部分が周囲になる三角形ができ，その中に半径2cmの円がぴったりと入ります。（これの円を「内接円」と呼びます。中学校で習います^_^;）
この三角形(三角形A´B´C´とします)の面積は，円Pを三角形DEFの辺にそって離れることなく外側を一周させたときの，三角形ABCの内部で円Pが通らなかったすみっこの部分の面積(㋗)と，半径2cmの円の面積(㋘)の合計です。
㋗は53.44－46＝7.44cm^2，㋘は2×2×3.14＝12.56cm^2なので，三角形A´B´C´は20cm^2ですね。
A´B´×2÷2＋B´C´×2÷2＋C´A´×2÷2＝(A´B´＋B´C´＋C´A´)×2÷2＝20cm^2となるので，
太線部分の長さの合計(A´B´＋B´C´＋C´A´)＝20cmです。

東大寺の算数の問題は，従来，易しい→難しい→易しい→難しい→…を繰り返してきたようなところがありますが，昨年かなり難易度が高かったにもかかわらず，今年はそれに輪をかけて難問ぞろいとなりました。
実は，これは意外なことではなく，学校説明会で，時間が60分になることと併せてすでに説明されてていたことです。
来年，本校の受験を考えている人は，どのように対応したらいいのでしょうか。
東大寺の算数の方向が変わらなければ、今年度の出題のような難問対応力を徹底的に鍛えていくということも考えられます。しかし，入試は3教科または4教科の戦いです。特に本校では，理科よりも社会の点数が出やすい入試であることは周知の事実です。ですから，難問対応力を磨くのに時間を割き過ぎることは得策ではないでしょう。国語や社会といった文系の教科でも確実に得点できる力を養いながら，算数では，難しいと思ってもとれるところをしっかり押さえる(今年でいえば55点くらい)という方針も十分考えられますね。
（蛇足ですが，今年の例では，国70算45理45社70取っていれば，合計230点で合格最低点228点を超えます。）
(道)

2014(H26)入試分析 灘中学校(第2日) 算数 PART2

前回に引き続き，灘中学校1日目の問題です。

(問題)H26　灘中学校・2日目算数　大問5番
(1)右の図1のように，長方形ABCDがあります。点Eは辺ADを1：3の比に分けています。
また，点Fは辺BCのまん中の点です。図の斜線部分で示した，三角形AFDと三角形BCEの
共通部分の面積は，長方形ABCDの面積の何倍ですか。

(2)右ページの図2は，1辺の長さが15cmの立方体です。辺AE，BF，CG，DHには1cm刻みで
0から15までの目もりがついています。面ABCD上の点Pは対角線ACを1：3の比に分けています。
また，面EFGH上の点Qは対角線EGのまん中の点です。
四角すいP-EFGHと四角すいQ-ABCDの共通部分を立体Vとします。

(ｱ)次の目もりのついた4つの点を通る平面でVを切ると，切り口は正方形になります。
その1辺の長さは何cmですか。空欄に数を入れなさい。
1の目もり……1辺の長さが1cmの正方形
5の目もり……1辺の長さが□cmの正方形
7の目もり……1辺の長さが□cmの正方形
9の目もり……1辺の長さが□cmの正方形
(ｲ)Vの体積を求めなさい。



(1)三角形EBCや三角形FADから不要部分を引いてもよいですが，今回はEFで2つに分けて，それぞれの面積を考えます。
まず，赤の相似に目をやると，相似比は①：②ですから，EG：GBも1：2となります。
三角形EBFは長方形全体の1/4ですから，三角形EGF＝1/4×1/3＝1/12ですね。
同様に，青の相似に目をやると，相似比は③：②ですから，EH：HCも3：2，
三角形EFCは長方形全体の1/4ですから，三角形EHF＝1/4×3/5＝3/20となります。
よって，求める部分の面積は1/12＋3/20＝7/30となります。


(2)(ｱ)「切り口は正方形になります。」の一文は受験生には非常にありがたいです。
この一文がなければ，(2)にチャレンジすることができない子がかなりの数になったと思われます。
まず，立方体の四頂点を結んだ長方形AEGCを下の図のように書き出してみましょう。

