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2015(H27)入試分析 算数 東大寺学園中学校

2015.01.28 14:32|入試問題分析(算数)
今回は東大寺学園の問題を扱います。

一昨年,去年とかなり厳しい問題が並んだのに比べ,今年はずいぶん取り組みやすかったのではないか
というのが私が最初に一通り解いたときの感想でした。
ですが,受験者平均は55.8→43.1→51.9と,一昨年の水準までは戻りませんでした。
原因として思いつくのは,
■大問1の(2)や(3)でいいやり方が思いつかず,時間を食ってしまい,後ろの問題が平常心で受けられなかった。
■大問4のような問題はどうしても塾での対策が手薄になりがちなので(しっかりやっている塾もありますよ),
 子どもたちよりもたくさんの問題を解いている私たちが感じるよりもはるかに出来が悪かった。
■大問5のような問題は立体図形が得意な子ほどハマってしまう罠があるので,元々苦手な子ができず,
 得意な子も点数が取れないということで全体の平均点が伸びなかった。
 (何年か前の四天王寺で,この問題よりははるかに簡単ですが同タイプの問題がありました。
 その問題の解説をしたときに,よく出来る子が罠にはまって,「ああ,こういうところで引っ掛かるんだ」と
 思った記憶があります。)
というようなことが考えられます。

その中でも今回は大問4を見てみましょう。
(問題)H27 東大寺学園中学校・算数 大問4番
次のような習性をもつ飛ばない虫を何匹か捕まえました。

習性  辺で囲まれた図形を底とする水そうに入れられると,入れられた場所から最も近い頂点まで
     真っ直ぐに歩き,頂点に到達すると,そこに巣を作る。
     巣から歩き出したときは,その巣が常に自分のいる場所から最も近い頂点となるような範囲だけを
     動きまわる。

例えば,【図1】のような正三角形ABCを底とする水そうの地点アに虫を置いた時は,頂点Aに巣を作り,
その後この虫が動きまわることのできる範囲は図の斜線部分になります。この動きまわることのできる
範囲のことをテリトリーと呼ぶことにします。
このとき,次の問いに答えなさい。ただし,虫や巣の大きさは考えないものとします。
(1)【図2】のような1辺の長さが12cmの正方形ABCDを底とする水そうの地点イに虫をおいた時,この虫は
どの頂点に巣を作りますか。また,その虫のテリトリーの面積を求めなさい。
(2)【図3】のようなA,B,C,D,E,Fの6個の頂点をもつ図形を底とする水そうの地点ウに虫をおいた時,
この虫はどの頂点に巣を作りますか。また,その虫のテリトリーの面積を求めなさい。
(3)【図4】のような4つの正三角形をつなげてできたA,B,C,D,E,Fの6個の頂点をもつ図形を底とする
水そうがあり,その面積を120cm^2とします。これらすべての頂点にそれぞれ1匹ずつ虫をおきました。
このとき,各頂点に巣を作った虫それぞれについて,テリトリーの面積を求めなさい。

2015東大寺4番

まず,なぜ【図1】のの虫がこのようなテリトリーになるのかを分析しましょう。

まずは境界線の引き方を確認するために,下の図を見てください。
問い:平面上でPからとQからの距離を比べたときに,Pから近い方を赤,Qから近い方を青く塗りなさい

2015東大寺4番01

なんとなく,下のように色分けすることはできると思います。
2015東大寺4番02

では,この境界線を正確に引くにはどうすればよいでしょう。
聞いてしまえば簡単ですし,わざわざ説明するまでもなさそうに思えるかもしれませんが,
PQ間の中点から,PQに垂直な直線をひけばよいですね。
2015東大寺4番03

実は今回の問題はすべてこれで解決します。
例えば【図1】ですが,下のように赤い線(=AとBの境界線)青い線(=AとCの境界線)緑の線(=BとCの境界線)を引き,
それぞれの陣地を作ることができますね。(元の図ではAの頂点のみ考えるので,緑の線は不要ですが。)
2015東大寺4番04

では,やっと問題の解説です。
(1)の虫はなんとなくDに近いであろうことはわかると思います。
では,頂点Dからのテリトリーを作図しましょう。
下のように赤い線(=AとDの境界線)青い線(=CとDの境界線)緑の線(=AとCの境界線)を引き,全ての境界線でD寄りの場所が求める面積になります。
2015東大寺4番05
これは正方形の1/4とすぐにわかりますね。12×12×1/4=36cm^2です。
※作図をしなさいというような問題であれば,まず対角線を引いて正方形のまん中を見つけてから縦横の境界線を
引くとよいですね。実際にの虫はこのテリトリーに入っていることも確認できますね。

