2014(H26)入試分析 洛星中学校(前期) 算数

今回は洛星中学校(前期)の問題に目を向けてみましょう。

問題の分量は大問5題，小問数は16題。
去年に比べて分量は減ったので，時間的にも余裕はあったはずです。
難易度としても洛星を受験する受験生達の力をはかるのに非常にバランスのいい問題の組み合わせでした。
ここ数年，算数の入試問題としてみると，とてもいい感じです。

では今回はこの中から4番の問題を取り上げてみます。

(問題)H26　洛星中学校(前期)　算数　大問4番
(1)13と14のような，2けたの連続した2つの整数を考えます。
このような2つの整数のうち，積が112で割り切れるような組み合わせをすべて求めなさい。
答は(13，14)のように，小さい順に書きなさい。
(2)14と16のような，2けたの連続した2つの偶数を考えます。
このような2つの偶数のうち，積が160で割り切れるような組み合わせをすべて求めなさい。
答は(14，16)のように，小さい順に書きなさい。
(3)24と26と28のような，10以上200以下の連続した3つの偶数を考えます。
このような3つの偶数のうち，3つの数の積が2304で割り切れるような組み合わせをすべて求めなさい。
答は(24，26，28)のように，小さい順に書きなさい。

(1)「積」というキーワードが出てきた時点で，素因数分解を思いついてほしいですね。
112＝2×2×2×2×7と分解することができますので，この5つの素数を2つの数にうまく割り振ってやればよいわけです。
2つの数は連続する整数なので，一方は偶数，一方は奇数です。
つまり，2という素数は偶数の方にしか割り振ることができませんので，
偶数は2×2×2×2＝16の倍数ということが分かります。
あとは，16の倍数の前後に7の倍数があるところを探せばよいですね。
16　⇒　15，17とも7の倍数ではない。
32　⇒　31，33とも7の倍数ではない。
48　⇒　47は7の倍数ではない。49は7の倍数。　⇒　(48，49)
64　⇒　63は7の倍数。65は7の倍数ではない。　⇒　(63，64)
80　⇒　79，81とも7の倍数ではない。
96　⇒　95，97とも7の倍数ではない。
よって，(48，49)と(63，64)の2組となります。

(2)先ほどと同様に素因数分解をしてみましょう。
160＝2×2×2×2×2×5と分解できますので，この6つの素数を2つの偶数にうまく割り振ればよいわけです。
2つは連続する偶数なので，一方が4の倍数，他方は2の倍数ですが4の倍数ではありません。
つまり，5個ある2という素数は4個と1個に分かれることになります。
2を4個割り振られた方は16の倍数ですから，この前後と組み合わせたときに5の倍数があればよいですね。
16　⇒　14，18とも5の倍数ではない。
32　⇒　30は5の倍数。34は5の倍数ではない。　⇒　(30，32)
48　⇒　46は5の倍数ではない。50は5の倍数。　⇒　(48，50)
64　⇒　62，66とも5の倍数ではない。
80　⇒　78，82とも5の倍数ではない。が，80自体が5の倍数なので，どちらもOK！　⇒　(78，80)(80，82)
96　⇒　94，98とも5の倍数ではない。
よって，(30，32)と(48，50)と(78，80)と(80，82)の4組となります。
※どちらも偶数なので，2×A，2×Bとして2×2×2×5をAとB(いずれも5以上50以下)に割り振るとしてもよいですが，
　手間はあまり変わりませんね。

(3)同様に素因数分解すると，2304＝2×2×2×2×2×2×2×2×3×3のように，8個の2と2個の3に分解できます。
この10個の素数を3つの偶数(以下，小さい方からA，B，Cとします。)にうまく割り振ればよいわけです。
・素数3(2個)について
3つは連続する偶数なので，3の倍数になり得るのは1つしかありません。
つまり，その数は必ず3を2個割り当てられるので，9の倍数になります。
・素数2(8個)について
3つは連続する偶数なので，
①真ん中が4の倍数，両端が2の倍数だが4の倍数でないというパターン
②両端が4の倍数，真ん中が2の倍数だが4の倍数でないというパターン
と分かれます。
①の場合，AとCには1個ずつしか割り当てられないので，Bに6個割り当てられることになります。
Bは64の倍数ということになりますから，
A＝62，B＝64，C＝66　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝126，B＝128，C＝130　⇒　Aが9の倍数になっている。　⇒　(126,128,130)
A＝190，B＝192，C＝194　⇒　9の倍数が存在しない。
②の場合，Bには1個，AとCには少なくとも2個ずつ割り当てられます。
残りの3個がどこに行くのかというところですが，AとCが共に8の倍数になる(＝3個以上ずつ割り当てられる)
ことはあり得ませんので，AかCのいずれかに5個，他方が2個ということになります。
5個割り当てられると32の倍数になりますから，
A＝28，B＝30，C＝32　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝32，B＝34，C＝36　⇒　Cが9の倍数になっている。　⇒　(32，34，36)
A＝60，B＝62，C＝64　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝64，B＝66，C＝68　⇒　9の倍数が存在しない。　
A＝92，B＝94，C＝96　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝96，B＝98，C＝100　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝124，B＝126，C＝128　⇒　Bが9の倍数になっている。　⇒　(124，126，128)
A＝128，B＝130，C＝132　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝156，B＝158，C＝160　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝160，B＝162，C＝164　⇒　Bが9の倍数になっている。　⇒　(160，162，164)
A＝188，B＝190，C＝192　⇒　9の倍数が存在しない。
A＝192，B＝194，C＝196　⇒　9の倍数が存在しない。　
よって，(32，34，36)と(124，126，128)と(126,128,130)と(160，162，164)の4組となります。
※16の倍数と18の倍数の差が4以内になるところを調べるという方法もありますが，調べるときの作業を比べると
上記の方法がやりやすいかと思い，採用しております。

取り組み方は色々あるかと思いますが，いずれにしても自分の作業内容がごちゃごちゃにならないように
整理しながら書き残していくような能力が問われます。普段から問題に取り組む際に，スピードとあわせて
情報整理の仕方に意識を向けるようにしましょう(池)