(1)の図と全く同じ図であることがわかりますね。
立方体の高さが15cmですから，AP,PC,EQ,QGのいずれも15の倍数になるようにしておけば計算が楽になりそうです。
今回考える四角すいの共通部分というのが(1)の斜線部分と同じ，四角形PIQJということになります。
この平面図で表される横方向の長さが切断面の正方形の対角線を表します。
例えばAC(＝<60>)が対角線の場合は，一辺が15cmの正方形になります。

また，1の目もりで切ったときの正方形の対角線は（あ）のところで，<60>×1/15＝<4>ですから，
一辺の長さは15×<4>/<60>＝1cmとなるわけです。問題文とつじつまが合っていることが確認できますね。

5の目もりで切ったときの正方形の対角線は（い）のところで，<60>×5/15＝<20>ですから，
一辺の長さは15×<20>/<60>＝5cmです。

9の目もりで切ったときの正方形の対角線は（え）のところで，<60>×6/15＝<24>ですから，
一辺の長さは15×<24>/<60>＝6cmです。

7の目もりで切ったときの正方形の対角線は（う）のところですが，これは（い）と(え)のちょうど間なので，
(<20>＋<24>)÷2＝<22>，正方形の一辺も(5＋6)÷2＝5.5cmと出せますね。

(ｲ)切断面（い）より上の部分＋切断面（え）より下の部分＋切断面（い）と切断面（え）の間　に分けましょう。

・切断面（い）より上の部分　⇒　四角すいになります。
　　底面が一辺5cmの正方形，高さが5cmなので，5×5×5÷3＝125/3cm^3
・切断面（え）より下の部分　⇒　四角すいになります。
　　底面が一辺6cmの正方形，高さが6cmなので，6×6×6÷3＝72cm^3
ここまではスムーズに行けるでしょう。
・切断面（い）と切断面（え）の間　⇒　これは四角すい台になります。
　　下の底面が一辺6cmの正方形，上の底面が一辺5cmの正方形，高さが4cmです。
　　切り取られた部分と切り取る前の四角すいは，相似比が6：5，体積比が(6×6×6)：(5×5×5)＝216：125ですから，
　　4×6＝24cm　…　切り取る前の四角すいの高さ
　　6×6×24÷3×(216－125)/216＝364/3cm^3　となります。

よって，求める立体の体積は，125/3　＋　72　＋　364/3　＝　235cm^3　ですね。


今回の立体図形の問題をいかに平面図形上に落として処理できるかという力が問われている問題でした。

立体図形の問題の中には，「完成図をしっかりとイメージしないと解けない」という問題もありますが，
「ぼんやりとしたイメージ＋平面図形上でいかに処理をするか」ということを念頭に置いて普段から
学習しておかないと，とても取り組めないというような問題が増えつつあります。

「平面図形上で処理をする」をキーワードに，立体図形の学習に励んで下さいね。(池)

2014(H26)入試分析 灘中学校(第2日) 算数 PART1

さて，今回から灘中学校2日目です。

(問題)H26　灘中学校・2日目算数　大問4番
4桁の整数ABCDに次の①，②，③の「操作」を施して新しい整数を作ります。
①　A×A，B×B，C×C，D×Dをそれぞれ計算する。
②　①でできた4個の数をそれぞれ14で割り，余りを求める。ただし，0を14で割ったときの余りは0である。
③　②で求めた余りを順に並べて整数をつくる。
例えば，右のように，2014に「操作」を施すと4012が作られ，1513に「操作」を施すと11119が作られます。

(1)次の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。

(2)「操作」を施しても値が変化しないような4桁の整数は全部で何個ありますか。
(3)「操作」を施すと値が小さくなるような4桁の整数は全部で何個ありますか。
(4)「操作」を施すと値が大きくなるような4桁の整数は全部で何個ありますか。

(1)はそのまま計算するだけですね。
36÷14＝2あまり8　⇒　8
49÷14＝3あまり7　⇒　7
64÷14＝4あまり8　⇒　8
81÷14＝5あまり11　⇒　11

