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2014(H26)入試分析 算数 駒場東邦中学校

2014.02.27 14:22|入試問題分析(算数)
今回は駒場東邦中学校です。

まず,今年の入試に関して。志願者数は652名,受験者数630名,合格者数270名で,実競争率は2.3倍,合格最低点は241/400点(60.25%)でした。
算数は大問4問,小問13問です。受験者平均が73.8/120点,合格者平均が88.9/120点でした。ですので,受験希望者は算数で7割を確保することを目指しましょう。
解答用紙には,解答欄以外に,大問2以降(答えの出し方)欄があります。学校の公式サイトには「答えだけ合えばそれでよいと考えるのではなく、途中の考え方を含め、求められていることにはきちんと解答してほしいと考えています。その努力のあとが見られる答案については相応の評価をしています。」と出ています。きちんと考え方を残して答案作成する練習を普段からやっておきたいですね。

それでは問題の解説です。今回は大問3を見てみましょう。
(問題)H26 駒場東邦中学校 算数 大問3番
毎月行われるパーティーでは,すべての参加者が他の参加者全員と1回ずつ握手をすることになっています。その握手の回数の合計を考えます。例えば参加者が3人のときは握手の回数の合計は3回,4人のときは6回になります。
⑴ 参加者が6人のときは握手の回数は合計何回になりますか。
⑵ ある月の握手の回数の合計は308の倍数でした。この月の参加者は少なくとも何人でしたか。
⑶ 今月の参加者は先月の参加者の2倍でした。今月,先月の握手の回数の合計をそれぞれa回,b回とすると,aをbで割ったときの余りは12でした。このとき,今月の参加者数とaの値をそれぞれ求めなさい。


⑴ 3通りの解き方でやってみましょう。
㋐ 6人がそれぞれ他の5人と握手しますから,5×6=30回となりますが,この中には例えばAがBと握手するものとBがAと握手するものが重複して数えられていますから,答えは30÷2=15(回)ですね。
㋑ 握手をする2人を6人から選ぶ組み合わせと考えて6C2=(6×5)/(2×1)=15(回)と求めることもできますね。
㋒ 参加者をA,B,C,D,E,Fとします。AはB,C,D,E,Fの5人と,BはC,D,E,Fの4人と,CはD,E,Fの3人と,DはE,Fの2人と,EはF1人とそれぞれ握手すると考えると,5+4+3+2+1=15回となります。

⑵ ㋐の考え方を使ってみましょう。
□人が参加したとして,握手の回数が308の倍数であることも考えると,□×(□-1)÷2=308×▲と書けます。
これは□×(□-1)=616×▲とできますね。
つまり,616×▲は連続する2つの整数の積にできるということです。
ここで616を素数の積で表してみると,616=2×2×2×7×11ですから,616×▲=2×2×2×7×11×▲ですね。
2,2,2,7,11,▲を2つのグループに分けて,それぞれの積が連続する2数になればよいのです。
グループの作り方は何通りも考えられますが,答えが最小の数を求めることも考慮しましょう。
連続する2数なので,必ず奇数と偶数になります。ところがグループに2が入れば偶数になってしまいますね。
ということは,2は片方にまとめることになります。
2つのグループは(2×2×2×▲)と(7×11),(2×2×2×7)と(11×▲),(2×2×2×11)と(7×▲)の3つを調べるといいですね。
(2×2×2×▲)と(7×11)…7×11=77なので,2×2×2×▲は76か78にならないといけませんが,これは無理。
(2×2×2×7)と(11×▲)…2×2×2×7=56なので,11×▲は55か57にならないといけません。▲=5で55ができます。
(2×2×2×11)と(7×▲)…2×2×2×11=88なので,7×▲は87か89にならないといけませんが,これは無理。
よって▲は5で,このとき□は56となります。つまり,この月の参加者は一番少ない場合56人となります。

⑶ ⑴の㋒の考え方を使ってみましょう。
例えば参加者数が5人の場合は,握手の回数は4+3+2+1=10回,
参加者数が2倍の10人の場合は9+8+7+6+5+4+3+2+1=45回となります。
これを次のように図で表してみます。
駒場東邦1
このとき,次の図3,図4のようにすると,図1と同じものが図2の中に4個入るのが分かります。
駒場東邦2
図4の個数÷図3の個数=4余り5個(余りは図4でで表しています。)
この余りの数が図3のときの人数と同じになっていることが分かります。
この問題では余りが12となっていますので,先月の参加者数が12人と分かります。
よって今月の参加者数は12×2=24人
このときの握手の回数aは24×23÷2=276となります。

⑶はけっこう手ごわい問題ではなないかと思います。
そして,解説したようなやり方が,入試本番ではなかなか思い浮かばないものです。
そこで,参加者数が2人のときから順に回数を求めて,何か規則的なことを見つけるという方法ももちろん有効です。むしろ,書き出してでも正解にたどり着こうとする執念も合格のためには必要ではないでしょうか。(道)
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2014(H26)入試分析 算数 桜蔭中学校

2014.02.24 17:28|入試問題分析(算数)
今回は女子校の中でのみならず,男子校や共学校も含めた中でも,本当に優れた実績を重ねている,桜蔭中学校を取り上げます。

一昨年度 出願者数 588人 受験者数 581人 合格者数 259人 実質競争率 2.2
昨年度 出願者数 523人 受験者数 517人 合格者数 261人 実質競争率 2.0
今年度 出願者数 514人 受験者数 501人 合格者数 262人 実質競争率 1.9
となっており,倍率は昨年より若干下がりました。

問題の分量は大問5題,小問数は15題。
超難問はありません。1問1問ていねいに解き進めてい行けば,きちんと点数をまとめられる問題だという印象です。
ただし,Ⅰ⑶は最後に100円を足し忘れるというミスを誘発しそうな問題で,注意力散漫に解くと正解は出ません。Ⅴも繊細さと計算力が要求されています。けっこう手間のかかる計算をひとつひとつ確実にこなしていかないといけませんね。確認のためにもう一度…としなくてもいいぐらい1回で確実に正解にたどり着けるような集中力を発揮しないといけません。
ですが,制限時間をいっぱい使って,ミスを極力減らす努力をしていけば,合格に必要な点数は何とか確保できるのではないでしょうか。

今回は少々計算がやっかいな大問Ⅴを解説します。
(問題)H26 桜蔭中学校 算数 大問Ⅴ番
ゴンドラの数が64台の観覧車があります。一周するのに20分かかり,乗り降りは最も低い位置Aで行います。ただし,ゴンドラは等間隔にあり,一周したら必ず乗客は交代します。朝,動かし始めてから,その日の最後の組が乗るまで,空のゴンドラはないとします。また,乗り降りの時間は考えないものとします。このとき,次の問いに答えなさい。
⑴ 90組目は,何組目と入れかわりますか。
⑵ 90組目が最も高い位置Bに着くのは,観覧車を動かし始めてから,何分何秒後ですか。
⑶ 観覧車は,土・日・祝日は午前9時,平日は午前10時30分から動かし,午後5時48分に止まったときには乗客は全員降りています。次の問いに答えなさい。
① 土・日・祝日と平日ではそれぞれ何組乗ることができますか。
② 本日2月1日(土)の午前9時に乗り始めた組から2万組目となるのは何月何日の何組目ですか。


桜蔭1

⑴ 次のように64番目ごとに折り返しにして並べてみると分かりやすいです。
  001,002,003,004,……, □,……,063,064
  065,066,067,068,……,090,……,127,128
  129,130,131,132,……, □,……,191,192
のように並ぶので,前の□は90-64=26,後の□は90+64=154となります。
したがって,入れかわる組は,26組目154組目です。
2組あることに注意しましょう。

⑵ 64個のゴンドラが1周するのにかかる時間は20分ですから,あるゴンドラがその前にあるゴンドラの位置まで進むのにかかる時間は,20÷64=5/16分です。
したがって,90組目がゴンドラに乗り込むのは
5/16×(90-1)=445/16分後。一番高い地点まではあと20÷2=10分かかります。
445/16+10=605/16分なので,37分48.75秒後です。

⑶① 土・日・祝日と平日のゴンドラを動かす時間を求めましょう。
土・日・祝日 → 17時48分-9時=8時間48分
平日     → 17時48分-10時30分=7時間18分
ただし,それぞれ最後に乗った組が1周するのに20分かかりますから,最後の20分間はゴンドラに客を乗せないことになります。ここも注意が必要ですね。
8時間48分-20分=8時間28分=508分
7時間18分-20分=6時間58分=418分
この時間に5/16分に1組乗りますから,
土・日・祝日に乗る組は508÷5/16=1625.… 1625+1=1626組
平日に乗る組は418÷5/16=1337.… 1337+1=1338組となります。
② 2月1日(土)と2月2日(日)で1626×2=3252組
2月3日(月)から2月7日(金)で1338×5=6690組
2月8日(土)と2月9日(日)で1626×2=3252組
2月10日(月)から2月14日(金)で1338×5=6690組
ここまでで合計は,19884組となるのですが,ちょっと待ってください。2月11日(火)は祝日です。ここもミスをしそうなところですよ。要注意ですね。
19884+(1626-1338)=20172組となって,2月14日(金)に20000組を172組超えています。
1338-172=1166組目

間違いやすいポイントを青で示しました。計算もけっこうやっかいです。ある程度方針がたったら答えを求めるために計算をどんどん進めていきますが,計算がややこしくてそっちに気を取られているうちに最初に立てた方針が分からなくなった、などということのないようにできるだけ式にまとめ,それをきちんと残してやっていくことを心がけましょう。(道)
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2014(H26)入試分析 算数 筑波大附属駒場中学校

2014.02.23 11:03|入試問題分析(算数)
631名受験,合格者は128名。合格最低点は500点満点で343点(算国理社各100点×4+調査書100点)
調査書(報告書)が100点満点で点数化されます。この調査書が何点ぐらいになるかは一切わかりません。ですので,当日の学力テストでは70%を目安に得点力を付けていくといいでしょう。
今年度の問題で言うと,大問1は4/4,大問2は4/6,大問3は2/3,大問4は1/4を押さえれば,全体としては11/17,65%程度の得点率ですので,このラインは何があっても死守しないといけませんね。その上であと1問,何とか取っていきたいところです。

それでは,問題の解説に移りましょう。今回は,今年の問題の中で一番点数化しにくい大問4を取り上げます。

(問題)H26 筑波大附属駒場中学校 算数 大問4番
いくつかのサッカーチームが参加して、総当たり(各チームが他のすべてのチームと1回ずつ対戦すること)の
大会を行います。大会の各試合について、次のようにポイントが与えられます。
     勝敗がついたとき   勝ったチームに3点、負けたチームは0点
     引き分けのとき    両チームに1点ずつ
大会のすべての試合が終わった後、各チームでポイントの合計を計算します。
ここでは、計算した各チームの合計ポイントの組み合わせに、どのようなものがあるかを考えます。
たとえば、参加が2チームのときは1試合が行われ、合計ポイントの組み合わせは(3,0),(1,1)の2通り
になります。
参加が3チームのときは、引き分けが1試合もなければ合計ポイントの組み合わせは(6,3,0),(3,3,3)
の2通りです。また、3試合とも引き分けならば(2,2,2)だけになります。
参加が4チームのとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 4チームの合計ポイントをすべて加えると何点になりますか。考えられるもののうち、最も大きい数と最も小
さい数を答えなさい。
⑵ 4チームの中に合計ポイント9点のチームがあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合わせには、どの
ようなものがありますか。数を大きい順に並べて、上の例にある(○,△,□)のようにして、考えられるものを
すべて答えなさい。
⑶ 4チームの中に合計ポイント7点のチームが1チームだけあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合わ
せは何通りありますか。


