雙葉中学校 算数 問題解説＆入試分析★2017年(H29年)

今回は御三家の一つ、雙葉中学を取り上げます。

受験者数352人、合格数は119人で倍率は2.96となります。


各問題を見ていくと

大問1 (1)計算問題です、早く正確にあわせましょう。
(2)5万分の1と言うことは、面積は50000×50000＝2500000000倍なことに注意してください。まず長さを5万倍して単位をkmにすると解きやすいですね。

大問2 (1)円同士が接しているときは，中心同士を結ぶというのが定石ですね。
(2) (1)の作図をもとにドーナツ型の5/6((1)の定石を守っていれば，正三角形ができるはずです)と円板1個分で計算しましょう。

大問3(1)まず仕事全体を㉔とおくと，A＋Bで㉔÷3＝⑧/時間の能力，B＋Cで㉔÷4＝⑥/時間の能力となります。AさんはCさん3人分の仕事をするので、B＋C×3＝⑧/時間ですから，B＋C＝⑥/時間と比べると，C＝(⑧－⑥)÷2＝①/時間の能力とわかります。あとは芋づる式にA＝③/時間，B＝⑤/時間とわかりますので，3人ならば㉔÷(①＋③＋⑤)＝8/3時間かかります。
(2)3時間10分の間にBさんとCさんの2人で(⑤＋①)×19/6＝⑲の仕事が終わりますので，残りの㉔－⑲＝⑤をAがしたということです。Aは⑤÷③＝5/3時間働けばよいということですね。
基本的な仕事算の問題なので、素早く確実にあわせたいです。

大問4 今回はこの問題を扱います。

大問5 (1)グラフから
P上り：45分で42kmで56km/h
P下り：40分で42kmで63km/h
Q上り：150分で42kmで16.8km/h
と読み取れます。
Pの静水での速さは(56＋63)÷2＝59.5km/h
川の速さは59.5-56＝3.5km/h
Qの静水の速さは16.8+3.5＝20.3km/hとわかります。
(2)距離が同じなので速さと時間は逆比を利用します。
(Q上りの速さ)：(川の速さ)＝16.8：3.5＝24：5より(Q上りの時間)：(流された時間)＝5：24なので29÷(24/(5+24))＝24分です。
(3)グラフより(BC間P下りの時間)＝40分、(BC間P上りの時間)＝(AB間Q上りの時間)＝45分です。よって、
P下りの速さ：Q上りの速さ＝63：16.8＝15：4ですから、(AB間P下りの時間)＝45×(4/15)＝12分、
P下りの速さ：P上りの速さ＝63：56＝9：8ですから、(AB間P上りの時間)＝12×(9/8)＝13.5分と求まります。
B地点にとまってた時間の合計は
(総時間)－(AB間P下り)－(AB間P上り)－(BC間P下り)×2－(BC間P上り)×2－(Cにとまってた時間)＝250－12－13.5－40×2－45×2－(4＋29)＝21.5分とわかります。
速さと時間の逆比などにしっかりと慣れておき，素早く立式できるようにしておきたいところです。

大問1 大問2 大問3 大問4(1) 大問5(1)(2)までとることが出来たら合格に近づきます。

(問題)H29年 雙葉中学校・算数　大問4
1，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，21，31……のように、数字の1を1個以上使う整数を小さい順に並べます。
(1)1000は何番目の整数ですか。
(2)2017番目の整数を答えましょう。
(3)2017番目の整数までに、数字の1を何個使いますか。例えば、5番目の整数までには6個使います。

[解説]
(1)1から1000の整数から1が入っていない整数を取り除くことを考えます。
1が入っていない整数は0を含めると
千の位は0，2，3，4，5，6，7，8，9の9通り
十の位も9通り
一の位も9通り
だから0を取り除いて9×9×9－1＝728個あります。
1000－728＝272で272番目となります。

(2)
順を追って数えていきましょう。
まず、0～999では，1000－9×9×9＝271個
1□□□は全て該当するので、ここまで1000＋271＝1271個
2□□□も271個あるので、ここまで1271＋271＝1542個
3□□□も271個あるので、ここまで1542＋271＝1813個
あと2017-1813＝204個なので，4□□□の中で204番目を求めればよいですね。
40□□は100－9×9＝19個あるので、あと204－19＝185個
41□□は全て該当するので、あと185－100＝85個
42□□～45□□に19×4＝76個あるので、あと85－76＝9個
後は順に調べて、4601，4610，4611，4612，4613，4614，4615，4616，4617の4617が答えとなります。