この表を完成させた時点で，10個の数字が大まかに4種類に分類できることに気づきますか？
A：操作後，変わらないもの　0，1，7，8
B：操作後，小さくなるもの　4
C：操作後，大きくなるもの(桁数は1桁のまま)　2，3，6
D：操作後，大きくなるもの(桁数が2桁になる)　5，9
これを使って，(2)以降を解いてみましょう。

(2)変化しないということは，使ってもいいのはAタイプの0，1，7，8です。
千の位に0は使えないので，3×4×4×4＝192個ですね。

(3)小さくなるということは，桁数が増えるような5，9は絶対に使えません。
上の位が小さくなってしまえば(つまりBタイプであれば)，下の位は桁数が増えさえしなければ(ABCのいずれでも)OKです。
それぞれ，左から順に千，百，十，一の位で()内のタイプの数を使えると考えると，
・(B)(ABC)(ABC)(ABC)　1×8×8×8＝512個
・(Aの0以外)(B)(ABC)(ABC)　3×1×8×8＝192個
・(Aの0以外)(A)(B)(ABC)　3×4×1×8＝96個
・(Aの0以外)(A)(A)(B)　3×4×4×1＝48個
よって，512＋192＋96＋48＝848個となります。

(4)全ての4桁の数(9×10×10×10＝9000個)から変化しないものと小さくなるものを除けば大きくなるものが残ります。
9000－192－848＝7960個となります。

10個の数をバラバラに考えるのではなく，4つのグループに分けるというのがポイントですね。
わったときのあまりを扱う問題のときには，よくこのグループ分けの考え方は利用しますので，
受験生は覚えておくとよいですよ。(池)

2014(H26)入試分析 算数 大阪星光学院中学校 PART2

今回は，大問５を解説します。

【大阪星光学院２０１４年度大問５】
ある一定量の水が入っている水槽があります。この水槽に一定の割合で1本のホースから水を入れながら，いくつかのポンプで水をくみ出します．次の①から④をもとに以下の問いに答えなさい．
①　どのポンプも同じ時間にくみ出す水の量は同じです．
②　ポンプ3つで水をくみ出す場合は，10分で水がなくなります．
③　ポンプ4つで水をくみ出し，2分たった時点で，ポンプ1つが6分30秒でくみ出せる量の水を加えると，その後7分で水がなくなります．
④　ポンプ8つで2分間水をくみ出すとその時点で20Lの水が残ります．
(1)　1分あたりに1本のホースから入る水の量は，ポンプ1つが1分あたりにくみ出す量の□倍です．
(2)　最初に水槽に入っていた水の量は□Lです．
(3)　③において，加えた水の量は□Lです．
ニュートン算の問題です。星光を受験しようという受験生なら､ある程度ニュートン算の解き方には習熟していると思います。

仕事算的に最初の量を決める解き方や，線分図を描いて解く方法などが考えられますね。
そして、この問題に限って言えば，その中でも線分図を描いて解く方がたやすく解答に行きつくのではないかと筆者は考えました。

そこで，線分図を使って解説することにします。

前提として，１分間にポンプ１つでくみ出す水量を[1]，１分間で入る水の量を<1>とします。
(1)　はじめの量＋入った量＝くみ出した量，となります。
条件②では，
入った量＝<1>×10＝<10>
くみ出した量＝[1]×3×10＝[30]
条件③では，
入った量＝<1>×9＋[6.5]＝<9>＋[6.5]
くみ出した量＝[1]×4×9＝[36]
となりますから，この2つを線分図であらわすと，



となりますね。
これを上下比べると，[0.5]＝<1>と分かります。
よって，[1]＝<2>
1分あたりに1本のホースから入る水の量(＝<2>)は，ポンプ1つが1分あたりにくみ出す量(＝<1>)の，
2÷1＝2倍です。

(2)(1)がクリアできれば，(2)以下は簡単ですね。
[30]＝<60>を使うと，はじめの水量は，<60>－<10>＝<50>です。
条件④から，<50>－(<2>×8－<1>)×2＝20Lより，<20>＝20L，つまり<1>＝1Lなので，
はじめの水量<50>＝50Lです。