⑴ 4チームの試合数は,4C2=6試合です。すべて勝敗が決まると,1試合につきポイントは3点なので,3×6=18点…最大
すべて引き分けの場合は,1試合につきポイントは2点なので,2×6=12点…最小
⑵ 1チームの試合数は3試合なので,合計ポイント9点のチームはすべて勝ったことになり,この段階では他の3チームはすべて0勝(0ポイント)です。
ですから,残り3チームで総当たり戦を行った場合のポイントの組み合わせを考えるといいですね。
ここでは最高点によって場合分けをして調べましょう。
・最高点が6点(2勝0敗)のとき(下の参考図1参照)
 残り2チームはまだポイントはなく,この2チームの間ではポイントは(3,0)と(1,1)が考えられます。
 →(6,3,0),(6,1,1)ができます。
・最高点が4点(1勝1引き分け)のとき(下の参考図2参照)
 残り2チームはどちらかに引き分けの1点があるはずです。先ほどと同じくこの2チームの間ではポイントは(3,0)と(1,1)が
 考えられますから,ここに1点を加えた(4,0),(3,1),(2,1),(1,2)が考えられます。
 後の2つは重複しているので,1つ消しましょう。
 →(4,4,0),(4,3,1),(4,2,1)ができます。
・最高点が3点(1勝1敗)のとき(下の参考図3参照)
 残り2チームはどちらかがすでに1勝して3点があるはずです。
 先ほどと同じくこの2チームの間ではポイントは(3,0)と(1,1)が考えられますから,ここに3点を加えると,
 (6,3),(3,3),(4,1),(1,4)が考えられますが,最高点が3点なので,(3,3)だけになりますね。
 →(3,3,3)ができます。
・最高点が2点(2引き分け)のとき
 この場合は,すべて引き分けになりますね。
 →(2,2,2)ができます。
[参考図]
筑駒2014 1
⑶ ⑵は3チームが総当たり戦をする場合のポイントの取り方をすべて考えたものなので,この結果が利用できます。
再度,すべて書き出し,㋐~㋖の記号を付けておきます。
㋐(6,3,0),㋑(6,1,1),㋒(4,4,0),㋓(4,3,1)
㋔(4,2,1),㋕(3,3,3),㋖(2,2,2)
ポイントが7点のチームは2勝1引き分けですから,残り3チームには上記㋐~㋖のそれぞれの数字のどこかに引き分けポイントの1点が加わります。
ここからできる組み合わせは,
㋐(7,3,0),(6,4,0),(6,3,1)
㋑(7,1,1),(6,2,1),(6,1,2)
㋒(5,4,0),(4,5,0),(4,4,1)
㋓(5,3,1),(4,4,1),(4,3,2)
㋔(5,2,1),(4,3,1),(4,2,2)
㋕(4,3,3),(3,4,3),(3,3,4)
㋖(3,2,2),(2,3,2),(2,2,3)
以上21通りあります。
この中で重複するものと7点の入ったものを消すと
(7,3,0),(6,4,0),(6,3,1)
(7,1,1),(6,2,1),(6,1,2)
㋒(5,4,0),(4,5,0),(4,4,1)
㋓(5,3,1),(4,4,1),(4,3,2)
㋔(5,2,1),(4,3,1),(4,2,2)
㋕(4,3,3),(3,4,3)(3,3,4)
㋖(3,2,2),(2,3,2)(2,2,3)
となりますから,残りを数えて12通りとなります。

この問題の⑵では「最高点」という基準で場合分けして考えましたが,書き出して調べるときは,基準を何に置くかが大切です。ここをあいまいにしたままやみくもに数えようとすると,抜けや重複が発生し,せっかく時間をかけてやってもいい結果が出ません。書き出さないといけない場合は,このことを念頭にやりましょう。(道)
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2014(H26)入試分析 麻布中学校 算数

2014.02.22 11:43|入試問題分析(算数)
今回は麻布中学校の算数の分析です。

問題の分量は大問6題,小問数は13題。
今年の受験者数875人,合格者数398人(募集人員300名),実質倍率2.20倍,
点数については,
トータル200点満点(国語・算数 各60点,理科・社会 各40点)で,
最高点は159点(8割弱),合格最低点は105点(5割ちょい)という結果でした。

得点の取り方としては,1番~4番で3つ,5番,6番は(2)までが必須,その先でどれだけ稼げるか勝負ですね。

今回はこの中から5番の問題を取り上げてみます。
(問題)H26 麻布中学校 算数 大問5番
1番から9999番までの9999枚のカードを考えます.それぞれのカードには,番号の下にかっこがあり,
その中に2つの数が右図のように書かれています.この2つのうち,左の数はカードの番号を99で割った余り,
右の数はカードの番号を101で割った余りです.ただし,割り切れるときは0と書かれています.
2014麻布5番01
最初の方のカードは下図のようになります.
2014麻布5番02
(1)番号が101番,102番,103番,202番,203番,204番のカードの,かっこの中の数をそれぞれ書きなさい.
2014麻布5番03
(2)番号の下に(51,41)と書かれているカードが1枚あります.それは何番のカードですか.

次に,1番から999900番までの999900枚の別のカードを考えます.それぞれのカードには,
番号の下にかっこがあり,その中に3つの数が右図のように書かれています.この3つのうち,
左の数はカードの番号を99で割った余り,真ん中の数はカードの番号を100で割った余り,
右の数はカードの番号を101で割った余りです.ただし,割り切れるときは0と書かれています.
2014麻布5番04
(3)かっこの中の左の数が51,右の数が41であるカードの番号を小さいものから順に3つ書きなさい.
(4)番号の下に(37,15,1)と書かれているカードが1枚あります.それは何番のカードですか.


(1)はそのまま計算して埋めるだけです。
101番⇒99で割ると余り2,101で割ると余り0⇒(2,0)
102番⇒99で割ると余り3,101で割ると余り1⇒(3,1)
103番⇒99で割ると余り4,101で割ると余り2⇒(4,2)
左の数が2大きい状態で,左右とも1ずつ増えていきますね。
202番⇒99で割ると余り4,101で割ると余り0⇒(4,0)
203番⇒99で割ると余り5,101で割ると余り1⇒(5,1)
204番⇒99で割ると余り6,101で割ると余り2⇒(6,2)
こんどは,左の数が4大きい状態で,左右とも1ずつ増えていきます。
ちなみに,1番から98番は問題の例にあるように,左右の数が等しい状態で1ずつ増えていきます。

(2)は前問で見つけた性質を利用してみましょう。
(51,41)ですから,左の数が10大きくなっています。
303が(6,0),404が(8,0),505が(10,0)となりますから,505からいくつか後ろにずれたところにあることがわかります。
右の数に注目すると,0から41まで41増加していますから,番号も41増えて505+41=546番となります。

(3)カードの枚数が増え,( )内の数が3つになりましたが,この小問までは(2)までとあまり変わりませんね。
(2)のときと比べて,99で割った余りも101で割った余りも変わっていませんから,(2)の答えに99と101の最小公倍数を
加えていけばOKです。最小公倍数は9999ですから,
1番目が546番
2番目が546+9999=10545番
3番目が546+9999×2=20544番
となります。

(4)ここまでの誘導に乗っていきましょう。
左の数と右の数の差が36になるような番号は,36÷2×101=1818番から始まるグループです。
右の数が1になっていますから,左が37,右が1になる最小の番号は1818+1=1819ですね。
ただ,これは100で割ると19余ってしまいますから,ここから9999ずつ加えていきましょう。
1819+9999=11818⇒100で割ると18余る
1819+9999×2=21817⇒100で割ると17余る
1819+9999×3=31816⇒100で割ると16余る
1819+9999×4=41815⇒100で割ると15余る
よって,41815番のカードとなります。

※9999は100の倍数に1足りないですから,余りを19-15=4減らすには,9999を4回足せばよいですね。

非常にきれいな誘導ができていますので,普段から前問の考え方を利用しようということを意識している子は
一気に得点を稼げたかもしれません。ちなみに,大問6もきれいな誘導ができた問題でした。
誘導に乗って解くということは普段から意識しておきましょう!(池)

テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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2014(H26)入試分析 開成中学校 算数

2014.02.19 15:41|入試問題分析(算数)
さて,関西の最難関,難関とよばれる学校も一通り目を通しましたので,そろそろ関東の学校にまいりましょう。

今回は開成中学校の入試問題に目を向けてみます。
問題の分量は大問4題、小問数は11題。
64.6⇒72.1⇒55.7⇒68.3⇒61.9
ここ5年の合格者平均を見ていると,3年前の上がり過ぎと2年前の下がり過ぎがあるので安定していないように見えますが,
学校側としては65点あたりに落ち着いてくれればという風に考えていそうですね。
つまり,7割が目標点となりそうです。
小問3つ間違いに抑えたいところですから,立体図形がNGの子にはかなりきついテストでした。

今回は,大問4を取り上げたいと思います。
(問題)H26 開成中学校 算数 大問1番
図1のように1から8までの数字がかかれている8枚の正三角形を用いて,図2のような立体を作ります。ただし,図1
の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Aまたは点Fのどちらかに重ね,すべての数字が表から見えるようにします。
2014開成4番01
2014開成4番02

また,立体の6個の頂点A,B,C,D,E,Fについて,それぞれの頂点に集まっている4枚の正三角形に
書かれている数の合計はすべて同じになっています。
(1)1つの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。
(2)辺BCを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合計と,辺DEを1辺とする2枚の正三角形に
書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の空欄をうめなさい。
 『どちらも[ 空 欄 ]すると,同じ値になるから。』
(3)三角形ABCに書かれている数が1であるとします。8が書かれている三角形として可能性があるものを
すべて選び,解答欄の三角形を○で囲みなさい。
(4)この立体の展開図で,1,2,3の書かれている三角形の配置が図3のようになるとき,他の数字を
向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。


(1)Aに集まっている4面とFに集まっている4面,この8面は重複がありません。
1+2+3+4+5+6+7+8=36を2つの頂点で分け合っているわけですから,36÷2=18ずつとなります。

(2)△ABC+△FBC+△ACD+△FCDはCに集まる4面ですので和が18です。
△ADE+△FDE+△ACD+△FCDもDに集まる4面ですので和が18です。
それぞれから△ACD+△FCDを引いても大きさは同じですから,△ABC+△FBC=△ADE+△FDEとなりますね。
文章をうまくあてはまるように書くのがちょいと難しいですが,『どちらも[4面の和の18から三角形ACDに書かれた数と
三角形FCDに書かれた数を引き算
]すると,同じ値になるから。』とでもしておきましょう。