(2)の虫もなんとなくEに近いことがわかりますか?
下のように赤い線(=AとEの境界線)青い線(=BとEの境界線)緑の線(=CとEの境界線)オレンジの線(=DとEの境界線)紫の線(=FとEの線)を引き,全ての境界線でE寄りの場所が求める面積になります。
2015東大寺4番06
作図ができれば出し方は自由。6cm,6cmの直角二等辺三角形2.5個分とするなら,6×6÷2×2.5=45cm^2です。
実際にの虫はこのテリトリーに入っていることも確認できますね。

(3)正三角形の中でのテリトリーは【図1】で研究済みです。各正三角形の中で同様のテリトリー分け作業を行うと,
下の図のようになります。
2015東大寺4番07
小さい直角三角形1つは120÷4÷6=5cm^2ですから,
A:5×4=20cm^2
B:5×4=20cm^2
C:5×2=10cm^2
D:5×8=40cm^2
E:5×2=10cm^2
F:5×4=20cm^2
が答えです。左右対称なことなどを利用すればかけ算は3つするだけでよいですね。

普段の学習時から作図をする練習をして,しかも作図をするときにただ何となく線を引くのではなく,
どのように作図をすればきれいに見えるかなどを意識していないと,なかなか解けない問題なのでしょう。
膨大な量の問題を解くことが要求される昨今の中学入試への勉強の中でそこまで質の高い学習を
求められるのはなかなか酷な話ですが,しっかり乗り越えてこそ,最難関への合格が勝ち取れます。(池)
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2015(H27)入試分析 算数 甲陽学院中学校(第2日)

2015.01.27 14:34|入試問題分析(算数)
今回は甲陽2日目の問題を扱います。

(問題)H27 甲陽学院中学校・2日目算数 大問3番
A,B,Cの3人でする仕事があります。Cがまだ新人のときは,その仕事をAとCでするとちょうど20日目の最後に終わり,
BとCでするとちょうど24日目の最後に終わり,AとBですると16日目の途中に終わっていました。
しかし,今ではCも仕事に慣れて,新人のときの2倍の速さで仕事ができるようになりました。
(1)今,この仕事を3人ですると何日目に終わりますか。
(2)今,この仕事をCだけですると何日目に終わりますか。最も早い場合と,最も遅い場合を求めなさい。

見るからに仕事算ですね。16日目の途中で終わったということは,
「15日より多くかかり,16日より少なくかかった」
ということですから,
(ア)仕事の全体量は20,24,15,16の最小公倍数で(240)
(イ)A昔のCの仕事能力は(240)÷20=(12)/日
(ウ)B昔のCの仕事能力は(240)÷24=(10)/日
(エ)ABの仕事能力は(240)÷16=(15)/日より多く,(240)÷15=(16)/日未満
というところまではかなりの子がたどり着けると思います。
ここから昔のCの仕事量を出そうとして,混乱したということが多そうです。

(1)実は,今のCの仕事能力を求めなくても,「今,この3人で仕事をすると」ということですから,
AB昔のC×2が分かればよいわけです。
それであれば,(イ)と(ウ)の条件をたして(12)+(10)=(22)/日と出せますね。
(240)÷(22)=10.・・・・・ となりますので,11日目ということです。

(2)今のCとは昔のC×2ですから,
(イ)+(ウ)-(エ)で求めることができます。
(12)+(10)-(16)=(6)/日より多く
(12)+(10)-(15)=(7)/日より少ない
となりますので,かかる日数は
(240)÷(7)=34.・・・・・日より多く
(240)÷(6)=40日未満
となります。

そして最後の難関,答えをかくところです。
「何日目に終わりますか」と聞かれていますので,
最も早い場合は34日といくらかかかる35日目
最も遅い場合は39日といくらかかかる40日目と答えなければなりません。

せっかく最後のところまでたどり着いたのに,遅い場合の日数を39日と書いてしまう子が
結構いたのではないかなと思われます。

ここ16年の算数における(合格者平均-受験者平均)に目をやりますと,
23.0→21.7→19.8→23.2→18.5→19.4→16.5→13.5→19.8→19.7→18.7→18.6→16.6→18.4→16.6→12.0
となっており,今年が最も小さくなっています。

受かった子と落ちた子の間で,得点できたであろう問題量の差が小さいということは,
「取れない問題は皆が取れない,取れる問題は皆が取れる」
の傾向が強かったということですね。
このような場合は1つのミスで多くのライバルに差をつけられるということになりますから,
「取れる問題は必ず取る」がより大切だったと言えるでしょう。