(3)加えた量は〔6.5〕＝<13>なので，13Lとなります。

仕事算的に最初の量を決めてから解く方法は，この問題では，数値の設定が難しいですね。
この問題のように，解法がいくつか考えられる問題は，自分がいつもやっている解き方と違う解き方にもある程度習熟しておくと，実際の入試問題を前にして視点を変えて考えられる可能性があります。

多くの問題を機械的に，スピードを上げてこなしていく練習方法も大切ですが，複数の解き方を１問１問丁寧に理解しながら進めていくことも同じように大切ですね。(道)

2014(H26)入試分析 灘中学校(第1日) 算数 PART3

まだまだ続きます，灘中学校，一日目♪
(問題)H26　灘中学校・1日目算数　大問7番
右の図で，点A，B，C，D，Eは正五角形の頂点で，ACの長さは5cmです。
また，A，B，C，D，Eを中心とする円の半径はすべて1cmです。
図の太線のように，5個の円にたるまないように糸をかけます。
必要な糸の長さは□㎝です。ただし，糸の太さは考えないものとします。

おそらく，曲線部分と直線部分に分ければいいんだということには皆さん，気がついたかと思います。
しかし，下の図で，赤曲線部分×5＋青直線部分×5と考えてしまった方は青直線部分が出ずに苦しんだことでしょう。
まぁ，青直線が出てしまうと，間違った答えを出して次に進んでしまうという意味では青直線の長さが出ないのは
いいことなのかもしれません。(^^;

「円の問題では中心から接線に対して垂直に線を下ろす」ということを知っていれば，上の図の間違いが分かりますね。
正しくは下の図のようになります。

角CADは108－(180－108)＝36°ですから，おうぎ形の中心角は360－90×2＋36＝216度。
青い直線の長さはACと等しく，5cm。
よって，求める長さは(2×3.14×216/360)×5＋5×5＝43.84㎝となります。

この問題で間違えた人の中には，上の間違った図の方で考えて，直線の長さを無茶な決めつけで出した人もいたでしょう。
あるいは，おうぎ形の中心角がわからずにギブアップした人もいたかもしれません。
そんな人たちも，「円の問題では中心から接線に対して垂直に線を下ろす」ということは知っていたはず。
困ったときほど，基本に立ちかえってみるようにしましょう。(池)

2014(H26)入試分析 灘中学校(第1日) 算数 PART2

さて，前回に引き続き，灘中学校1日目の問題です。

(問題)H26　灘中学校・1日目算数　大問8番
右の図の四角形ABCDは，ADとBCが平行な台形です。対角線AC，BDが交わる点をEとおき，辺BC上に点Fを
とります。三角形AFEの面積が42cm^2，三角形DECの面積が108cm^2のとき，BFの長さとFCの長さの比を
最も簡単な整数の比で表すと，(BFの長さ)：(FCの長さ)＝□：□になります。

まずは台形に対角線が引いてあるので，△ABE＝DCE＝108cm^2，これはサッと見つけて欲しいところです。


すると，ここからは6番で紹介した考え方とそっくり。
もしもFがCの位置ならば△AFE＝0㎝^2(一直線)，もしもFがBの位置ならば△AFE＝108㎝^2ですから，
△AFE＝42cm^2となるFの位置は，BF：FC＝(108－42)：(42－0)＝66：42＝11：7です。

固定点として与えられたFを，BC上で自由に動かすというふうに発想を切りかえることができれば，理解しやすいかと
思います。これが使えるようになると，解ける問題はぐっと増えますよ。是非マスターして下さいね。(池)

2014(H26)入試分析 灘中学校(第1日) 算数 PART1

今回は灘中の入試分析をしてみましょう。

まず，最初に面食らったのは倍率です。ここ5年の倍率の推移は，
(H22)2.85⇒(H23)3.13⇒(H24)3.42⇒(H25)3.54⇒(H26)3.85
実質倍率にしても
(H22)2.44⇒(H23)2.67⇒(H24)2.81⇒(H25)2.81⇒(H26)2.97
とほぼ3倍に…
年々，取れるところを落とせない，1つのミスも許されないという状況になってきているということが言えるでしょう。
まぁ，当たり前のことなんですがね。