(3)見取図のままだと書き込みにくいので,真上から見た,段ごとの図に直してみましょう。
2014開成4番03
「1」の場所は△ABCと決まっており,残りの7面は大きく分けて3種類に分かれます。どのような3種類かというと,
・「1」と辺をはさんで隣り合っている面(図の○)
・「1」と1つの頂点だけ共有している面(図の△)
・「1」と平行な面(図の×)

です。ここからの解説は見取図も参考にしながら見てくださいね。
例えば,△ADEに8が入ったとすると,(2)で△ABC+△FBC=△ACD+△FCDを証明していますから,
1+△FBC=8+△FDEということになります。が,残った数字は2~7ですから,これを満たすことはできません。
よって,△ADEに8が入ることは不可能ということになります。
また,△ADEと同じ位置関係にある,他の△の面にも8は入りません。
同様に,△FDEに8が入った場合も,1+△FBC=△ADE+8ということになり,残った数字は2~7を使って
これを満たすことはできません。
つまり,「8」が入る可能性のある面は○の面である,△AEB,△ACD,△FBCとなります。

(4)まずは,展開図に正8面体の頂点打ちをしておきましょう。最も離れた点が,展開図ではひし形の長い方の
対角線上に出てきますから,(A,F)(B,D)(C,E)をペアにして書き込んでいきましょう。
※ここでは,△ABCに「1」が書き込まれたものとして頂点を打っています。
同時に,段ごとの図にも数字を書きこんでおきます。
2014開成4番04
さて,ここから使うのは4面の和が18という条件です。
上4面の和から考えて,ア+イ=18-3=15です。
また,左4面の和から考えて,ア+ウ=18-4=14です。
残っている数は4,5,6,7,8ですから,この条件を満たす組み合わせは(ア,イ,ウ)=(8,7,6)だけです。
さらに,後ろ4面の和から考えて,エ=18-13=5になりますから,残ったオは4になります。
あとは下のように展開図に数字を書きこめばよいだけです。
段ごとの図を見ながら,数の上に来るアルファベットに注意して書き込みましょう。
2014開成4番05

別の学校のところでもかきましたが,立体問題はいかに平面での処理に持ち込めるかです。
当然,全てが平面処理というわけにはいかないでしょうが,どのようにすれば平面的に考えられるかを意識しましょう。
(池)

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2014(H26)入試分析 六甲中学校(B日程) 算数 PART2 

2014.02.18 16:51|入試問題分析(算数)
六甲中学校のB日程入試で,もう1問面白い問題がありました。
シンプルかつ解けそうで解けない,いーっとなりそうな問題です。

(問題)H26 六甲中学校(B日程) 大問6番
2つの合同な三角形を,図のように小さな三角形に分けました。●印を付けたところの長さはすべて同じです。
六甲B2014 6の1

㋐と㋑の面積の和は11cm^2,㋓と㋔の面積の和は15cm^2であり,㋒の面積は6cm^2です。㋕,㋐の面積はそれぞれ何cm^2ですか。


次の図のように記号をつけます。
六甲B2014 6の2
この問題では●印のところは長さが等しい,と書かれています。ですが,AG,AJ,DL,DOには記号がありません。
思い込みでここも等しいと考えてしまうと,正解にたどり着けませんので注意が必要ですよ。

では,まず㋕を求めましょう。
右の図の三角形DEFの方で,MとP,NとPを結ぶと,3つの面積のひとしい三角形に分かれます。
そのうち三角形MNPは㋒の三角形HIKと合同で,6cm^2ですから,三角形NEPも三角形LMPも6cm^2になります。
三角形NEPと三角形IBKは合同で,6cm^2ですから,三角形KBC=15-6=9cm^2で,これと合同な三角形PEF(㋕)も9cm^2です。
六甲B2014 6の3

続いて㋐です。
三角形LMP=三角形GHK=6cm^2ですから,三角形LPO=三角形GKJ=11-6=5cm^2と分かります。
JK=KCなので,三角形KBC=三角形JBK=9cm^2です。
図でJKを固定し,三角形GKJの頂点Gを順にH→I→Bと動かして三角形JBKにすると9cm^2になります。
六甲B2014 6の4

同じ割合で面積が増えていきますから,三角形JHK=5+(9-5)×1/3=19/3cm^2になります。
したがって,㋐の三角形は三角形GHJと合同ですから,11-19/3=14/3cm^2です。

別解もひとつ。
四角形GBCJ=(㋐+㋑)+㋒+(㋓+㋔)=11+6+15=32cm^2です。
ここから三角形JBC=9×2=18cm^2を引くと三角形BJG=14cm^2が残ります。
三角形GHJはこの1/3なので,14×1/3=14/3cm^2と求められます。

この問題は,2つの三角形にいろいろ書き込みながら考えていけばいい問題です。ですが,2つの図に自分で書き込んだ補助線や数字などで図がごちゃごちゃしてきて訳が分からなくなるということもよくあることです。そういうときは,図から得られる情報を整理する意味で,すでに分かっていること,考えている途中で分かったことなどを整理しながら,自分で図を描いてみることも大切です。自分で条件を書き込みながら図を描く練習を普段からやっておくといいでしょう。(道)
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2014(H26)入試分析 六甲中学校(B日程) 算数 PART1

2014.02.17 21:14|入試問題分析(算数)
六甲のB日程の問題です。
昨年は受験者平均が78.9点/150点,合格者平均が102.6点/150点でした。今年の分は未公表ですが,おそらく昨年並みではないかと思います。
問題として目新しく感じたのは1枚目大問3の面積の問題と大問6の辺の比と面積の問題,それと2枚目の大問8の時計算。
特に,8の時計算の問題はかなりの難問であったように思います。
それではその大問8をやってみましょう。
(問題)H26 六甲中学校(B日程) 大問8番
長針が7cm,短針が6cmの時計があります。2本の針の先をまっすぐ結んで間にできる図のような三角形を考えて,5時10分にできる三角形と同じ面積の三角形ができる時刻にチャイムを鳴らします。5時10分に鳴らすチャイムを1回目とします。次の⑴~⑶の問いに答えなさい。ただし,円周率は22/7としなさい。
⑴ 5時から11時までの6時間に,鳴らすチャイムの回数は全部で何回ですか。
⑵ 1回目のチャイムから2回目のチャイムまでの間に,長針が通過してできるおうぎ形の面積は何cm^2ですか。
⑶ 8回目のチャイムから11回目のチャイムまでの間に,短針が通過してできるおうぎ形の面積は何cm^2ですか。

六甲B2014 8の1
5時10分の時の長針と短針の作る小さいほうの角は95度です。ですから,長針と短針の作る角が95度になるとチャイムが鳴ります。この問題の1つ目のポイントは,この場合の他に,面積が等しくなるときがあれば,その角度を考えるということです。これについては,次のように考えるといいでしょう。
底辺を短針と考えて固定し(図のOC),長針OAを徐々に回転させてみます。すると,長針が図のOBの位置に来た時も面積が等しくなることが分かります。
六甲B2014 8の2
つまり,角ア=角イのとき,三角形AOCと三角形BOCは高さ(AH1とBH2)が等しくなり,面積も等しくなります。
このときのイの角度は,アと同じで180-95=85度になります。
つまり,長針と短針が作る角が95度の時と85度のときに面積が等しくなってチャイムが鳴ります。

⑴ 5時から11時までの間で時計の長針と短針の作る角が85度と95度になる回数を求めたらいいですね。
長針と短針の間の角は720/11分周期で戻ってくる(1周期は150°から0°まで減って,また180°まで増えてから150°に戻るまで)ので,5時~11時の360分の間に,360÷720/11=5.5周期入ります。
85度や95度になるのは1周期に4回ありますね。5周期では,4×5=20回あります。
残り0.5周期であと2回あるので,20+2=22回になります。

⑵時計の長針と短針のつくる角が,チャイムの鳴る1回目の95度から2回目の85度になるまでの間(☆)に短針が進む角度を考えましょう。
☆にかかる時間は(95-85)÷5.5=20/11分です。その間に長針が進む角度は6×20/11=120/11度
ですから,長針の動いた面積は,7×7×π×120/11×1/360=7×7×22/7×120/11×1/360=14/3cm^2になります。

⑶チャイムが鳴るときの長針と短針の作る角度は次の4つに分類できます。
長針が短針の95度手前 1回目,5回目,9回目 ,・・
長針が短針の85度手前 2回目,6回目,10回目,・・
長針が短針の85度先  3回目,7回目,11回目,・・
長針が短針の95度先  4回目,8回目,12回目,・・
ですから,8回目から11回目ということは,短針の95度先にいた長針が,ぐるっと回って短針を追い越し,短針の85度先にくるということです。このとき,長針は短針より,360-95+85=350度多く動くことになります。
時間にすると,350÷5.5=700/11分
この間に短針の進む角度は,0.5×700/11=350/11度ですね。
よって短針の動く面積は,6×6×π×350/11×1/360=6×6×22/7×350/11×1/360=10cm^2になります。
とても手間のかかる問題ですが,答えをみるとあっさりしています。何とも六甲Bらしいと言えばそうなのかもしれないという問題でした。(道)
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2014(H26)入試分析 神戸海星女子学院中学校(B日程) 算数

2014.02.16 17:49|入試問題分析(算数)
今回は神戸海星女子学院中学校(B日程)の問題を扱います。

今年のA日程の問題があまりにもきつかったので,「B日程はどうなるんだろう」とビクビクしながら解いてみると…
きつい問題もあるものの,A日程ほど無茶なテストではありませんでした。
B日程を受験する子の層を考えれば,例年と比べても差を測りやすいテストだったと思います。
学校のHPに掲載された入試情報を見てみると,200点満点のテストで合格者平均が129.7点,合格最低点が114点です。
全ての問題にチャレンジできる学力のある子であれば,6割程度は十分に取れたのではないでしょうか。

今回はこのB日程の問題の中から4番の場合の数の問題を取り上げます。
(問題)H26 神戸海星女子学院(B日程) 算数 大問4番
和子さんは右の図のアにいます。さいころを1つ投げて,1または2の目が出たら東に1m,3または4の目が出たら
西に1m,5の目が出たら北に1m,6の目が出たら南に1m進みます。(例えば,さいころを投げて,2回とも1の目
が出たら和子さんはイに進むことになります。1回目に2の目が出て,2回目に4の目が出るとアにもどります。)
次の問いに答えなさい。ただし,図の1目盛りは1mです。
(1)2回投げた後,和子さんがイにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。
(2)2回投げた後,和子さんがアにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。
(3)4回投げた後,和子さんがイにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。
2014神戸海星B01


(1)2回でイにつくには,「東,東」と進むしかありません。
東に進む目の出方は1,2の2通りが考えられますから,2×2=4通りとなります。

(2)2回でアにつくには,「東,西」「西,東」「北,南」「南,北」の4パターンがあります。
・「東,西」の場合 と 「西,東」の場合
東に進む目の出方は1,2の2通り,西に進む目の出方は3,4の2通りですから,
「東,西」のパターンは2×2=4通りです。
「西,東」もこれが逆の順序になっているので同様に4通りですね。
・「北,南」の場合 と 「南,北」の場合
北に進む目の出方は5の1通り,南に進む目の出方は6の1通りですから,
「北,南」のパターンは1×1=1通りです。
「南,北」もこれが逆の順序になっているので同様に1通りですね。
よって,4×2+1×2=10通りです。