当然,テストを受けている最中にこの傾向が強いか弱いかなんてわかるわけもないですから,
普段からこの意識をしっかりと持っておかなくてはなりません。(池)
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2015(H27)入試分析 算数 甲陽学院中学校(第1日)

2015.01.26 17:37|入試問題分析(算数)
今回は,甲陽学院中学校です。
まず、入試概況から。
志願者は344名,受験者は317名,合格者は215名でした。
実受験者数は昨年度の349名から32名減、合格者は昨年度の219名から4名減でしので,実質競争率は昨年度が1.59倍,今年度は1.47倍とやや易化したというところです。
各教科の受験者平均を見ると,
国語(第1日) 2014年度 63.1点  2015年度 62.0点
国語(第2日) 2014年度 69.5点  2015年度 49.3点 
算数(第1日) 2014年度 60.3点  2015年度 62.1点
算数(第2日) 2014年度 61.4点  2015年度 53.1点
理科      2014年度 67.9点  2015年度 53.7点
となっています。
国語の2日目と算数の2日目,理科の受験者平均が,昨年度と比べて下がっています。
合格者最低点は500点満点で,2014年度が313点,2015年度が262点と大きく下がっているのは,算・国の2日目と理科で点数がのばせていないことによると思われます。

今回のテストのように,難度が上がった場合の対処方法は,焦らず,問題の見切りを素早くやって,得点できるところを確実に得点していくことが求められます。
問題の見切りのためには,それ相応の準備を積み重ねておかないと難しいので,日ごろの訓練を大切にしていきたいものです。

では,問題の解説です。今回は第1日の大問11を扱います。

(問題)H27 甲陽学院中学校 算数(第1日) 大問6
次の問いに答えなさい。
⑴ 10000の約数は何個ありますか。
⑵ 1÷16=0.0625です。この整数16のように,1を割ったときの商がちょうど小数第4位で終わる整数は何個ありますか。
⑶ 2÷512=0.00390625です。この整数512のように,2を割ったときの商がちょうど小数第8位で終わる整数は何個ありますか。

⑴ 10000の約数の個数から求めてみましょう。
10000=2^4×5^4ですから,(4+1)×(4+1)=25より,25個です。
甲陽進学を考えているのでしたら,約数の個数の求め方は知ってて当然(!?)ですね。
⑵ ⑴で10000の約数を考えていますから,この約数を利用することを考えます。
1÷16=0.0625・・・ア
の割られる数を10000倍すると
10000÷16=625・・・イ
という式になります。
このとき16と625はともにかけて10000になるペアです。
そして,アの商が小数第4位までの数になるためには,イの商の1の位が0以外の数でないといけませんね。

ですから,次の通り10000の約数のペア12組すべてを調べて,
10000÷10000=1 (1÷10000=0.0001)
10000÷5000=2 (1÷5000=0.0002)
10000÷2500=4 (1÷2500=0.0004)
10000÷2000=5 (1÷2000=0.0005)
10000÷1250=8 (1÷1250=0.0008)
10000÷625=16 (1÷625=0.0016)
10000÷400=25 (1÷400=0.0025)
10000÷80=125 (1÷80=0.0125)
10000÷16=625 (1÷16=0.0625)
の9個が求められますから,答えは9個になります。

ところが,このやり方だと,⑶のように約数が多い数になったとき対応できません。
そこでもう少しうまい方法を考えましょう。

上のイの商に0がつかないということは,商を素因数分解したとき,2と5が同時に出てこないということです。
10000の約数のうちでこの条件に当てはまる数の個数を考えましょう。
10000=2^4×5^4ですから,2^1,2^2,2^3,2^4,5^1,5^2,5^3,5^4と1の合計9個ありますね。
(これは4+4+1=9で求められます。)
ですから,答えは9個です。

⑶ 2÷512=0.00390625の割られる数を100000000倍すると
200000000÷512=390625とできます。
⑵の後半で解説した方法でやってみましょう。
まず,200000000を素因数分解します。
200000000=2^9×5^8となりますね。
次に,これを利用して,200000000の約数のうち10で割り切れないものの個数を求めます。これが答えになります。
2^1,2^2,2^3,2^4,・・・,2^9,5^1,5^2,5^3,5^4,・・・,5^8と1の合計18個
(これも⑵と同様に,9+8+1=18と求められますね。)
よって答えは18個です。

この最後の問題は,解法に気づかなければ正解するのは難しいかもしれません。
ですが,あまり気にしなくてもいいでしょう。入試は満点を取りに行く競争ではありません。
大切なことは,できる問題を確実に正解にして,確実に合格点を取っていくことです。
今回の問題では,そして甲陽の場合はだいたいそうですが,70点を目指していくといいですね。(道)
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2015(H27)入試分析 灘中学校(第2日) 算数