(3) (2)より2017番目の整数は4617です。
1○○○となる整数は1⓪⓪⓪から1⑨⑨⑨までの999－0＋1＝1000個
○1○○となる整数は⓪1⓪⓪から④1⑨⑨までの499－0＋1＝500個
○○1○となる整数は⓪⓪1⓪から④⑥1⑦までの467－0＋1＝468個
○○○1となる整数は⓪⓪⓪1から④⑥①1までの461－0＋1＝462個なので
1000＋500＋468＋462＝2430個となります。

雙葉は処理が少し複雑な問題もありますが、闇雲にやるのではなくて整理の仕方を学んで練習することで早く正確に解けるようになります。
がんばってください！(畠田)

女子学院中学校 算数 問題 解説＆入試分析★2017年(H29年)

今回は女子学院をとりあげます。

受験者数が652名、合格者は278名
で倍率は2.35倍になります。

合格最低点は非公表ですが低くても7割5分から8割を目標にしたいところです。

各問題を見ていくと

○大問1 (1)計算問題です、しっかりあわせましょう。
(2)図形問題です。円問題の基本どおり，周上の点を中心と結びましょう。
(3)正六角形を小三角形24個に分けて、㋐は5個分、㋑は中の正三角形が9個分なのでその1/4など素早く求めましょう。
(4)㋐、㋑、㋒は高さが等しいので(㋐の上):(㋑の上＋下):(㋒の上＋下)が面積の比になることから要領よく求めましょう。
(5)

㋐は正五角形は内角の大きさは108°で図の緑の二等辺三角形を利用などして角度を求めます。㋑は正三角形を利用して求めます。㋒は図の赤線で線対称になっているので角を二等分することなどを利用します。正三角形が右上の辺にくっついているので気づきにくいかもしれませんね。
(6)話を整理すると(B4個分)＋270×4＋300円おこづかいを持っているので、270×4＋300円でBを2個買うこと出来るが、3個は買えないことからB1個の値段の範囲を求めます。

大問2 (1)(AとBの速さの差)×(時間)＝(列車Bの長さ)の関係で求めます。
(2)今度は(AとBの速さの和)×(時間)＝(列車Aの長さ)の関係で求めます。
基本的な通過算なので素早く、完答したいところです。

大問3 22と59の目もりが重なったので差は59-22=37です。左に移動すると58-23=35で差は2小さくなります。差が13になるには(37-13)÷2=12だけ左に移動すればよいことがわかり、22+12=34と59-12=47と求まります。
重なる目もりの和が81ということを利用して和差算で解いてもよいですね。

大問4 (1)長針と短針が示す時刻に、(◎の数字)×6だけ時間を足します。
(2)長針は1分で6°、短針は1分で360°÷(60×6)=1°進みます。午後1時には短針と長針のなす角度が60°より(60°＋180°)÷(6°－1°)=48分となります。
時計算をしっかり練習しておいて、満点をとりましょう。

大問5 (1)仕入れを[100]とおくと、定価は[125]、売価は[110]、利益は[10]。
利益は[10]＝38円より、仕入れ値は[100]＝380円です。
(2)定価で売ると利益は[25]＝95円です。500個すべてを12%引きで売ると利益は38×500＝19000円で、31084－19000＝12084円少なくなります。1個12%引きから定価にとりかえると、95－38＝57円高くなるので12084÷57＝212個とわかります。
基本的な商売算、つるかめ算なのでよく練習しておいて、素早く正確に答えたいです。

大問6 今回はこの問題を扱います。

大問1で1個，大問4で1個程度の失点で6番に持ち込みたいところです。

(問題)H29年　女子学院中学 大問6
1辺が20cmの立方体のブロック8個が、直方体の水そうの中にあります。すべてのブロックの底面は、水そうの底か、または他のブロックの面とぴったりくっついています。この水そうに、水を一定の割合で入れます。
下のグラフは、「水を入れ始めてからの時間(分)」と「水面の高さ(cm)」の関係を表したものです。