(3)進む方角を考えると,「東に3回,西に1回」か「東に2回,北と南に1回ずつ」の並べ替えしかありません。
・「東に3回,西に1回」の場合
例えば「東,東,東,西」ならば,東に進む目の出方は1,2の2通り,西に進む目の出方は3,4の2通りですから,
2×2×2×2=16通りです。
方角の並べ替えが4C1=4通りありますので,全部で16×4=64通りとなりますね。
・「東に2回,北と南に1回ずつ」の場合
例えば「東,東,北,南」ならば,東に進む目の出方は1,2の2通り,西に進む目の出方は3,4の2通り,
北に進む目の出方は5の1通り,南に進む目の出方は6の1通りですから,
2×2×1×1=4通りです。
方角の並べ替えが4C1×3C1=12通りありますので,全部で4×12=48通りとなりますね。
よって,合計で64+48=112通りです。

場合の数の最重要ポイントは場合分けです。さいころの目の出方をひたすら数えても混乱するだけですから,
まずは方向を考える(ここが場合分け)⇒それぞれについてさいころの目の出方を考える
というように,少しずつ解きほぐしながら解くようにしましょう。

ちなみに,
2014神戸海星B02
このように,1秒後,2秒後,3秒後にそれぞれの場所にいる方法が何通りかを書いていって,
最後に(36+8)×2+12×2=112通りと出してもよいですね。

図を書いて眺めていると,(1)(2)がこの解法への誘導のような気もしてきましたが,まずは前の方の解説で
しっかりと整理して解けるようになってほしい問題です。
「各方角の回数」「方角の並び」「さいころの目」と3段階あるので,子どもたちの情報整理能力を測るには
もってこいですしね。(池)

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2014(H26)入試分析 算数 神戸海星女子学院中学校(A日程)

2014.02.15 12:52|入試問題分析(算数)
今回は神戸海星女子学院中学校(A日程)の問題を扱います。

去年の記事でも
「くせのある問題が例年出題されるため,過去問でどのようなレベルの問題が出て,
どの程度捨ててよいのかを感覚的につかんでおく必要があります。」
と書きました。

しかし…
今年のA日程の問題はあまりにもきつかったというのが感想です。
実際,学校のHPに掲載された入試情報を見てみると,360点満点のテストで
合格者平均が206.7点,合格最低点が175点という状況でした。
算数に関して言えば,100点満点のテストですが,実質は60点の中で競い合っているような感じだったと思われます。
60点中,50点弱取れれば十分合格できたのではないでしょうか。
このようなテストの場合,明らかにヤバい難易度の問題は諦めてしまい,自分の解いたものを本当に1つのミスもない
状態にもって行かなくてはいけません。

それを行うための分岐点となったであろう問題として,今回は3番を取り上げます。
(問題)H26 神戸海星女子学院(A日程) 算数 大問3番
赤のカードと青のカードが5枚ずつ,黄のカードと白のカードが4枚ずつ合計18枚あります。18枚のカードには
1から18の数字が1つずつ書かれています。赤のカード5枚に書かれている数の和は18です。
次の問いに答えなさい。
(1)赤のカードに書かれている5つの数はなんでしょうか。すべての場合を求めなさい。
5つの数がA,B,C,D,Eのときは,答の欄に(A,B,C,D,E)のように書きなさい。
(2)黄のカードに書かれている4つの数それぞれの2倍が,白のカードに書かれている4つの数であるとき,
青のカード5枚に書かれている5つの数は何でしょうか。
5つの数がA,B,C,D,Eのときは,答の欄に(A,B,C,D,E)のように書きなさい。


(1)和が18になる5数の組み合わせを順に書いていくだけです。小⇒大の順に書きましょう。
1,2,3を固定すると,残りの12は4+8か5+7ですので,(1,2,3,4,8)(1,2,3,5,7)の2通りが考えられます。
1,2,4とすると,残りの11は5+6だけですので,(1,2,4,5,6)のみですね。
前の3つがこれ以上大きくなると無理ですので,この3通りになります。

(2)
黄のカードと白のカードに書かれている数を整理してみましょう。
白は黄色の必ず2倍ということですから,黄色は1~9のいずれかということになります。
黄⇒白
1 ⇒2 …1や2は必ず赤のカードなのでダメ
2 ⇒4 …2は必ず赤のカードなのでダメ
3 ⇒6
4 ⇒8
5 ⇒10
6 ⇒12
7 ⇒14
8 ⇒16
9 ⇒18

あとは(1)で出した3パターンを調べるだけです。
・赤(1,2,3,4,8)のとき
黄(5,6,7,9)⇒白(10,12,14,18)⇒青は残りの(11,13,15,16,17)となります。
もう答えが出てしまいましたが,一応残りも調べましょう(^^;
・赤(1,2,3,5,7)のとき
黄(4,6,8,9)⇒白(8,12,16,18)⇒8が黄と白でダブるのでダメ
・赤(1,2,4,5,6)のとき
黄(3,7,8,9)⇒白(6,14,16,18)⇒6が赤と白でダブるのでダメ

よって,(11,13,15,16,17)ですね。

問題の難易度は決して高いものではないですし,解説を見てしまうと,なぜここで取り上げるのかというような問題にも
見えますが,実際に子供にやらせてみるとかかる時間はまちまちですし,途中であきらめる子も出てくるはずです。
情報を整理するという作業を普段から意識してやっているかどうかでかかる時間が大幅に変わる問題ですし,
(2)でいいかげんな場合分けをして「解けた」という確信が持てないと,不安で他の問題の見直しもままなりません。
この記事を見ていない子には一度解かせてみて,どのように取り組むかを見てみたい問題でした。(池)

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2014(H26)入試分析 六甲中学校(A日程) 算数 

2014.02.14 14:41|入試問題分析(算数)
六甲中学校A日程です。
受験者平均は,昨年が83.0点/150点で,合格者平均が102.4点/150点という結果だったのですが,今年の分は,この原稿を書いている段階では未公表です^^;
ですが,一通り解いた印象では,昨年より少し点数が出やすいテストであるように思われました。
ただ,1枚目の大問3の場合の数(色の塗り分け)は苦手にしている生徒も多く,4の直角三角形と比の問題,6のニュートン算はは数字設定が面倒なので,意外と得点できていない可能性があります。
2枚目の方がむしろとっつきやすく,特に大問7や9は日ごろ練習で見慣れた問題だった上に数字の設定も親切だったので安心して取り組めたのではないでしょうか。(ただ,こういうときこそミスに注意!)
今回は,そんな2枚目に出てくる,少し変わった問題を紹介します。大問8です。

(問題)H26 六甲中学校(A日程) 大問8番
1円玉,5円玉,10円玉の3種類の硬貨を使い,硬貨の枚数が最も少なくなるような両替を行います。次の⑴~⑶の問いに答えなさい。
⑴ A君は1円玉を26枚,5円玉を7枚,10円玉を3枚持っていました。両替を行ったところ,A君が持っている硬貨の枚数は何枚減りましたか。
⑵ B君は1円玉と5円玉をそれぞれ1枚以上,合わせて10枚持っていました。両替を行ったところ,B君が持っている硬貨の枚数は6枚になりました。B君は何円持っていましたか。考えられる金額をすべて答えなさい。
⑶ C君は1円玉と5円玉をそれぞれ1枚以上持っていました。両替を行ったところ,C君が持っている硬貨の枚数は5枚減りました。はじめにC君は5円玉を何枚持っていましたか。考えられる枚数をすべて答えなさい。


作業㋐ 1円玉5枚を5円玉に変える → 硬貨の枚数は5-1=4枚減る
作業㋑ 5円玉2枚を10円玉に変える → 硬貨の枚数は2-1=1枚減る
作業としてはこの2つだけです。
なお,この問題では「3種類の硬貨を使い」とありますので,50円玉や100円玉などは登場しません。
⑴ 1円玉を26枚,5円玉を7枚,10円玉を3枚で,枚数は合わせて36枚,金額は91円です。
91円は10円玉9枚と1円玉1枚にできますから合計10枚になりますね。
したがって,36-10=26枚減りました。
⑵ (1円玉の枚数,5円玉の枚数,10円玉の枚数)と表すことにします。
この場合,合わせて10枚ですから,(1,9,0)~(9,1,0)の9通りを丁寧に調べたら済みます。
(1,9,0)金額は46円 → (1,1,4)で6枚
(2,8,0)金額は42円 → (2,0,4)で6枚
(3,7,0)金額は38円 → (3,1,3)で7枚
(4,6,0)金額は34円 → (4,0,3)で7枚
(5,5,0)金額は30円 → (0,0,3)で3枚
(6,4,0)金額は26円 → (1,1,2)で4枚
(7,3,0)金額は22円 → (2,0,2)で4枚
(8,2,0)金額は18円 → (3,1,1)で5枚
(9,1,0)金額は14円 → (4,0,1)で5枚
以上から,6枚になるのは46円,42円の2通りです。

ところで,この問題は調べ上げる以外に何かいい方法はあるでしょうか。
10枚が6枚になったということは,4枚減ったということですね。
4枚減らすためには,
A:「作業㋐を1回だけ行い,作業㋑は行わない」
または
B:「作業㋐は行わず,作業㋑を4回行う」
のどちらかをすればいいのです。
どちらの硬貨も最低1枚はあるので,Aの方法で1円玉を減らすと5円玉が2枚以上になってしまい,作業㋑をしなければなりませんから,Aのやり方は使えません。
Bの方法の場合,1円玉は4枚以下,5円玉は8枚か9枚必要ですから,(1,9,0)か(2,8,0)の2通りが当てはまります。

⑶ 作業㋐と作業㋑を組み合わせて5枚減らせばよいので,その組み合わせを考えましょう。
(㋐,㋑)=(0,5),(1,1)の2通りが考えられます。
(0,5)のときは,5円玉は10枚か11枚あればよい。
(1,1)のときは,1円玉が両替されて5円玉が1枚増え,そのうえで5円玉を1回だけ10円玉に両替できるようにすればいいですね。ですから,もともとの5円玉は1枚か2枚あればいいことになります。
したがって,答えは1枚,2枚,10枚,11枚の4通りです。

こうやって書いてみると,とても地味~で,盛り上がりに欠けてしまう問題でした。ですが,2枚目のしかも最後から2問目,時間も気にしながら,焦る気持ちを押さえて答案を作っていかないといけないというプレッシャーの中で,どれだけ落ち着いて問題文を読み,作業できるかが問われているような問題です。
落ち着いて解けばどうってことはない問題ですし,⑴⑵はきちんと考えれば受験生の誰もが正解できそうな問題ですが,そうした緊張感の中で確実に得点できるかということも実力のうちです。受験生は日ごろの練習でそういったハートも鍛えないといけないのでしょうね。(道)
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2014(H26)入試分析 甲陽学院中学校(2日目) 算数

2014.02.13 14:19|入試問題分析(算数)
甲陽学院2日目。受験者平均は61.4/100,合格者の平均点は2日分の合計で138.3/200,ということは1日目と併せて7割程度が目標点となります。ただ,今年度の問題は,概略を言えば,2日目といえど手におえないような問題はありませんから,点数を拾えるところをきちっと拾っていけば,目標の7割というのも,そう難しくないのではないでしょうか。
さて,その2日目の問題から,今回取り上げる問題は大問5.特にその⑵は「すべて答える」という形式で,小学生の苦手テーマ。調べ上げる際の工夫,軸足がぶれないような数え方。これを意識してやっていきましょう。