入試の点数に目を向けると，
算数1日目は　小問は例年通り15問ですが，大問数にして11問。パッと見は例年よりじっくりと取り組める感じですが，
受験者平均が(H22)55.1⇒(H23)58.3⇒(H24)66.5⇒(H25)45.0⇒(H26)57.2
合格者平均が(H22)70.5⇒(H23)71.8⇒(H24)79.4⇒(H25)58.6⇒(H26)73.3
ここ5年で，受験者平均と合格者平均の差が最大となりました。
教科の特性上，どうしてもこの差が大きくはなるのですが，普段は解けてもテスト中だと心が乱れそうな4番の後に，
この日の算数で一番きつい5番の問題があり，最後には計算が大変そうな11番があって見直しをする気力がなくなる…
心が弱い子は「持っている力を発揮する」「60分をフルに活かす」ということがしんどい試験だったのでしょう。
学力的な面と精神的な面が一定ラインを超えているとそこそことりやすいが，そのラインを切った瞬間にガクッと
得点が落ちるようなテストだったのではないでしょうか。

算数2日目は　大問数は5問ですが，1番，4番，5番は小問数も多く，小刻みな得点がカギになります。
受験者平均が(H22)59.3⇒(H23)44.9⇒(H24)71.4⇒(H25)54.9⇒(H26)49.7
合格者平均が(H22)73.3⇒(H23)63.8⇒(H24)86.2⇒(H25)70.3⇒(H26)63.9
大きく上に抜けるためには大問1，大問2，大問5あたりが最後まで解けるかどうかというところなのでしょうが，
差をつけられないためには大問3，大問4のような場合の数で全滅しないことが重要です。
特に今回は大問2が時間を取られたであろう問題だったので，後ろで時間不足になった子にとっては非常に
辛い試験だったと思われます。時間不足になるとどうしても場合の数の書き出し方などが雑になりますからね。

では，実際の問題を見てみましょう。
(問題)H26　灘中学校・1日目算数　大問6番
右の図のように，面積が18cm^2の正六角形ABCDEFの内部に点Gをとり，
6つの頂点とGをそれぞれ直線で結びます。
3点B，G，Eと，3点D，G，Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は□㎝^2です。
また，3点C，G，Eと，3点D，G，Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は□㎝^2です。

1問目：まずは，きちんと作図をしましょう。作図ができない人はこの時点でアウトです。
3点B，G，Eと，3点D，G，Fがそれぞれ一直線上ということですから，直線BEと直線DFの交点がGとなります。

上の図からもわかるように，台形ABEFの③/(②＋③＋①)＝1/2ですから，18×1/2×1/2＝4.5cm^2となります。

2問目：こちらも先ほどと同じように作図しましょう。
GがFの場所にあれば全体の1/6(つまり3㎝^2)ですし，GがDの場所にあれば全体の1/3(つまり6cm^2)で
分かりやすいのですが，実際のGは中途半端な位置です。

このようなときは，FG：GDの長さの比が分かれば簡単。
AEとDFの交点をHとすると，FH＝HG＝GDですから，FG：GD＝2：1，
よって，3＋(6－3)×2/3＝5cm^2となります。
F：3㎝^2，H：4cm^2，G：5cm^2，D：6cm^2とするのが実戦的かもしれませんね。

※※※別解※※※
三角形ABGと三角形DEGの和が正六角形の1/3(つまり6cm^2)になるということを利用してもよいですね。
①の場合，三角形DEGの面積は三角形DEFの半分なので，18÷6÷2＝1.5cm^2
よって，6－1.5＝4.5㎝^2と出せます。
②の場合，三角形DEGの面積は三角形DEFの1/3なので，18÷6÷3＝1cm^2
よって，6－1＝5㎝^2と出せます。
※※※※※※※※

正六角形は中学入試ではよく取り上げられる題材です。
三角形ABF＝全体の1/6
三角形BDA＝全体の1/3
などは見た瞬間に答えられるようにしておいた上で，
それをどのように使っていくかということを普段の学習から意識していくようにしましょう。(池)