(1)水そうの中の8個のブロックの様子を表した図として、ふさわしいものを下から選ぶと[  ]です。

(2)水そうの底面積は[    ]㎠で、1分間に入れる水の量は[    ]㎤です。
(3)グラフのⒶにあてはまる数は、[    ]です。

[解説]
(1)グラフの水面の高さに注目してみます。
20cmと60cmと80cmでグラフが折れ曲がっているので、同じ高さにあるブロックの個数が変化します。
まず高さが80cmで積まれている(あ),(う),(え)に絞れます。
このうち、20cmでブロックの個数が変化しているのは(あ)と(え)。
さらに、60cmでブロックの個数が変化しているのは(え)だけとわかります。

(2)水の入れる割合は一定で水面が20cmあがるのは0～3分では3分、3～13分では10÷2＝5分かかることから次の図の部分の面積の比は3：5より③㎠と⑤㎠とおけます。


この差⑤－③＝②が立方体1個分の底面積になるので②＝20×20より①＝200㎠です。
よって水そうの底面積は(20×20×3)＋③＝1800㎠。
1分間に入れる水の量は最初3分で20cmあがったので、③×20÷3＝4000㎤となります。

(3)

図の赤い部分の体積は1800×80－20×20×20×8＝80000㎠なので80000÷4000＝20分とわかります。


女子学院はところどころに受験生が苦手にしそうな問題がありますが、何よりも標準的な問題を素早く正確に解くことが求められます。まずは定番問題をたくさん解いて、使いこなせる武器を増やすことで合格に近づきましょう。がんばってください！(畠田)

桜蔭中学校算数 問題解説＆入試分析★2017年(H29年)

今回は桜蔭中学を取り上げます。

受験者数501人、合格者数269人、補欠者数18人で倍率は1.86です。
平均点などは非公表ですが、算数は6割5分程度が目安です。

各大問を見ていきますと

大問1(1)計算問題です。きっちりあわせましょう。
(2)① 千の位から決めると10通り。その数字をAとする。百、十、一の位に使うA以外の数学の選び方は9通り。その数字をBとする。A(AかB)(AかB)(AかB)は2×2×2＝8通り。そのうち全てAなのは1通りなので、10×9×(8－1)＝630通りとなります。
② 0□□□となるのは，①と同様に考え，0(0かB)(0かB)(0かB)から0000を除いた9×(8－1)＝63通り，1□□□も同様に63通りですから，2000，2002，2020の3個を足して63×2＋3＝129番目とわかります。
③ ②同様，9□□□となるのは63通り，89(8か9)(8か9)となるのは4通り，88□□となるのは88(8かB)(8かB)から8888を除いた9×(2×2－1)＝27通り。ここまでで63＋4＋27＝94通りですから，8800から2つだけ大きくすればよいですね。8800→8808→8811が答えです。類題は見かけますが、大学受験の数学でも出されるような問題であり難易度は高めです。
大問2 (1)(16＋20)÷(2+2)＝9秒。必ずあわせましょう。
(2)Pは長方形の周りを、Qは三角形の周りをぐるぐる回っていて辺GDが共有されています。PがDとGに到達する時刻、QがDとGに到達する時刻をそれぞれ計算して整理して確実に求めましょう。

大問3 (1)①Bのうち，水に触れる底面は12×12－3×3＝135㎠なので135×1/27＝5㎤/秒となります。②189秒間に入った水5×3×189＝2835㎤のうち，Aに3×3×15＝135㎤，Bに135×9＝1215㎤，Cに残りの2835－135－1215＝1485㎤が入ります。
Cのうち，水に触れる底面は21×21－12×12＝297㎠ですから，1485÷297＝5cmとなります。
(2)全体の容積2835㎤を120秒で割って2835÷120＝189/8 ㎤/秒で水が増えるので、1つの蛇口から出る水の量は189/8÷3＝63/8㎤/秒とわかります。難しくないので丁寧に計算して正解したいところです。

大問4 今回はこれを解説します。

大問5 (1)全体から三角すいを取り除きます。
(2)立方体アも一緒に切断して考えます。アの下面に現れる切り口を考えると，3cm3cmの直角二等辺三角形を底面とする三角すいが切り落とされることがわかるので，それを(1)から取り除けばOKです。
(3)同じようにイとウを一緒に切断して考えてみます。イの上面、イの下面(＝ウの上面)、ウの下面に現れる切り口を考えると、斜線のついた直方体のちょうど半分が切り取られますので，それを(1)から取り除きます。
段ごとの図に切り口を書き込む練習がしっかりとできていれば得点源になりそうですね。

