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2016(H28)入試分析 算数 西大和学園中学校

2016.01.26 21:09|入試問題分析(算数)
今回は西大和学園の問題を扱います。

今年は男子と女子の問題が統一されました。
合格者最低点は全教科の合計点500点に対し、男子が63%,女子が71%となっています。

各問題を見てみると…
1番は計算+小問群。
(7)の数値設定がイマイチなため,正解率が下がりそうです。
(5)(8)はきちんと書き出して整理する作業ができるかを問われている問題。
それ以外は西大和を受ける子であればしっかりと得点したいところです。
2番は平面図形の小問群。
(1)は軽いので絶対に取らなくてはいけませんが、(2)(3)(4)は苦戦した子が多そうです。
(2)は平行四辺形の下に直角三角形を描くことができれば,
(3)は灘のH11の過去問ですので見たことがあれば,
(4)は直角三角形の頂点を折り返した問題と気づくことができれば,
対処できそうですが,なかなかハードルが高そうです…
3番は立体の切断問題。
例年ならこの辺りからきつくなってくるのですが,今年は素直な問題でしたので,ここの単元を
苦手にしている子でなければかなり正解できるはずです。
4番は道順の問題と規則性を絡めた問題。
この問題も例年のことを考えるとそんなにきつくないんじゃないの?という感想です。

ただ、大問2番の(2)~(4)がきついので、後ろで実力を発揮できなかったという子が結構いそうですね。
このあたりの問題をサッと後回しにできた子がしっかりと実力を点数に発揮できたのではないでしょうか。

では,今回は4番を取り上げたいと思います。
(問題)H28 西大和学園中学校・算数 大問4番
はじめに,太郎君は図1のような東西南北に通る道路を持つ町を歩きます。図1のように,A地点を地点(0,0)と表すことに
します。A地点から東向きに1回進むと地点(1,0)に行き,A地点から北向きに1回進むと地点(0,1)に行きます。
例えば,図のB地点は,地点(6,4)と表され,B地点に最短経路で行くためには,北向きと東向きに合わせて10回
進むこととなります。次の問いに答えなさい。
(1) A地点からB地点に行く最短経路は何通りありますか。
(2) A地点から,CD間とEF間の少なくとも一方を通ってB地点に行く最短経路は何通りありますか。
nishiyamato2016_00.png

 次に,太郎君は図2のような東西南北に通る道路をもつ町を歩きます。
図1と同じように、P地点を地点(0,0)と表すこととし,P地点から東向きに1回進むと地点(1,0)に行き,P地点から北向きに
1回進むと地点(0,1)に行きます。
例えば,図のQ地点は,地点(3,1)と表されます。この道路が東向きと北向きに続いています。なお,図2の道路では,
Q地点などの黒丸「●」が図のように
地点(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9)……
   (3,1),(3,3),(3,5),(3,7),(3,9)……
   (5,1),(5,3),(5,5),(5,7),(5,9)……
   (7,1),(7,3),(7,5),(7,7),(7,9)……
   (9,1),(9,3),(9,5),(9,7),(9,9)……
    ・    ・    ・    ・    ・
    ・    ・    ・    ・    ・
    ・    ・    ・    ・    ・
に続いてついており,この黒丸「●」の地点は通れないものとします。次の問いに答えなさい。
(3) P地点から地点(10,6)に行く最短経路は何通りありますか。
(4) P地点から21回進んだ地点である,(21,0),(20,1),(19,2),(18,3),……,(2,19),(1,20),(0,21),に行く最短経路を
すべて合計すると何通りありますか。

nishiyamato2016_01.png

(1) 10回進むうち,どこに北に進む4回を持ってくるかということですので,10C4210通り です。

(2) 「少なくとも一方を通って」というキーワードに気づきましたか?
(1)で求めた210通りから「CD間とEF間のいずれも通らないもの」を除けばよいですね。
nishiyamato2016_03.png
210-137=73通り が求める答えです。

(3) 北に1回進むと,必ずその次も北に進まなければならない。東に1回進むと,必ずその次も東に進まなければならない。
これに気づいてしまえば,(1)と同難易度の問題にすることができます。
北に10回進むということは「北北」と5回進むこと,東に6回進むということは「東東」と3回進むことと同じですから,
5+3=8回中,どこに「東東」と進む3回を持ってくるかということになりますね。8C3=56通り が答えです。