2014(H26)入試分析 算数 大阪星光学院中学校 PART1

〔入試概観〕
統一入試解説シリーズ。第1弾は大阪星光学院。
言わずと知れた大阪の私学の名門です。
同校ホームページ(http://www.osakaseiko.ac.jp/exam/exam2.htm)に今年度の入試結果が掲載されています。
受験者数は24年度入試からここ3年，685人，703人，726人と徐々に増加していていますが，合格者数は326人，268人，302人となっており，実質競争率は，2.1倍→2.6倍→2.4倍と推移しています。
昨年と比較して若干競争率は下がっていますが，難関であることは変わりありません。

教科別にみると，算数・社会は昨年と比べて受験者平均，合格者平均とも上がっていて，逆に国語と理科は下がっています。国語は15点前後，理科は10点前後の大幅なダウン。
この結果，合格最低点は昨年の271点から244点に大きく下がりました。
ちなみに，大阪星光では合格者選抜方法として，(ア)4科合計，(イ)3科(算国理)合計×1.25，(ウ)3科(算国社)合計×1.25，の3つから一番いいものを採用して決めるという方式をとっています。
受験者平均で，26年度入試にこれを当てはめると，(ア)241.9点　(イ)222.1点　(ウ)244.75点　(合格最低点は244点)
何と、単純に考えると、社会をとるのとそうでないのとでは20点以上の開きがあります。今年は，社会の選択が合否を分けた感がありますね。（もちろん，事実はそう単純ではないのですが）

〔算数分析〕
入試の結果を左右すると言われる算数ですが，今年も受験者平均(73.1点)と合格者平均(90.4点)の差は大きく，やはり算数の出来不出来は入試の結果に大きく影響したようです。
ところが，難易度はというと，はっきり言ってしまえば，「簡単」でした。大阪星光を目指す受験生が普段練習している問題の方がずっと難しい。赤本で過去問を7，8年遡ってみても今年の問題は一番簡単に思えます。
問題形式は例年通りで，問題用紙2枚，解答書き込み式。問題数は大問5問，小問17問の構成です。小問1題7点前後でしょうか。
1枚目は，大問2問。大問1は，計算をはじめ，独立した小問5問，大問2は分数の数列。
2枚目は，大問3が図形の平行移動，大問4が立方体(サイコロ)の積み重ね，最後が大問5でニュートン算となっています。
このうち，受験生が手間取りそうな問題は，大問1の(5)の平面図形と最後の大問5のニュートン算ぐらいでしょうか。
大問3もややこしそうに見えますが，(3)の1つ目の□まではそれほど難しくはありませんし，(3)の2つ目の□も無茶な問題ではありません。

それでは，今回は大問1の(5)の平面図形の問題を解説します。

【問題】右の図において，BD：DC＝4：3で，AD＝4cmです。
このとき，AB＝□cmです。



4：3をどう使うか，20度と80度にどんな意味があるのか。
一見，何を手掛かりにしていいのか戸惑う問題ですね。
そこで，DからACに平行な補助線を引いて，ABとの交点をEとしてみましょう。





すると，角CAD＝角EDA＝80°となります。三角形ADEの残る角度を計算すると
180－(20＋80)＝80(度)ですから，角DEA＝80度となり，三角形ADEは二等辺三角形であることが分かります。
したがって，AD＝AE＝4cm。また，ACとEDは平行ですから，BD：DC＝BE：EA＝4：3ですね。




ですから，AB＝4×7/3＝28/3(cm)となって，求められました。
学校から与えられた図をもとに作図しても，二等辺三角形には見えませんね。入試問題では図がわざと不正確にかかれていることも多いので，その図をもとに考える場合は注意しないといけません。

長年，大阪星光の受験結果を見てきて，いつも思うことがあります。
算数の実力もあり，過去問をさせてもいつも8割程度は普通にできている受験生が，本番の入試で40～50点程度しか取れないことがよくあります。大阪星光には限らないのでしょうが，入試の会場には「魔物」でも潜んでいて，その呪いにやられたのかと思わず考えてしまいます。受験生たちには，実力を如何なく発揮して勝負してもらいたいですし，そのために，魔物に負けない強い精神力も鍛えていかないといけないのではないかということです。(道)