2015.01.25 09:44|入試問題分析(算数)
今回は灘中2日目の問題を扱います。

先の1日目の記事にもありましたが,1日目の算数で精神的ダメージを負っていると,
2日目は非常に力が出しにくい。特に同科目の算数では辛いですね。
おそらく6,70点取れる力がある子が40点位まで押し下げられるという
ケースが結構あったのではないかと思います。
実際の得点情報を見ると,算数の受験者平均がここ5年で最低,
国語・理科の受験者平均がここ5年で最高,
合計点は去年と同じということを考えると,いかに終わった科目のことを(出来が良くても悪くても)
忘れて次の科目に向かって気持ちを切り替えるかが大切かということが分かりますね。

では,2日目の中で最もきつそうな4番を扱ってみましょう。
(単元の得意不得意で2,3,4,5のどれが取りにくいかは微妙に変わりそうですが…)

(問題)H27 灘中学校・2日目算数 大問4番
右の図で,4本の直線ア,イ,ウ,エは平行です。点Aは直線ウの上に,点Cは直線アの上に,点Eは
直線イの上に,点H,I,J,K,Lは全て直線エの上にあります。直線AH,BI,CJ,DK,ELはすべて
直線エと垂直で,CJの長さはAHの長さの2倍です。また,直線AD,BEはどちらも直線CDと垂直です。
2015灘2日目4番
(1)BIの長さはAHの長さの何倍ですか。
(2)DKの長さはAHの長さの何倍ですか。
(3)JLの長さはHJの長さの何倍ですか。


(1)とりあえず,3本の平行線の間隔が1:2:2ということは問題文からわかります。
2015灘2日目4番01
AD:CD=30:20=15:10なので,A,B,Cは一直線上に並び,赤の相似比が2:1になりますね。
(実際の問題の図ではこれが一直線上にないのが意地悪…)
すると,青の相似比も2:1になりますから,Aより上の部分とBより上の部分が(3)と(3/2)になります。
よって,AH=(2),BI=(5)-(3/2)=(7/2)となりますので,(7/2)÷(2)=1.75倍が答えです。

(2)DKの長さが分かればよい,つまり,★の長さが分かればよいですね。
BEとADが平行であることと,★に関係のある,赤と青の三角形の相似に注目しましょう。
2015灘2日目4番02
赤の三角形は35cmの斜辺に対して(1/2)の高さですから,
青の三角形の30㎝の斜辺に対しては(1/2)×30/35=(3/7)となります。
よって,AH=(2),DK=(2)+(3/7)=(17/7)となりますので,(17/7)÷(2)=17/14倍が答えです。

(3)最後はちょっと気付きにくいですが,下の図の赤と青の三角形の相似に注目しましょう。
2015灘2日目4番03
青の三角形は斜辺30㎝に対して短い辺が(3/7)ですので,
赤の三角形は斜辺20㎝に対して短い辺の長さが(3/7)×20/30=(2/7) です。(=ア)
赤の三角形は斜辺20㎝に対して中くらいの長さの辺が(18/7)ですので,
青の三角形は斜辺30㎝に対して中くらいの辺の長さが(18/7)×30/20=(27/7) です。(=イ)
の長さは赤の三角形(斜辺20㎝)の中くらいの長さの辺と等しいですから,(18/7)ですね。

JL=÷2=(18/7)+(1/7)=(19/7),
HJ==(27/7)+(2/7)=(25/7)となりますので,
(19/7)÷(25/7)=19/25が答えです。

この問題に関しては(2)までしっかりと取れれば十分だと思われます。
(3)をちょっと考えて,きつそうなので他の問題に取り組み,時間が余れば戻ってくるということに
なりますが,戻って考える際に発生するタイムロスを少しでも抑えるために,問題を解くのに
使った情報をできるだけしっかりと残しておくということが大切です。

今回であれば(2)の時点で,
斜辺 短辺
30㎝ (3/7)
35㎝ (1/2)
みたいなメモ書きがあれば,気付く可能性も上がります。

また,問題の図を雑に扱わず,解き終わった後で必要な情報に絞っておくことなども必要ですね。

いずれにしても,普段からどのようなことを書き残せばよいか,どのようにすれば気付きやすいかを意識して
問題に取り組むという,より高い意識が必要になります。(池田)
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2015(H27)入試分析 算数 灘中学校(第1日)