大問1の(1)、大問2、3、5を出来る限り完答して、大問1(2)と大問4がどこまでできるかの勝負です。

(問題)平成29年　桜蔭中学校・算数　大問4

図のような立体1，2，3がどれも1個以上あります。立体1は円すい、立体2は円柱、立体3は底面の半径が4cmの円柱から底面の半径が2cmの円柱をくりぬいてできた立体です。
立体1の底面(下の面)は赤、立体2の底面(上下の2つの面)は青、立体3の底面(上下の2つの面)は黄色にぬられていて、どの立体もその他の面は全て白くぬられています。
このとき次の問いに答えなさい。

(1)立体1，2，3の1個ずつについて、白くぬられている部分の面積と、赤，青，黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ求めなさい。
(2)全ての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、青くぬられている部分の面積の合計と、黄色くぬられている部分の面積の合計がどれも同じとき、全ての立体の白くぬられている部分の面積の合計は最も少なくて何㎠ですか。
(3)全ての立体の白くぬられている部分の面積の合計が5652㎠であるとき、立体1，2，3はそれぞれ何個ずつありますか。考えられる個数の組を全て答えなさい。ただし、立体1，2，3はどれも異なる個数あるとします。解答らんは全部使うとは限りません。

[解説]
(1)立体1
白：25×6×π＝150×π＝471㎠
赤：6×6×π＝36×π＝113.04㎠
立体2
白：2×3×π×20＝120×π＝376.8㎠
青：3×3×π×2＝18×π＝56.52㎠
立体3
白：(2×4×π＋2×2×π)×15＝180×π＝565.2㎠
黄色：(4×4－2×2)×π×2＝24×π＝75.36㎠

(2)(赤の面積)：(青の面積)：(黄色の面積)＝36×π：18×π：24×π＝6：3：4
赤、青、黄色の部分の面積の合計が同じことから、個数の比は逆比となり
(立体1の個数)：(立体2の個数):(立体3の個数)＝2：4：3
なので白くぬられている部分の面積の合計が最も少なくなるのは立体1が2個、立体2が4個、立体3が3個の
150×π×2＋120×π×4＋180×π×3＝1320×π＝4144.8㎠
です。

(3)5652＝1800×πなので､
150×π×(立体1)＋120×π×(立体2)＋180×π×(立体3)＝1800×π
全体を30×πで割ると、
5×(立体1)＋4×(立体2)＋6×(立体3)＝60
となります。この式を満たすような個数の組み合わせを考えましょう。

まず(立体2)×4と(立体3)×6と60は偶数なので(立体1)×5も偶数です。
だから立体1の個数は偶数になります。

★立体1が10個の時
同じように2で割って
(立体2)×2＋(立体3)×3＝5
この組み合わせは(立体2,立体3)＝(1，1)

★立体1が8個の時
(立体2)×2＋(立体3)×3＝10
(立体2，立体3)＝(2，2)

★立体1が6個の時
(立体2)×2＋(立体3)×3＝15
(立体2，立体3)＝(6，1)，(3，3)

★立体1が4個の時
(立体2)×2＋(立体3)×3＝20
(立体2，立体3)＝(7，2)，(4，4)，(1，6)

★立体1が2個の時
(立体2)×2＋(立体3)×3＝25
(立体2，立体3)＝(11，1)，(8，3)，(5，5)，(2，7)

このうち、どれも異なる個数の組み合わせは
(立体1,立体2,立体3)＝(4，7，2)，(4，1，6)，(2，11，1)，(2，8，3)


桜蔭では図形問題を場合の数や比などと組み合わせた問題がよく出ます。しかし典型的な解法の組み合わせです。典型的な問題の練習することと、過去問で合成問題を解いて練習を積むことで合格に近づきます。頑張ってください！(畠田)

武蔵中学校 算数 問題解説＆入試分析★2017年(H29年)

今回は武蔵中学をとりあげたいと思います。

受験者数577 合格者数187で実質倍率3.1

教科別の平均点は(満点 合格者平均点 受験者平均点)の順に
国語(100 68.4 61.1)
算数(100 54.9 40.4)
社会(60 34.1 29.8)
理科(60 38.5 34.2)
合計(320 196.0 165.5)
合格最低点180/320

