2014(H26)入試分析 甲陽学院中学校(2日目) 算数

甲陽学院2日目。受験者平均は61.4/100，合格者の平均点は2日分の合計で138.3/200，ということは1日目と併せて7割程度が目標点となります。ただ，今年度の問題は，概略を言えば，2日目といえど手におえないような問題はありませんから，点数を拾えるところをきちっと拾っていけば，目標の7割というのも，そう難しくないのではないでしょうか。
さて，その2日目の問題から，今回取り上げる問題は大問5．特にその⑵は「すべて答える」という形式で，小学生の苦手テーマ。調べ上げる際の工夫，軸足がぶれないような数え方。これを意識してやっていきましょう。

(問題)H26　甲陽学院中学校(2日目)　大問5番
図のように，半径5cmの円板を台形の形に積み上げ，その周囲にたるまないよう糸を1周させるときの糸の長さを考えます．この図は最下段の円板を7個とし，4段積み上げたときのものです．円周率は3.14とします．
⑴　最下段の円板を8個とし，5段積み上げたときの糸の長さを求めなさい．
⑵　段の数が6段以上で，糸の長さが351.4cmのとき，最下段の円板の個数と段の数はいくつになりますか．考えられる場合をすべて答えなさい．(答えは4通りとは限りません)

ちなみに，解答欄は次のようでした。


⑴これは取りこぼしてはいけない問題です。
周囲を図のように分けると，黄色い弧4つでちょうど半径5cmの円周になります。残りの台形上部を上辺，下部を下辺，左右をそれぞれ左辺，右辺とします。このそれぞれの辺は，10cmごとに区切ることができます。
長さは，下辺が10cm×(最下段の個数－1)，左右両辺が10cm×(段の数－1)となり，上辺が10cm×(最下段の個数－段の数)ですが，下辺－上辺＝左辺(または右辺)という関係も成り立ちます。

設問の場合は，下辺が10cm×(8－1)＝70cm，左辺と右辺がそれぞれ10cm×(5－1)＝40cm，上辺が10cm×(8－5)＝30cm。これに円周部分が加わるので，まとめると，70＋40×2＋30＋10×3.14＝211.4cmとなります。

⑵　まずは円周部分を除きましょう。351.4cm－10×3.14cm＝320cm。これが下辺，上辺，左辺，右辺の長さの合計です。考えやすいように10で割っておきましょう。320÷10＝32となります。これはそれぞれの辺を10cmごとに区切った，上の図で言えば●－●の個数ですね。
段の数は6段以上と指定されていますから，6段の場合から順に調べていきましょう。
6段　→　左辺と右辺は5個，上辺と下辺の和は，32－5×2＝22個，上辺と下辺の差は5個
　　 →　この場合，上辺，下辺が小数になり不適。
7段　→　左辺と右辺は6個，上辺と下辺の和は，32－6×2＝20個，上辺と下辺の差は6個
　　 →　下辺は(20＋6)÷2＝13個より，最下段の円板は13＋1＝14個。
8段　→　左辺と右辺は7個，上辺と下辺の和は，32－7×2＝18個，上辺と下辺の差は7個
　　 →　この場合，上辺，下辺が小数になり不適。
9段　→　左辺と右辺は8個，上辺と下辺の和は，32－8×2＝16個，上辺と下辺の差は8個
　　 →　下辺は(16＋8)÷2＝12個より，最下段の円板は12＋1＝13個。
10段　→　左辺と右辺は9個，上辺と下辺の和は，32－9×2＝14個，上辺と下辺の差は9個
　　 →　この場合，上辺，下辺が小数になり不適。
11段　→　左辺と右辺は10個，上辺と下辺の和は，32－10×2＝12個，上辺と下辺の差は10個
　　 →　下辺は(12＋10)÷2＝11個より，最下段の円板は11＋1＝12個。
12段　→　左辺と右辺は11個，上辺と下辺の和は，32－11×2＝10個，上辺と下辺の差は11個
　　 →　この場合，和の方が差より小さく不適。
これよりあとはすべて無理なので，答えは，14個で7段，13個で9段，12個で11段の3通りとなります。少し考えると，段の数が偶数の場合がダメだと分かりますから，もう少し効率よく求めることも可能ですね。
あわてずに，きちんと条件を整理すると，難なく答えが導けます。が，「すべて求めなさい」という形式の問題は，答えを出した後でも，すべて求め切ったのだろうか？と不安になります。くれぐれもあせることなく，可能性あるものをひとつずつ，ていねいにつぶしていきましょう。(道)