2015.01.24 14:12|入試問題分析(算数)
ずいぶん久しぶりのブログ更新となってしまいました。
さて,2015年度入試もほぼ終盤を終え,各学校の合格者も確定してきました。
今回は,2015年度入試分析の第1回目として,灘中の入試分析をします。

今年は,志願者数612名(昨年比-81),受験者数594名(-77),合格者数228(+2),実質倍率は2.61倍(-0.36)となり,ここ5年間で最低で,実質倍率が3倍に近かった昨年と比較して多少合格が取りやすい状況になっていたと考えられます。
ただ,入試問題の方はというと,簡単になるはずもなく,特に算数の1日目の受験者平均は41.9点とここ数年でも最低となりました。問題の難しさがうかがえます(昨年の1日目算数は,受験者平均が57.2点でした)。
ただ,合格最低点は312点と(昨年315点),ほぼ6割に収まっていました。

算数の1日目が思っていたようにできないで頭の中が真っ白になり,それを引きずったまま2日目の突入していまうと,実力があっても合格してくるのは難しい,または算数の1日目の不出来を他教科や2日目のテストで挽回していこうと力み過ぎて,空回りしてしまって失敗する,そんな入試になってしまった人も多いのではないでしょうか。
まさしく,受験会場には魔物が潜んでいるのですね。

さて,それではここから入試問題の解説に入ります。
今回は1日目の11番です。

(問題)H27 灘中学校 算数(第1日) 大問11番
展開図が右の図のような立体の体積は,1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし,高さが4cmである三角すいの体積の□倍です。ただし,四角形の面は平行な2辺の長さが4cm,8cmの台形,六角形の面は正六角形で,三角形の面は直角に等辺三角形です。
nada2015 1-11

今まで習ってきた立体で正六角形の面を持つ立体を思い出してください。
これが1つ目のヒントです。
正六角柱,正六角すいがまず思い浮かびますね。
次に立方体を斜めに切断した際にできる切断面に正六角形が現れることがあります。

2つ目のヒントは,これらの立体を切断してみて,問題の立体ができるかどうか考えること。

今回の立体は正六角柱をもとにそれを切断することで作ることができそうです。
見取り図は次のようになります。
nada2015 1-11-1
さて,この正六角柱の体積は,「1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし,高さが4cmである三角すい」の体積を①とすると,底面積が6倍で高さが同じなので,①×6×1/1÷1/3=⑱となります。
ここで,切り取った立体の1つに注目しましょう。
次の図のように切断すると,青の三角すいも赤の三角すいも体積は①です。
nada2015 1-11-2
残った四角すいは,下の左図の緑色の面で2つに切断すると,下の右図の2つの三角すいに分かれます。
nada2015 1-11-3
赤い面と青い面は同じ面積ですから,どちらの三角すいも体積は①,したがって,切り取ったうちの一つは体積が①の4つの三角すいに分けられるので,体積は④です。これが2つあるので,④×2=⑧
これを全体から引くと,残りの体積は⑱-⑧=⑩より,10倍となります。

分割できそうでしたので分割して解いてみました。

【別解】として次のようなやり方もあります。
正六角形を正三角形6つに分割した一つの面積を〔3〕とすると,
「1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし,高さが4cmである三角すい」の体積・・・〔3〕×4×1/3=〔4〕
正六角柱の体積・・・〔3〕×6×4=〔72〕
切り取る片方の立体は,上の方の青と赤の三角すい(どちらも体積は〔4〕)とその間の立体に分けて,
間の立体を三角柱の斜め切断を利用し,〔3〕×(0+4+4)×1/3=〔8〕と求めると,切り取った立体の体積は
(〔4〕×2+〔8〕)×2=〔32〕
よって,残る立体の体積は,〔72〕-〔32〕=〔40〕
〔40〕÷〔4〕=10(倍)
こちらの方が計算ですっきり答えが導けるのでいいかもしれません。

何度も書きますが,今年度の灘中学校の算数(第1日)はかなり厳しい問題が多く出題されていました。
問題番号で言えば4番(ニュートン算ですが,かなり時間を細かく区切って考えないといけません),6番(循環小数の問題です。一見簡単なようで,かなり手ごわく,手こずればパニックになりそうな問題です),7番(通過算ですが,状況をグラフでまとめないと難しいかも),そしてこの11番です。さらに,最後の影の問題も,単純ですが,細かいところでミスをしてしまう問題です。
合格するためには,難問をいかに攻略するか以上に,できる問題を卒なくきちんと点数にしていく(そして6割を確実に合わせる)ことと,何があっても焦らない強い気持ちが何より重要であることがよくわかる今年の出題でした。(道)





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