(問題)H26 甲陽学院中学校(2日目) 大問5番
図のように,半径5cmの円板を台形の形に積み上げ,その周囲にたるまないよう糸を1周させるときの糸の長さを考えます.この図は最下段の円板を7個とし,4段積み上げたときのものです.円周率は3.14とします.
⑴ 最下段の円板を8個とし,5段積み上げたときの糸の長さを求めなさい.
⑵ 段の数が6段以上で,糸の長さが351.4cmのとき,最下段の円板の個数と段の数はいくつになりますか.考えられる場合をすべて答えなさい.(答えは4通りとは限りません)

甲陽2014 2日目5の0
ちなみに,解答欄は次のようでした。
甲陽2014 2日目5の1

⑴これは取りこぼしてはいけない問題です。
周囲を図のように分けると,黄色い弧4つでちょうど半径5cmの円周になります。残りの台形上部を上辺,下部を下辺,左右をそれぞれ左辺,右辺とします。このそれぞれの辺は,10cmごとに区切ることができます。
長さは,下辺が10cm×(最下段の個数-1),左右両辺が10cm×(段の数-1)となり,上辺が10cm×(最下段の個数-段の数)ですが,下辺-上辺=左辺(または右辺)という関係も成り立ちます。
甲陽2014 2日目5の2
設問の場合は,下辺が10cm×(8-1)=70cm,左辺と右辺がそれぞれ10cm×(5-1)=40cm,上辺が10cm×(8-5)=30cm。これに円周部分が加わるので,まとめると,70+40×2+30+10×3.14=211.4cmとなります。

⑵ まずは円周部分を除きましょう。351.4cm-10×3.14cm=320cm。これが下辺,上辺,左辺,右辺の長さの合計です。考えやすいように10で割っておきましょう。320÷10=32となります。これはそれぞれの辺を10cmごとに区切った,上の図で言えば●-●の個数ですね。
段の数は6段以上と指定されていますから,6段の場合から順に調べていきましょう。
6段 → 左辺と右辺は5個,上辺と下辺の和は,32-5×2=22個,上辺と下辺の差は5個
   → この場合,上辺,下辺が小数になり不適。
7段 → 左辺と右辺は6個,上辺と下辺の和は,32-6×2=20個,上辺と下辺の差は6個
   → 下辺は(20+6)÷2=13個より,最下段の円板は13+1=14個。
8段 → 左辺と右辺は7個,上辺と下辺の和は,32-7×2=18個,上辺と下辺の差は7個
   → この場合,上辺,下辺が小数になり不適。
9段 → 左辺と右辺は8個,上辺と下辺の和は,32-8×2=16個,上辺と下辺の差は8個
   → 下辺は(16+8)÷2=12個より,最下段の円板は12+1=13個。
10段 → 左辺と右辺は9個,上辺と下辺の和は,32-9×2=14個,上辺と下辺の差は9個
   → この場合,上辺,下辺が小数になり不適。
11段 → 左辺と右辺は10個,上辺と下辺の和は,32-10×2=12個,上辺と下辺の差は10個
   → 下辺は(12+10)÷2=11個より,最下段の円板は11+1=12個。
12段 → 左辺と右辺は11個,上辺と下辺の和は,32-11×2=10個,上辺と下辺の差は11個
   → この場合,和の方が差より小さく不適。
これよりあとはすべて無理なので,答えは,14個で7段,13個で9段,12個で11段の3通りとなります。少し考えると,段の数が偶数の場合がダメだと分かりますから,もう少し効率よく求めることも可能ですね。
あわてずに,きちんと条件を整理すると,難なく答えが導けます。が,「すべて求めなさい」という形式の問題は,答えを出した後でも,すべて求め切ったのだろうか?と不安になります。くれぐれもあせることなく,可能性あるものをひとつずつ,ていねいにつぶしていきましょう。(道)
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2014(H26)入試分析 神戸女学院中等部 算数 PART2

2014.02.12 16:09|入試問題分析(算数)
さて,今回も神戸女学院の算数の入試問題に目を向けてみましょう。

今回は6番,場合の数の問題です。

(問題)H26 神戸女学院中等部 大問6番
机の上に固定されたピンP,Qと,点Oを中心に回転させることができる1マスの1辺が1㎝の,縦2マス,横2マスの
正方形の碁盤が図1のように置かれています。ただし,碁盤を回転させてもピンP,Qの位置は変わりません。
今,ピンPの位置の縦線と横線の交点に石を置き,さいころを振って以下の規則にしたがって操作します。

<規則1>
1の目が出たとき,石を右へ1cm移動させる。
2の目が出たとき,石を左へ1cm移動させる。
3の目が出たとき,石を上へ1cm移動させる。
4の目が出たとき,石を下へ1cm移動させる。
5の目が出たとき,点Oを中心に碁盤を時計回りに90°回転させる。
6の目が出たとき,点Oを中心に碁盤を反時計回りに90°回転させる。

<規則2>
石は碁盤の線上を動き,もし,出た目の方向に碁盤がなく,
進むことができない場合は,石を動かさないものとする。

<規則3>
同じ場所を何度通っても構わないが,石がピンQの位置にきた時点で終了とする。

例えば,1回目で1の目が出ると,石は点Aの位置に移動し,続けて2回目に5の目が出ると,
石は点Bの位置に移動します。(図2)
2014神戸女学院6番01
(1)最も少ない回数で終了するのはさいころを何回振ったときですか。
(2)2番目に少ない回数で終了するのは,さいころを何回振ったときですか。
また,その目の出方は何通りありますか。


(1)は今回も必ず取らなくてはいけません。
1回ではPからQにたどり着くことはできませんね。
2回ではどうでしょう。左下の図を見て下さい。
例えば,(5,5)とさいころが出たときはP⇒ア⇒Q,(6,6)とさいころが出たときにはP⇒イ⇒Qと進みます。
よって,最小の回数は2回です。

5,6が出て碁盤が回転したときの移動するイメージが湧きますか?
青い円周上に乗っている点は青い円周に沿って時計回りや反時計回りに,
赤い円周上に乗っている点は赤い円周に沿って時計周りや反時計回りに移動します。
ちなみに,Oにいる場合は5,6が出ても動きませんね。
2014神戸女学院6番02

(2)一番少ない回数が2回なのですから,二番目に少ない回数は3回と予想できますね。
実際に,(5,1,1)と出ればP⇒ア⇒い⇒Qとなりますので,3回でOKです。
今回は回転うんぬんを考えるのではなく,右上の道で3回進んでPからQに着く方法を考えればよいわけです。
直線3回や曲線3回でたどり着くのは無理ですから,1回曲線,2回直線のパターンしかありえませんね。
・曲⇒直⇒直 P⇒ア⇒い⇒Q,P⇒イ⇒う⇒Q の2通り
・直⇒曲⇒直 P⇒あ⇒い⇒Q,P⇒え⇒う⇒Q の2通り
・直⇒直⇒曲 P⇒あ⇒ア⇒Q,P⇒え⇒イ⇒Q の2通り
合計6通りが答え…

ではありません。

実は<規則2>のところで「出た目の方向に碁盤がなく,進むことができない場合は,石を動かさない」とありますので,
2回曲線,1回停止のパターンもあります。
・停⇒曲⇒曲 P⇒P⇒ア⇒Q,P⇒P⇒イ⇒Q Pで停止する目は2と4の2通りあるので,2×2=4通りあります。
・曲⇒停⇒曲 P⇒ア⇒ア⇒Q,P⇒イ⇒イ⇒Q アやイで停止する目はそれぞれ2通りあるので,2×2=4通りあります。
よって,6+8=14通りが正しい答えですね。

回転するというのを文字通りに受け止めてしまうとちょっとしんどいかもしれませんが,ひと工夫すればぐっと難易度が
下がりました。普段の勉強でもまずはしんどい思いをして考えて,その後で「あっ!こんないい方法があったんだ!」と
驚きの感情を持つようにすると,知識は定着しやすくなります。このしんどい方法といい方法のギャップを体感することが
とても大切ですから,
①しんどい方法で解いただけで満足しない
②楽な方法だけを追い求めない
この2つをうまくバランスをとりながら日々の学習に努めましょう。(池)

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2014(H26)入試分析 神戸女学院中等部 算数 PART1

2014.02.11 10:10|入試問題分析(算数)
さて,今回は神戸女学院の算数の入試問題に目を向けてみましょう。

問題数は大問6問で,小問は14問。
内容としてはとても取り組みやすい問題になり,ここ2年ほどきつい問題が続いた反動が来たというところでしょうか。
しかし,何よりも一番驚いたのは問題用紙の変化です。
去年までは問題文と解答欄が一体になった様式でしたが,今年は問題用紙と解答用紙が別になっていました。
ずっと昔から一体型でしたから,テストが始まって動揺した子は結構いたかもしれません。
(某塾の先生は,生徒から文句を言われて,「そんなん,予想できるかいな…」と嘆いていました(^^;)

今回は3番の,神戸女学院お得意,立体の表面積に取り組んでみましょう。

(問題)H26 神戸女学院中等部 大問3番
一辺1cmの立方体を下図のように,下から16個,9個,4個,1個と積み上げました。
それぞれの立方体の頂点は,下の段の各立方体の面のまん中にあります。
(1)この立体の表面積を求めなさい。
(2)次に,影をつけた5個の立方体を取り除き,新たな立体を作りました。この立体の表面積を求めなさい。
ただし,立方体を取り除いても,立体はくずれないものとします。
2014神戸女学院3番01


(1)は絶対に合わせなくてはいけません。
前後左右の4方向から見ると,1+2+3+4=10㎝^2ずつ,
上下は4×4=16㎝^2ずつ見えます。
この6方向から見えない面はありませんので,10×4+16×2=72㎝^2となります。

(2)で見取図を描くのは無理がありますので,(1)を利用してみましょう。
前後左右の4方向から見た,1+2+3+4=10㎝^2ずつは変わりません。
上下から見ると下の図のようになるので,4×4-2=14㎝^2ずつですが,
灰色をつけたところは,向かい合っていて上下から見えませんので,0.25×2×2=1cm^2を足し忘れないようにしましょう。
よって,10×4+14×2+1=69cm^2となります。
2014神戸女学院3番02

が…
上からの図を描いた後,どこが向かい合っているのかを考えるのがおそらくきつい子も多いと思います。
そんな子にはこれをお勧め。
まずは,段ごとの図を描いてみましょう。
2014神戸女学院3番03
①段目の表面積は6cm^2,
②段目の表面積は,底面が3×2=6㎝^2,側面が2×4=8cm^2で計14㎝^2,
③段目の表面積は,底面が7×2=14㎝^2,側面が3×4=12cm^2で計26㎝^2,
④段目の表面積は,底面が14×2=28㎝^2,側面が4×4=16cm^2で計44㎝^2
となりますので,合わせて6+14+26+44=90㎝^2ですね。

