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2014(H26)入試分析 六甲中学校(B日程) 算数 PART1

2014.02.17 21:14|入試問題分析(算数)
六甲のB日程の問題です。
昨年は受験者平均が78.9点/150点,合格者平均が102.6点/150点でした。今年の分は未公表ですが,おそらく昨年並みではないかと思います。
問題として目新しく感じたのは1枚目大問3の面積の問題と大問6の辺の比と面積の問題,それと2枚目の大問8の時計算。
特に,8の時計算の問題はかなりの難問であったように思います。
それではその大問8をやってみましょう。
(問題)H26 六甲中学校(B日程) 大問8番
長針が7cm,短針が6cmの時計があります。2本の針の先をまっすぐ結んで間にできる図のような三角形を考えて,5時10分にできる三角形と同じ面積の三角形ができる時刻にチャイムを鳴らします。5時10分に鳴らすチャイムを1回目とします。次の⑴~⑶の問いに答えなさい。ただし,円周率は22/7としなさい。
⑴ 5時から11時までの6時間に,鳴らすチャイムの回数は全部で何回ですか。
⑵ 1回目のチャイムから2回目のチャイムまでの間に,長針が通過してできるおうぎ形の面積は何cm^2ですか。
⑶ 8回目のチャイムから11回目のチャイムまでの間に,短針が通過してできるおうぎ形の面積は何cm^2ですか。

六甲B2014 8の1
5時10分の時の長針と短針の作る小さいほうの角は95度です。ですから,長針と短針の作る角が95度になるとチャイムが鳴ります。この問題の1つ目のポイントは,この場合の他に,面積が等しくなるときがあれば,その角度を考えるということです。これについては,次のように考えるといいでしょう。
底辺を短針と考えて固定し(図のOC),長針OAを徐々に回転させてみます。すると,長針が図のOBの位置に来た時も面積が等しくなることが分かります。
六甲B2014 8の2
つまり,角ア=角イのとき,三角形AOCと三角形BOCは高さ(AH1とBH2)が等しくなり,面積も等しくなります。
このときのイの角度は,アと同じで180-95=85度になります。
つまり,長針と短針が作る角が95度の時と85度のときに面積が等しくなってチャイムが鳴ります。

⑴ 5時から11時までの間で時計の長針と短針の作る角が85度と95度になる回数を求めたらいいですね。
長針と短針の間の角は720/11分周期で戻ってくる(1周期は150°から0°まで減って,また180°まで増えてから150°に戻るまで)ので,5時~11時の360分の間に,360÷720/11=5.5周期入ります。
85度や95度になるのは1周期に4回ありますね。5周期では,4×5=20回あります。
残り0.5周期であと2回あるので,20+2=22回になります。

⑵時計の長針と短針のつくる角が,チャイムの鳴る1回目の95度から2回目の85度になるまでの間(☆)に短針が進む角度を考えましょう。
☆にかかる時間は(95-85)÷5.5=20/11分です。その間に長針が進む角度は6×20/11=120/11度
ですから,長針の動いた面積は,7×7×π×120/11×1/360=7×7×22/7×120/11×1/360=14/3cm^2になります。

⑶チャイムが鳴るときの長針と短針の作る角度は次の4つに分類できます。
長針が短針の95度手前 1回目,5回目,9回目 ,・・
長針が短針の85度手前 2回目,6回目,10回目,・・
長針が短針の85度先  3回目,7回目,11回目,・・
長針が短針の95度先  4回目,8回目,12回目,・・
ですから,8回目から11回目ということは,短針の95度先にいた長針が,ぐるっと回って短針を追い越し,短針の85度先にくるということです。このとき,長針は短針より,360-95+85=350度多く動くことになります。
時間にすると,350÷5.5=700/11分
この間に短針の進む角度は,0.5×700/11=350/11度ですね。
よって短針の動く面積は,6×6×π×350/11×1/360=6×6×22/7×350/11×1/360=10cm^2になります。
とても手間のかかる問題ですが,答えをみるとあっさりしています。何とも六甲Bらしいと言えばそうなのかもしれないという問題でした。(道)
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