2014(H26)入試分析 算数 浦和明の星女子中学校

いよいよ，近畿圏中学校統一入試日が明日となりました。
みんなそれぞれに希望と不安を抱きつつ，日々を過ごしていることだと思います。

一方，関東では1月受験がすでに始まっています。そんな中から，ちょっと1問見てみましょう。

(問題)H26　浦和明の星女子中学校　算数　大問5番(3)
ある店で買い物をすると，現金で払った金額の5%がポイントとしてもらえます。ただし，金額の5%が
小数となるときは，小数点以下を切り捨ててポイントにします。このポイントは次の日から1ポイント
を1円として使うことができます。星子さんは，この店のポイントを850ポイント持っていました。
ある日，星子さんが9800円のデジタルカメラと1050円のカメラケースを買いに行ったところ，2日後に
すべてのポイントが使えなくなることを知りました。そこで，その日はデジタルカメラだけを買い，
次の日にポイントだけでカメラケースを買い，ポイントを使い切ることを考えました。
このとき，次の問いに答えなさい。ただし，消費税は考えないものとします。

(3)次の日にポイントだけでカメラケースを買い，ポイントを使い切るためには，星子さんは何ポ
イントを使ってデジタルカメラを買えばよいですか。

実は(1)のところで「ポイントを使わずに買うと次回に何ポイント使えますか」という設問があります。
今回獲得するポイントが9800×0.05(＝9800÷20)＝490ポイント，
前回からの繰り越しポイントが850ポイントあるので，
合計で490＋850＝1340ポイント使えるということになります。

つまり，次回使えるポイントをここから1340－1050＝290ポイント減らせばよいですね。

★デジタルカメラを買う時点でポイントをどれだけ使えばよいかということですが，使うポイントが，
★1ポイント～20ポイントの場合，今回獲得するポイントは1ポイント減ります。
★21ポイント～40ポイントの場合，今回獲得するポイントは2ポイント減ります。
★41ポイント～60ポイントの場合，今回獲得するポイントは3ポイント減ります。
　・
　・
　・


その上で，繰り越しポイントも今回使ったポイント分減りますので，
今回使ったポイントを□ポイントとすると，
□÷20＋□＝290となればよいわけです。
※ただし，□÷20は小数点以下切り上げ

おおよその目安を立てると，(□÷20)：□＝1：20になりますから，
290×20/21＝276.19…　⇒261ポイント～280ポイントのところだなぁということがわかります。
この範囲の場合，今回獲得するポイントは14ポイント減りますから，
繰り越しポイントを290－14＝276ポイント減らせばよいですね。

つまり，デジタルカメラを買う時点で276ポイント使えばよいということです。

先日の岡山中学のところで取り上げた問題とよく似たジャンルの問題ですが，この手の問題では
境目のところをどのように扱えばいいのかということで試験中に混乱する子が多いと思われます。
そのようなときほど，ていねいに書いて調べてみるということ(今回なら★のところ)が大切になります。
書く分，時間を取られて不安に感じることがあるかもしれませんが，これで正しいという確信の無いまま
答えを出して，次の問題に進んだ方が精神的にもよくない状態だと思いませんか？

勘違いを防ぎ，先の問題により良い精神状態で挑むためにも，自分で「微妙だなぁ」というところほど
きちんと書き出して確かめてみるという作業をして下さい。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊
最後に，明日に向けて。試験の前日に，
「俺は(私は)入試に向けて何一つやり残したことはないと自信を持って手を上げられる人は手を挙げてごらん」
と言ったときに，堂々と手を挙げられた子は一人もいませんでした。

つまり，自分が不安なときほど周りの人が賢そうに見えるものですが，実はほとんどの人が自分と同じような
不安を抱えています。自分だけが不安なんじゃない。自分だけが焦っているんじゃない。
テスト中に集中力が切れそうになっても，踏ん張ってスイッチを入れなおしてください。
自分の中の弱い気持ちに勝つことが入試で勝つことへの最短距離です。

頑張れ，受験生！
(池)

つぶやき

2014は素因数分解すると、2×19×53ですね。

2014は素因数分解すると、2×19×53ですね。

大事なことだから、2回言いました。
(池)

2014(H26)入試分析 算数 岡山中学校(B方式)