(4) 交差点に場合の数を書き込んで,規則性を見つけた子が多かったのではないでしょうか。
nishiyamato2016_04.png
1回地点の合計は2通り,2回地点の合計は2通り,
3回地点の合計は4通り,4回地点の合計は4通り,
5回地点の合計は8通り,6回地点の合計は8通り,
7回地点の合計は16通り・・・となっています。奇数回目は1回前の2倍,偶数回目は1回前と同じとなっているのがわかります。
21は11番目の奇数,よって、2^11=2048通り が答え。

ちなみに,なぜこのようになっているのかというと,偶数回目の移動は前回と同じ方向に移動するしかないですが,
奇数回目の移動は必ず北か東かの選択ができるからです。(3)と通じる話ですね。

解説を見てしまえばなんてことない問題ですが,時間に余裕がないと書き込むときや足し算でミスが出そうな問題です。
途中のしんどそうな問題を飛ばして,余裕をもって取り組めば解けそうな問題が最後にあるのが意地悪でした…(^^;
(池)
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2016(H28)入試分析 算数 甲陽学院中学校(2日目)

2016.01.26 14:59|入試問題分析(算数)
甲陽の第2日です。

第1日のときにも書きましたが、算数第2日の受験者平均は100点満点で47.5点。
合格者平均は、2日間の合計で119.0点。
やはり6割を押さえたいですね。

第2日の問題セットは
大問1 数に関する小問2題
大問2 立体図形と図形の移動
大問3 整数の性質
大問4 平面図形と比
大問5 場合の数(立体図形絡み)+立体図形
大問6 時計算(狂った時計の問題)

確実に6割を確保しようと思えば、大問1,大問2(1),大問3,大問5(1)(3),大問6(1)ぐらいは軽々こなしてほしいですし、今回解説する大問4もできれば得点にしていきたいところです。

(問題)H28 甲陽学院中学校 算数(第2日) 大問4番
図のように直角三角形AOBの辺OA上に点P,辺OB上に点Qがあります。OA=56cm,OB=33cm,OP=8cm,OQ=6cmです。さらに,辺AB上に点Cをとり,OCとPQの交点をRとすると,PR=3cm,RQ=7cmとなりました。
(1) ACとCBの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2) CとP,CとQをそれぞれ結んでできる三角形ACPと三角形BCQの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

kouyou 2016 2-1
(1) AC:CB=三角形ACO:三角形BCOなので、この2つの面積の比を考えてみましょう。
まず図に分かっている数値を記入します。
そしてCとP,CとQを結び、四角形CPOQに注目します。
kouyou 2016 2-2

PR:RQ=3:7なので、対角線で2つに分かれた三角形CPOと三角形CQOの面積の比は3:7となりす。
三角形CPO=[3],三角形CQO=[7]とします。
AP=48cm,PO=8cmなので、AP:PO=6:1より、三角形ACP=[3]×6/1=[18]
OQ=6cm,QB=27cmなので、OQ:QB=2:9より、三角形BCQ=[7]×9/2=[31.5]
となります。
kouyou 2016 2-3


三角形ACO:三角形BCO=([3]+[18]):([7]+[31.5])=21:38.5=6:11
ですからAC:CB=6:11です。

(2) (1)より三角形ACP=[18],三角形BCQ=[31.5]なので、
三角形ACP:三角形BCQ=18:31.5=4:7ですね。

今回、(2)で求められている直線を、補助線として(1)でも利用しましたが、設問の順から、期待されている解き方は別のところにあるようです。
以下のような別解も紹介しておきましょう。

〔(1)の別解〕
図のようにAとR、BとRを結び、またPR:RQ=3:7なので三角形PORと三角形QORの面積の比も3:7ですから、
三角形POR=[6]、三角形QOR=[14]とします。
kouyou 2016 2-4
AP=56-8=48cmなのでAP:PO=48:8=6:1より、三角形APR=[6]×6/1=[36]
BQ=33-6=27cmなのでBQ:QO=27:6=9:2より、三角形BRQ=[14]×9/2=[63]
kouyou 2016 2-5
よって、三角形AOR=[42]、三角形BOR=[77]なのでAC:BC=42:77=6:11となります。

今回は、2通りの方法で解法を説明しました。
この問題のように、(1)(2)が同時に求められる問題や、解き方によっては(2)が先に求められる問題が出題される場合もあります。
出題者の意図では最初から解くことを要求されているような場合でも、着眼点を変えればもっと簡単に、後ろの方から解ける場合もあります。冷静に、問題をすみからすみまでしっかり読んで、利用できそうなことは最大限利用する、そんな気持ちで臨んでほしいと思います。(道)

テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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