ここから,重ねたときにひっついてしまうところを引きましょう。
先ほどの②,③,④段目の図に,それぞれの1つ上の段を重ねてかくと,ひっついたところの面積が分かります。
2014神戸女学院3番04
①と②の間で0.75×2=1.5㎝^2,
②と③の間で2.75×2=5.5㎝^2,
③と④の間で7×2=14cm^2
となりますので,90-1.5-5.5-14=69cm^2です。

1つ目のやり方で解けてしまうのが理想的ですが,人によって得手不得手はあるので,自分に合った方法をまずは
見つけましょう。その上で,使える武器が増えればよいですね。

また,我々教える側の人間は,これがベストのやり方だからと他のやり方を切り捨てたりするのではなく,
こんなやり方もあるという並列形式で提示しなければいけません。
テクニックや知識に溺れず,一人一人に少しでも合うような方法を提示する,
このあたりのさじ加減が腕の見せ所です。(池)

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2014(H26)入試分析 西大和学園中学校(女子) 算数

2014.02.10 17:03|入試問題分析(算数)
今年は西大和学園,女子の募集初年度となりました。
算数の小問群に目を向けると,見たことはあるが少しひねってあるので取れそうで取れないという問題が並んでおり,
かなり気合を入れて出題されたように思えます。そのせいか,平均点は87.5点と,150点満点の6割を割り込んでいます。

では,そういう厳しめの問題の中から,大問2の(3)を解説します。
(問題)H26 西大和学園中学校(女子) 算数 大問2番(3)
次の□に当てはまる数を答えなさい。
(3)図のように,正方形ABCDと∠CAP=30°,AC=APとなっている二等辺三角形ACPがあります。
点Pと点Dを結んだとき,∠CPD=□°となります。
2014西大和女子2番(3)01

分かる角度を闇雲に書きこんでもなかなか解けない問題ですね。
2014西大和女子2番(3)02

まず,角CAP=30°という情報から,青の点線の長さがAPの半分ということが分かります。
また,三角形ADCは直角二等辺三角形なので,赤の点線の長さはACの半分ということが分かります。
AP=ACですから,
青の点線の長さ=AP÷2=AC÷2=赤の点線の長さ
つまり,DPとACは平行になり,四角形DPCAは台形,よって,∠ACP+∠CPD=180°です。
∠ACP=(180-30)÷2=75°ですから,180-75=105°となりますね。

今年の西大和は男子でも等積変形の平面図形小問が出題されていました。
このようなひらめきを要する類の問題は,同じ系統の問題を重点的に演習することで鍛えられますが,
試験本番中ではあまり深追いし過ぎると他の問題に手が回らなくなります。
特に,平面図形が得意な子が「解けるはずなのに~!」となってこの罠にはまることが多いです。

程よいところでいったんあきらめて,また後ほど戻ってくるというような作戦を立てないといけませんね。(池)

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2014(H26)入試分析 甲陽学院中学校(第1日) 算数

2014.02.09 12:47|入試問題分析(算数)
さて,今回は甲陽1日目の分析をしてみましょう。

問題数は大問6問で,例年と同様でした。形式や配列も同じような感じなので,受験生はとまどうことなく受験に臨めたと思います。
1日目の算数の受験者平均は100点満点で60.3点。2日目も61.4点と,ここ数年でもっとも高くなりました。
問題も,見慣れた感じの問題が多く,それも平均点を押し上げる要因の一つになったのでしょう。

今回はこの1日目の問題から,6番の問題を取り上げてみたいと思います。

(問題)H26 甲陽学院中学校(1日目) 大問6番
3けたの整数の中で,各位の和が各位の積以上となるものを考えます.
⑴このような3けたの整数のうち,百の位が9であるものは何個ありますか.
⑵このような3けたの整数のうち,百の位が1であるものは何個ありますか.
⑶このような3けたの整数は全部で何個ありますか.


[解き方]
⑴3けたの整数を9ABとすると,A,Bどちらかに0が入っていれば9×A×B=0となり,9+A+Bより小さくなります。
この場合の(A,B)の組み合わせは,(0,1)~(0,9),(1,0)~(9,0),(0,0)の19通りあります。
(0を使わない2数の組み合わせなので,10×10-9×9=19通りとしてもいいですね。)
次に,A×B=1の場合は,AもBも1になるので,9×A×B=9となり,9+A+Bより小さくなります。ですから,この場合,1通り。
A×B=2のとき,9×A×B=18となりますが,この場合,A+Bの組み合わせは,1+2か2+1ですから,9+A+B=12となり,18以上にはできません。
A×B=3のときは,9×A×B=27となり,9+A+B=27にするためにはAもBも9でないといけませんから,これは不適。
A×Bが4以上のときは,9×A×B=36以上となり,9+A+Bでは作れませんね。
以上より,19+1=20通りあります。

⑵3けたの整数を1ABとすると,1+A+B≧1×A×Bとなるためには,まず,A,Bいずれかに0か1が含まれる場合が考えられます。この場合の(A,B)の組み合わせは,(0,1)~(0,9),(1,0)~(9,0),(0,0),(1,2)~(1,9),(2,1)~(9,1),(1,1)の36通りあります。
(A,Bに入るすべての数字の組み合わせから,0と1を使わない組み合わせを引いて求めてもいいですね。
10×10-8×8=36通りとなります。)
これ以外の場合ももれなく調べないといけません。他に(2,2),(2,3),(3,2)の3通りもあるので,36+3=39通りです。

⑶0をふくむものは,100~999の900個から,0を含まないもの9×9×9=729個引けばいいので,900-729=171通り,
また,1を2個含むものは,11□,1□1,□11の形で,□に2~9が入るものと111で8×3+1=25通り,
1と2と2のもの3通り,1と2と3のもの6通り。以上合計すると171+25+3+6=205通りとなります。

時間内にどれだけきちんと整理して数え上げができるかを問われているような出題です。スマートな解き方も大切ですが,きちんと一つ一つの数え上げで十分得点が期待できる問題です。ふだんから整理をしっかり行い,そのうえで丁寧に数え上げていくという練習もやっておきたいものです。

ところで,今年の甲陽の1日目,比較的取り組み易い問題が並んでいました。算数の合格者平均が2日間のトータルで140点弱,ほぼ7割ですから,1日目は75点を目指したいところでしょう。(道)
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2014(H26)入試分析 算数 四天王寺中学校

2014.02.08 10:15|入試問題分析(算数)
今回は四天王寺中学校の算数の分析です。

問題の分量は大問7題,小問数は18題。
例年通り,広い範囲から様々なレベルの問題が出されました。

しかし,4番と5番が一見して嫌そうな問題,6番と7番には普段解いたことがあるがちょっと手間がかかる問題
という配置になっていたので,逆に並んでいれば6番や7番が取れたのに,4番と5番で心が折れてしまって
取れるものも取れなかったという子が結構いたのではないかと思われます。

このブログ内でも何度も書いていますが,問題の取捨選択や優先順位づけは非常に大切ですね。

では,今回はそんな中から5番の問題を取り上げてみましょう。

(問題)H26 四天王寺中学校 算数 大問6番
点Oを中心とする円の周りに,図のような規則で点P1,点P2,点P3,点P4,……を中心とする合同な円を
並べていきます。点Oと点P1,点Oと点P2を結んでできる角のうち小さい方を角P1OP2と表すことにします。
次の角の大きさは何度ですか。
①角P13OP17
②角P12OP41
③角P94OP109
2014四天王寺5番

①この小問を解く時点で,まずは6方向のイメージをしっかり持ってもらいたいところです。
2014四天王寺5番01
 赤線同士の間隔は60度になっていますから,角P13OP17120度となります。

※以降,真上の方向を0度,そこから時計回りに60度,120度,180度,240度,300度と呼ぶことにします。
今回はP13が180度,P17が300度の方向にあるということです。

②まず,P12は図を見て分かるように,120度と180度の間にありますから150度の方向です。
円をぐるぐると外側に置いていくわけですが,
1周目はP1~P6の6個,
2周目はP7~P18の12個,
3周目はP19~P36の18個,



と置く個数が1周につき6個ずつ増えていきます。
これにより,0度の方向に並ぶ数字も+6,+12,+18,・・・となり,P1,P7,P19,P37,P61,P91,P127とわかります。
つまり,P41は4周目の途中にあるということになります。

次に,0度の方向から60度の方向になるまでに足される数は,
1周目ならP1⇒P2で+1,
2周目ならP7⇒P9で+2,
3周目ならP19⇒P22で+3,



と周回数と同じだけ増えています。
よって,4周目で60度の方向に並ぶのはP37+4=P41ですね。

つまり,求める角度は150-60=90度となります。

③P94もP109も6周目の途中にあるということになります。
6周目は0度の方向がP91
60度の方向がP91+6=P97
120度の方向がP97+6=P103
180度の方向がP103+6=P109



となりますので,P94は0度と60度のちょうど真ん中で30度,P109は180度の方向です。

つまり,求める角度は180-30=150度となります。


とは書いたものの,試験本番では頑張って109個くらい円を描いてしまったという子もたくさんいると思います。
他の問題との時間の兼ね合いもあるので,それが良いとは必ずしも言えませんが,実際に入試で合格してくる子は
それくらい貪欲に点数を取りに行くものです。スマートな解法ばかり追い求めずに,普段から泥臭く得点を獲得する
意識を持ってください。その上で,スマートな解法が身に付いてくればBESTですね。(池)

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2014(H26)入試分析 洛星中学校(前期) 算数

2014.02.07 19:53|入試問題分析(算数)
今回は洛星中学校(前期)の問題に目を向けてみましょう。

問題の分量は大問5題,小問数は16題。
去年に比べて分量は減ったので,時間的にも余裕はあったはずです。
難易度としても洛星を受験する受験生達の力をはかるのに非常にバランスのいい問題の組み合わせでした。
ここ数年,算数の入試問題としてみると,とてもいい感じです。

では今回はこの中から4番の問題を取り上げてみます。

(問題)H26 洛星中学校(前期) 算数 大問4番
(1)13と14のような,2けたの連続した2つの整数を考えます。
このような2つの整数のうち,積が112で割り切れるような組み合わせをすべて求めなさい。
答は(13,14)のように,小さい順に書きなさい。
(2)14と16のような,2けたの連続した2つの偶数を考えます。
このような2つの偶数のうち,積が160で割り切れるような組み合わせをすべて求めなさい。
答は(14,16)のように,小さい順に書きなさい。
(3)24と26と28のような,10以上200以下の連続した3つの偶数を考えます。
このような3つの偶数のうち,3つの数の積が2304で割り切れるような組み合わせをすべて求めなさい。
答は(24,26,28)のように,小さい順に書きなさい。


(1)「積」というキーワードが出てきた時点で,素因数分解を思いついてほしいですね。
112=2×2×2×2×7と分解することができますので,この5つの素数を2つの数にうまく割り振ってやればよいわけです。
2つの数は連続する整数なので,一方は偶数,一方は奇数です。
つまり,2という素数は偶数の方にしか割り振ることができませんので,
偶数は2×2×2×2=16の倍数ということが分かります。
あとは,16の倍数の前後に7の倍数があるところを探せばよいですね。
16 ⇒ 15,17とも7の倍数ではない。
32 ⇒ 31,33とも7の倍数ではない。
48 ⇒ 47は7の倍数ではない。49は7の倍数。 ⇒ (48,49)
64 ⇒ 63は7の倍数。65は7の倍数ではない。 ⇒ (63,64)
80 ⇒ 79,81とも7の倍数ではない。
96 ⇒ 95,97とも7の倍数ではない。
よって,(48,49)(63,64)の2組となります。