皆様，新年明けましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いいたします。

さて，近畿圏中学校統一入試日まで1週間ちょっととなりました。
それに向けて前受験が大阪を中心に行われ，緊張感が高まっていることだと思います。

今回は，その中から岡山中学校の入試問題を取り上げてみましょう。

(問題)H26　岡山中学校(B方式)算数　大問4番
消費税の計算では1円未満は切り捨てになります。例えば，消費税率5%の場合，税抜きで50円の商品の
税込価格は，52.5の小数以下を切り捨てて52円となります。そのため，19円以下の商品には消費税分は
加算されず，20円の商品は税込み価格21円となるため，税込み価格20円の商品は存在しません。
次の問いに答えなさい。
(1)消費税率5%の場合，1円以上100円以下で税込み価格が存在しない金額を20円以外にすべて答えなさい。
(2)消費税率8%の場合，1円以上1000円以下で税込み価格が存在しない金額は何個ありますか。

(1)1997年4月1日，世の中の消費税は3%から5%に引き上げられました。
その前後の入試でこの手の問題が非常に多く出題されましたので，各塾の教材でも取り上げられているかと思います。

例に示されているように，消費税分の金額が変わるところがポイントですね。
税抜き価格が1円～19円の場合，消費税分は1円に満たないため，税込み価格も1円～19円となります。
税抜き価格が20円～39円の場合，消費税分は1円なので，税込み価格は21円～40円となります。
税抜き価格が40円～59円の場合，消費税分は2円なので，税込み価格は42円～61円となります。
税抜き価格が60円～79円の場合，消費税分は3円なので，税込み価格は63円～82円となります。
税抜き価格が80円～99円の場合，消費税分は4円なので，税込み価格は84円～103円となります。
つまり，100円以下の金額のうち，税込み価格として存在しない金額は20円，41円，62円，83円です。

もう少し難しい問題にも応用が利くように，21の倍数－1円，あるいは21×□－1円と表せるようにしておきましょう。

(2)今回，この問題を取り上げたのは，当然こちらを見ておきたいからです。
2014年4月1日，世の中の消費税は5%から8%に引き上げられますので，今年，あるいは来年の入試でこの手の問題が
出される可能性は非常に高いですね。ただ，各塾の教材（通常授業の教材はほぼ改編されていないでしょうから，
学校別特訓の教材）への反映が間に合っているかは怪しいところがありますので，ここで初めて8%の問題を目にした
という人はものすごくラッキーかもしれません。(自画自賛^^；)

(1)の誘導がありますので，それと同様に，消費税分の金額が変わるところに注目します。
税抜き価格が1円～12円の場合，消費税分は1円に満たないため，税込み価格も1円～12円となります。
税抜き価格が13円～24円の場合，消費税分は1円なので，税込み価格は14円～25円となります。
税抜き価格が25円～37円の場合，消費税分は2円なので，税込み価格は27円～39円となります。
税抜き価格が38円～49円の場合，消費税分は3円なので，税込み価格は41円～52円となります。
税抜き価格が50円～62円の場合，消費税分は4円なので，税込み価格は54円～66円となります。
税抜き価格が63円～74円の場合，消費税分は5円なので，税込み価格は68円～79円となります。
税抜き価格が75円～87円の場合，消費税分は6円なので，税込み価格は81円～93円となります。
税抜き価格が88円～99円の場合，消費税分は7円なので，税込み価格は95円～106円となります。
つまり，税込み価格として存在しない金額は，13円，26円，40円，53円，67円，80円，94円，107円，…です。
先ほどは等差数列になっていたのに，今度は等差数列になっていないところがちょっと難易度の高いところです。

だがしかし，私は親切なので色分けしてみました。
青だけ，あるいは緑だけに注目すると，いずれも27円おきになっていることがおわかりいただけますでしょうか。
つまり，青は27×□－14円，緑は27×□－1円と表すことができます。
いずれも□に1～37が入る場合に1000円以下の金額となりますから，37×2＝74個ですね。


さらに応用を利かせた問題としては，5%と8%を組み合わせるような問題も考えられます。
いずれにしても，等差数列になっていることを元に情報を整理して考えるようにして下さいね。

ここのページを見た方に幸運が訪れますように。(-人-)
(池)