(2)先ほどと同様に素因数分解をしてみましょう。
160=2×2×2×2×2×5と分解できますので,この6つの素数を2つの偶数にうまく割り振ればよいわけです。
2つは連続する偶数なので,一方が4の倍数,他方は2の倍数ですが4の倍数ではありません。
つまり,5個ある2という素数は4個と1個に分かれることになります。
2を4個割り振られた方は16の倍数ですから,この前後と組み合わせたときに5の倍数があればよいですね。
16 ⇒ 14,18とも5の倍数ではない。
32 ⇒ 30は5の倍数。34は5の倍数ではない。 ⇒ (30,32)
48 ⇒ 46は5の倍数ではない。50は5の倍数。 ⇒ (48,50)
64 ⇒ 62,66とも5の倍数ではない。
80 ⇒ 78,82とも5の倍数ではない。が,80自体が5の倍数なので,どちらもOK! ⇒ (78,80)(80,82)
96 ⇒ 94,98とも5の倍数ではない。
よって,(30,32)(48,50)(78,80)(80,82)の4組となります。
※どちらも偶数なので,2×A,2×Bとして2×2×2×5をAとB(いずれも5以上50以下)に割り振るとしてもよいですが,
 手間はあまり変わりませんね。

(3)同様に素因数分解すると,2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3のように,8個の2と2個の3に分解できます。
この10個の素数を3つの偶数(以下,小さい方からA,B,Cとします。)にうまく割り振ればよいわけです。
・素数3(2個)について
3つは連続する偶数なので,3の倍数になり得るのは1つしかありません。
つまり,その数は必ず3を2個割り当てられるので,9の倍数になります。
・素数2(8個)について
3つは連続する偶数なので,
①真ん中が4の倍数,両端が2の倍数だが4の倍数でないというパターン
②両端が4の倍数,真ん中が2の倍数だが4の倍数でないというパターン
と分かれます。
①の場合,AとCには1個ずつしか割り当てられないので,Bに6個割り当てられることになります。
Bは64の倍数ということになりますから,
A=62,B=64,C=66 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=126,B=128,C=130 ⇒ Aが9の倍数になっている。 ⇒ (126,128,130)
A=190,B=192,C=194 ⇒ 9の倍数が存在しない。
②の場合,Bには1個,AとCには少なくとも2個ずつ割り当てられます。
残りの3個がどこに行くのかというところですが,AとCが共に8の倍数になる(=3個以上ずつ割り当てられる)
ことはあり得ませんので,AかCのいずれかに5個,他方が2個ということになります。
5個割り当てられると32の倍数になりますから,
A=28,B=30,C=32 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=32,B=34,C=36 ⇒ Cが9の倍数になっている。 ⇒ (32,34,36)
A=60,B=62,C=64 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=64,B=66,C=68 ⇒ 9の倍数が存在しない。 
A=92,B=94,C=96 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=96,B=98,C=100 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=124,B=126,C=128 ⇒ Bが9の倍数になっている。 ⇒ (124,126,128)
A=128,B=130,C=132 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=156,B=158,C=160 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=160,B=162,C=164 ⇒ Bが9の倍数になっている。 ⇒ (160,162,164)
A=188,B=190,C=192 ⇒ 9の倍数が存在しない。
A=192,B=194,C=196 ⇒ 9の倍数が存在しない。 
よって,(32,34,36)(124,126,128)(126,128,130)(160,162,164)の4組となります。
※16の倍数と18の倍数の差が4以内になるところを調べるという方法もありますが,調べるときの作業を比べると
上記の方法がやりやすいかと思い,採用しております。

取り組み方は色々あるかと思いますが,いずれにしても自分の作業内容がごちゃごちゃにならないように
整理しながら書き残していくような能力が問われます。普段から問題に取り組む際に,スピードとあわせて
情報整理の仕方に意識を向けるようにしましょう(池)

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2014(H26)入試分析 洛南高等学校附属中学校 算数

2014.02.06 00:20|入試問題分析(算数)
 さて,今回は洛南高等学校附属中学校の算数から1問取り上げます。

問題数は大問7問と小問30問。例年通りの1問5点の均等配点です。
今年は計算問題が8問に戻り,去年に比べるとスタートは切りやすいテストでした。
しかし,後半は去年と同等,あるいはそれ以上にきつかったと思われます。
5番,6番の後半は重量級,7番は超重量級というところでしょうか。
また,4番は(1)が取れないと全滅です。
「三角形の角の二等分線に関する公式」を知っているかどうかでかかる手間が全く違いましたので,
ちょっと酷なテストかなというのが正直な感想です。

これくらいの難易度の問題が並ぶと,結局のところは「取れるところをしっかり取れ」という極めて
当然のところに至るわけなのですが、制限時間が70分という長丁場ですから,パニックになった気持ちや
途切れた集中力をいかに取り戻すかという精神力がよりいっそう問われるのが洛南算数の大きな特徴です。

今回は一番きつかったと思われる,7番に取り組んでみましょう。

(問題)H26 洛南高等学校附属中学校 大問7番
1辺の長さが1cmの小さな立方体27個をすき間なく積み重ねて,1辺の長さが3cmの大きな立方体を作りました。
側面のすみの正方形を図のように,A,B,C,D,E,Fとしたとき,次の問いに答えなさい。
2014洛南7番01
(1)図1のようにAをDまでまっすぐ動かしたとき,Aが通過した部分を(あ)とします。
(あ)に含まれる部分がある小さな立方体は何個ありますか。
ただし,点や辺のみの場合は含まれたことにはなりません。
2014洛南7番02
(2)図2のように,BをEまでまっすぐ動かしたとき,Bが通過した部分を(い)とします。
(あ)と(い)の重なった部分の体積は何cm^3ですか。
2014洛南7番03
(3)図3のように,CをFまでまっすぐ動かしたとき,Cが通過した部分を(う)とし,
(あ)と(う)の重なった部分を(え)とします。
①(え)に含まれる部分がある小さな立方体は何個ありますか。
ただし,点や辺のみの場合は含まれたことにはなりません。
②(え)の体積は何cm^3ですか。
2014洛南7番04

(1)立方体を積み上げた問題ですから,基本手順にしたがって,段ごとの図を描いてみましょう。
ただ,今回はAからDまで,正方形が斜めに移動するということで,やや複雑ですので,下の図のように
正方形の上の辺(図の赤)と正方形の下の辺(図の青)に分けて考えてみます。
2014洛南7番05
正面からの図を見ると分かるように,正方形の上の辺はのところで中段から上段に,
下の辺はのところで下段から中段に移るのがわかります。
これを上から見た段ごとの図に照らし合わせると,上段では4個,中段では7個,下段では4個の立方体にまたがって
いることが確認できますね。よって,4+7+4=15個となります。

(2)既に描かれている線の交点を結べば,重なった部分は作図できるのですが,どの交点を結べばよいのか
悩ましいところだと思います。そこで,大きな立方体を右側から見た平面図を描き,それを利用してみましょう。
(図2)では右から左に移動していくので,今回の平面図も右から見てください。
2014洛南7番06
A→DとB→Eが同じ速さで移動していくと考えると,まず,2つの正方形はでぶつかります。
さらに進むと,重なり部分の正方形はどんどん大きくなって,真ん中のところで完全に重なります。
ここまでの動きを立体図に反映すると,右下図のようになります。
Aの右上の頂点の軌跡とBの左下の頂点の軌跡がぶつかっているところが
AとBの右上同士,右下同士,左上同士,左下同士の頂点の軌跡がぶつかっているところがです。
さらに進むと,再びのところで離れますから,立体の図に反映すると左下図のようになります。
つまり2つの四角すいが合体した立体が今回求める体積です。
2014洛南7番07
ここで安心してはいけませんよ。四角すいの高さをきちんと見極めるためには,正面からの図が必要です。
太線の相似比は3:1ですので,♡の長さは3×1/4 =0.75cm,
よって,2つの四角すいの高さの和は3-0.75×2=1.5cmです。
求める体積は1×1.5÷3=0.5cm^3ですね。
2014洛南7番08

(3)これも既に描かれている線の交点を結べば,重なった部分は作図できます。
先ほどと同じように,大きな立方体を右側から見た平面図を描き,それを利用してみましょう。
(図3)では右から左に移動していくので,今回の平面図も右から見てください。
2014洛南7番09
A→DとC→Fが同じ速さで移動していくと考えると,まず,2つの正方形はでぶつかります。
さらに進むと,重なり部分はどんどん大きくなって,真ん中のところで完全に重なります。
ここまでの動きを立体図に反映すると,右下図のようになります。
Aの右上とCの左上,Aの右下とCの左下の頂点の軌跡同士がぶつかっているところがの両端,
AとCの右上同士,右下同士,左上同士,左下同士の頂点の軌跡がぶつかっているところがです。
さらに進むと,再びのところで離れますから,立体の図に反映すると左下図のようになります。
いずれも三角柱を斜め切りした立体ですが,合体すると,底面がひし形の四角柱を斜め切りしたものになりますね。
2014洛南7番10
①今回できた立体を上から見た図と正面から見た図で分析してみましょう。
上からの図にすると,真ん中のかたまりにしかかかっていないことがわかります。
あとは正面からの図を確認すれば,7個の立方体にまたがっていることがわかりますね。
2014洛南7番11
②底面のひし形の面積は1.5×1÷2=0.75cm^2,高さはいずれも1cmなので,柱体として考えて問題ありません。
0.75×1=0.75cm^3となります。

このような立体の問題で得点するには,頭の中でいろいろ想像することは当然必要なのですが,それだけでは
とても対応できません。普段から「立体の問題をいかに平面の処理に持ち込めるか」ということを意識して
学習することが大切です。

立体に限らず,「自分の取り組みやすい形に持ち込む」ということを常に意識しましょう。(池)

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2014(H26)入試分析 西大和学園中学校(男子) 算数

2014.02.04 14:00|入試問題分析(算数)
女子募集の初年度となった今年,男子と女子は別問題,入試時間帯も変えての実施となりました。
今回は,男子入試の概観です。
男子受験者数は昨年度の1229名から1303名へ,合格者は686名から623名へ,実質競争率は1.79倍から2.09倍と,実質かなりの難化となりました。
合格最低点もこの入試結果を反映し,昨年度の320点/500から353点/500へと跳ね上がりました。問題の難易度にもよるので,一概には言えませんが,難しくなった,というのが正直な感想です。
さて,算数の入試問題ですが,昨年度の受験者平均は85.8点でしたが,今年は108.6点と,昨年に比べ20点以上上がりました。1問1問見ても,昨年よりかなり取り組み易くて良かったのではないかと思います。
では,そういう易しめの問題の中から,大問4を解説します。
(問題)H26 西大和学園中学校(男子) 算数 大問4番
1から100までの数字が書かれた100枚のカードが2組あります。ひと組は自分の左手に置き,もうひと組は右手に置きます。合わせて200枚のカードを,次の[きまり]にしたがって,左から右へ順に1枚ずつ一列に並べていきます。

[きまり]
1.1枚目(最も左端)は,左手の組の中から自分でカードを1枚選んで並べます。
2.2枚目は右手の組の中で最も小さい数字のカードである「1」のカードを並べます。
3.左から奇数枚目には左手の組から自分でカードを1枚選んで並べます。
4.偶数枚目には右手の組の中で最も小さい数字のカードを並べます。

100枚並べた時点で,一列に並べた100枚のカードに書かれた数字の合計をXとします。
(1)一列に並べたカードのうち,100枚目のカードに書かれた数字を答えなさい。
(2)X=2550であるとき,左手に残った50枚のカードの中で,カードに書かれた数字のうち最も小さいものを求めなさい。

左から奇数枚目に並んでいるカードで,そのカードの数字が両どなりである偶数枚目のカードの数字のどちらよりも大きくなっている部分(ただし,1枚目については右どなりに置かれたカードの「1」より大きい。)を,「当たり」と呼ぶことにします。
(3)200枚すべて並べおわったとき,「当たり」ができるだけ多くなるように並べます。そのとき「当たり」は何個あるか求めなさい。
(4)X=2746になるようにしたうえで,200枚すべて並べおわったとき,「当たり」となっている部分ができるだけ少なくなるように並べます。そのとき「当たり」は何個あるか求めなさい。


⑴100÷2=50なので,右手に置いていたカードの50番目です。右手のカードは1から小さい順に並べますから,50番目は50です。
⑵右手のカード(偶数番目)の1から50までの数字の和は,(1+50)×50÷2=1275になります。ですから,奇数番目のカード(左手のカード)の数字の合計は,2550-1275=1275で,これは1から50までの50枚のカードの和と同じです。ですから,並べ終わった左手のカードは1から50までの50枚。よって,左手に残っているカードで一番小さいのは51です。
⑶たとえば,
1122334455667,…,979798989999100100
と並べても,当たりはありませんが,奇数番目に並んだ青色の数字を一つ左にずらして,はみ出した1はもともと100のあった場所に入れてみましょう。すると,
2132435465768,…,98979998100991100
となり,青色の最後の1以外が当たりです。したがって,当たりは100-1=99個です。
⑷X=2746ですが,ここから偶数番目に並べた1から50までの和である1275を引きましょう。
2746-1275=1471
これは,1から50までの和の1275より,1471-1275=196大きい数です。
本問では,当たりの個数をできるだけ少なくしたいので,⑶で使った,当たりの無い並べ方をもとに考えましょう。
1122334455667,…,979798989999100100
この並べ方で,青色の数字の50番目までの合計を196大きくすることを考えたらいいですね。
ただし,大きくする数字の個数はできるだけ少なくなるようにします。
数字は最大でも100なので,1個だけを196大きくすることはできません。
そこで,1と2を99と100にすれば,100+99-1-2=196大きくなりますね。
すると,
9911002334455667,…,979798981992100
のように並びます。この場合,当たりは青の99,100の2個となります。

この問題のように,問題から条件を読み取って,その条件に沿って解かないといけない問題は,西大和の入試では非常によく出ます。もちろん,他の難関校でも出題はされますが,西大和の場合,問題文が特に長く,意味をしっかり考えて読み取っていかないと得点できないことも多いので,過去問などで十分に訓練しておく必要がありますね。(今年の問題は,同じような過去の問題に比べ,多少受験生に優しい出題だったと思います。)(道)
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2014(H26)入試分析 東大寺学園中学校 算数 PART3

2014.02.03 20:43|入試問題分析(算数)
(問題)H26 東大寺学園中学校 算数 大問5番
右の図のようなAB=2cm,AD=3cm,AE=4cmの直方体ABCD-EFGHがあります。このとき,次の問いに答えなさい。
東大寺2014 5の1

(1)点QがCH上を自由に動くとき,AQをAR:RQ=2:1に分ける点Rが動くことのできる部分の長さは,CHの何倍ですか。
(2)点PはAF上を自由に動き,点Qは点Pの動きと無関係にCH上を自由に動きます。PQをPR:RQ=2:1に分ける点をRとするとき,点Rが動くことのできる範囲は,どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また,その図形の面積を求めなさい。
(3)①三角すいACFHの体積を求めなさい。ただし,三角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。
②三角すいACFHと三角すいBDEGの共通部分(どちらの三角すいにも含まれている部分)の体積を求めなさい。
(4)(2)で求めた図形のうち,(3)の②の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。


東大寺の最後大問5は立体切断に関係する問題です。
全5問のうち,3問はなかなかの難問と言っていいでしょう。ただ,⑴も空間での点の移動を考える問題なので,受験生は戸惑うかもしれません。
東大寺2014 5の2

⑴図1-1で,赤で記入した線分STの長さを求めることになります。三角形ASTと三角形ACHは相似で,辺の比が2:3なので,ST=CH×2/3より,2/3倍です。
⑵図1-2のように,点PをFに固定し,点QをCH上で移動させると,Rは図のUV上を通過します。
さらに,点QをCに固定し,点PをAF上で移動させるとRは図1-3のSU上を通過,点QをHに固定し,点PをAF上で移動させるとRは図1-4のTV上を通過します。
求めるRの移動範囲は,ST,UV,SU,TVの4つの線分に囲まれた部分ということになります。
ここで,CHとSTとUVは平行,AFとSUとTVは平行ですから,四角形STVUは平行四辺形になります。
東大寺2014 5の3
このとき,4つの点S,T,V,Uは正面から見ると図2-1のようになっていて,側面のDCGH側から見ると,図2-2のようになっています。したがって,面積は,2×4-(2×1/3)×(4×1/3)-(2×2/3)×(4×2/3)=32/9(cm^2)となります。
⑶①三角すいACFHは直方体から,三角すいAHCD,ACFB,CHFG,AHFEの4つの三角すいを切り取った残りの立体です。
したがって,体積は,2×3×4-2×3×1/2×4×1/3×4=8(cm^3)ですね。(図3-1)
東大寺2014 5の4
②三角すいACFHと三角すいBDEGの共通部分は次のように考えると考えやすいのではないでしょうか。
三角すいACFHは,直方体を面ACH,面ACF,面CHF,面AHFで切って,直方体の頂点が入った4つの三角すいを取り除いた残りの立体です。
また,三角すいBDEGは,直方体を面BDE,面BDG,面DEG,面BEGで切って,直方体の頂点が入った4つの三角すいを取り除いた残りの立体です。
ですから,求めたい共通部分の立体は,直方体を上記8面で切って不要部分を取り除いた立体です。
図3-2の2面できれば,切断面にオレンジ色の辺が出現します。
図3-3の2面で切っても,同じようにオレンジ色の辺が出現します。
上側の4面できると,図3-4のようになり,さらに下側で残った4面を切れば,図3-5のような8面体になります。この8面体が共通部分になります。
東大寺2014 5の4の2
体積は,図3-5の赤く色を付けた部分を底面と考えると,四角すい2個をくっつけた形になりますね。
この赤い部分は,真上から見ると図3-6のようなひし形ですから,長方形の面積の半分です。
ですから,この立体の体積は,2×3×1/2×4×1/3=8(cm^3)です。
⑷平行四辺形STVUを含む面で直方体を切ると,切り口は次の図4のようになっています。
東大寺2014 5の5
オレンジ色の部分が八面体に含まれる部分になりますから,面積は平行四辺形STVUの1/2ですね。
32/9×1/2=16/9(cm^2)となります。

東大寺学園の問題を大問3問,順に解説しましたが,どの問題もかなり手間も時間もかかり,しかも一筋縄ではいかない難問ぞろいでした。何度も書きますが,こういった問題にあたったときは,ひとつひとつ丁寧に順に解いていくということも大切ですが,何よりもまず取れるところを確実に取りきること,これが合格するために最低限しないといけないことでしょう。今回の大問5で言えば,⑴や⑶の①でしょう。そのうえで,残りの問題にチャレンジしましょう。
未来の受験生の健闘を祈ります。(道)

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2014(H26)入試分析 東大寺学園中学校 算数 PART2

2014.02.01 09:51|入試問題分析(算数)
(問題)H26 東大寺学園中学校 算数 大問4番
右の図のように点Oを中心とする円と,その円周を12等分した点AからLまでがあります。点Pと直線lは赤と青の2種類のスイッチと連動して動くものとします。
東大寺2014 4の1

・最初,点Pは点Aにあり,直線lは直線BHと一致している。
・赤のスイッチを押すと,直線lを対称の軸として,点Pは対応する点に動く。
・青のスイッチを押すと,直線lが点Oを中心に時計回りに30°回転した後,
直線lを対称の軸として,点Pは対応する点に動く。
たとえば,赤青青とスイッチを押すと,点PはA→赤→C→青→C→青→Eと動きます。
このとき,次の問いに答えなさい。
(1)2回スイッチを押した後,点Pはどの点にありますか。ありえるすべての点を答えなさい。
(2)1回目に赤のスイッチを押し,合計5回スイッチを押した後,点Pが点Gにあるような
スイッチの押し方をすべて答えなさい。答は「赤青青赤赤」のように答えなさい。
(3)13回スイッチを押した後,点Pが点Eにあるようなスイッチの押し方は全部で何通りありますか。


⑴赤赤,赤青,青赤,青青の4通りあります。
赤赤 A→C→AとAに戻る。赤青 A→C→CとCに移動。青赤 A→E→AとAに戻る。青青 A→E→CとCに移動。
よって,AとC
⑵次の図のような樹形図を描いて調べてみます。
東大寺2014 4の2
全部調べても,2×2×2×2=16とおりですから,きちんと丁寧に調べましょう。
赤赤青赤青,赤赤青青青,赤青青赤青,赤青青青青の4つです。
⑶問題はこの⑶ですね。13回ということですから,もしすべて調べつくすとなると,2^13=8192通りあることになり,ほぼ不可能…
何か工夫が必要です。
そこで,⑴がヒントになります。2回スイッチを押すと,点PはAからCに移動するか,もとのAにもどるかのどちらかでした。
実は,スイッチを2回押す操作を1セットとして考えると,㋐赤赤と青赤は元に戻る(点は移動しない),㋑赤青と青青は2目盛り時計回りに進む(角度で言うと60度時計回りに回転)ということになります。
1回目赤を押すと点PはCに移動。そこから(13-1)÷2=6セットであと2目盛り進めばいいのですから,㋐から5セット,㋑から1セット選んで並べるといいのです。これは,㋑をどこで選ぶかも考えて,2^6×6=384通り
1回目青を押すと点PはEに移動。残り6セットで,(a)そのままEにとどまるか,(b)1周して再びEに来るために12目盛り進むかすればいいですね。
(a)の場合は㋐から6回選ぶので2^6=64通り,(b)の場合は㋑から6回選ぶので同じく2^6=64通りあります。
すべて合計すると,384+64×2=512通りになります。

以上で解説は終了ですが,この問題,かなりの難問です。⑶は解けなくても気にすることはありません。むしろ⑴や⑵を確実に得点していくために,きちんと整理して数え上げるという練習を日ごろから行うことで,最低限必要な点数は必ず得られます。ふだんの学習姿勢で⑴や⑵が正解できるようにしておくことが大切でしょう。(道)

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