今年は算数の合格者平均点が例年より低めです。


各大問を見ていくと

大問1 ○比を利用する問題です。Bのやぎを⑮匹とおくと、Aは⑥＋10匹、Cは⑳－17匹とあらわせます。Bにいるやぎが一番多いので「⑮＜⑥＋10」と「⑮＞⑳－17」の両方を満たすような①を探しましょう。
計算も簡単なのでしっかりあわせてほしいですね。

大問2 今回はこの問題を扱います。

大問3 (1)(AとBの速さの和)×5分＝1800mで求まりますね。
(2) (1)のついでにB、Cの速さも求めておきましょう。その上で，5分後から「AがBに追い抜かれる時間」と「AがCを追い抜く時間」を比較します。
(3)　(2)と同様に，Aの向き変更の位置と方向を順に確認していきましょう。地道に作業をしていくだけの問題ですが，手間を考えると後回しでもよさそうです。

大問4 (1)36×37×38×39×40で36が3で2回、39が3で1回割り切れるので3回です。
(2)2枚の差は1以上になるので，3つ以上の連続する整数の積になります。3つ連続すればどれかが3の倍数なので1回は3で割り切れますね。武蔵では大問4に数学的な理由を求める問題がよくだされます。
(3)50は数字が大きい方のカードになるので
差が1は49×50×51で1点
差が2は48×49×50×51×52で2点
…
と書き足していって，7点となる場合を見つけましょう
(4)11が大きい方のカードの場合と11が小さい方のカードの場合の2つのパターンがあります。
11が大きい方のカードの場合は、(3)と同じように書き足していくと調べられます。
11が小さい方のカードの場合，23個の連続する整数の積となります。3の倍数は7個か8個。9の倍数は2個か3個ですから，9点にするためには「3の倍数は7個」，そのうち「9の倍数は2個」，更に「27の倍数は含まない」
この3つの条件を満たさなければいけません。残りのカードは11より大きい3の倍数のうち，27と54を23個の数の中に含まずにすむ，12、15、39、42です。

大問1完答、大問2(1)、大問3(1)(2)、大問4(1)(2)(3)までとることができたら十分だと思います。


それでは大問2です。

(問題)H29年 武蔵中学校 算数 大問2
＜図1＞において、2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、AE＝6cm、AF＝10cmです。次の問に答えさない。(式や考え方も書きなさい)


(1)＜図1＞に正方形PQRDをかき加えてでてきたのが＜図2＞です。SQは何cmですか。


(2)＜図1＞に、正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLをかき加えてできたのが＜図3＞です。図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする八角形の面積は何㎠ですか。



[解説]
(1)

Qから辺AB,辺BCに垂線QN,AMを，Sから辺ABに垂線SOをおろします。
まず，QN＝BC－QR，QM＝AB－PQなので四角形QNBMは正方形になります。
また，三角形FBGと三角形EAFは合同であることとQM＝QN=SOより四角形PAOSも四角形QNBMと合同な正方形になります。
後は青い正方形の1辺の長さがわかればSQが求まります。


三角形FBGで考えると、三角形FNQと三角形FBGは相似でFN：NQ＝FB：BG＝6：10＝3:5なので
FN＝③、NQ＝⑤とおくとFB＝FN＋NB＝FN＋NQ＝③＋⑤＝⑧
FB＝6cmなので
⑧＝6より⑤=15/4となります。
よくある問題ですね。
青い正方形の辺の長さが15/4cmとわかりました。

これでSQ＝PM－PS－QM＝(10+6)-15/4-15/4＝17/2＝8と1/2cm
とわかります。

(2)

正方形IJKLは正方形EFGHを赤い点線で折り返したものになります。


求め方はいくつか考えられますが，今回は八角形を赤い正方形アウオキと緑の三角形アイウ4つ分と考えます。
赤い正方形は辺の長さはSQと同じ長さ17/2cmです。次は緑の三角形。
JF＝AF－AJ＝10－6＝4cm，JF：アウ＝4：(17/2)＝8：17より
底辺が17/2cmに対して高さは15/4×17÷(8+17)＝51/20cm

だから八角形の面積は
17/2×17/2＋(17/2×51/20÷2)×4＝578/5＝115と3/5㎠となります。


灘中学の平成25年第1日目大問9にも同じような問題が出題されました。
応用的な平面図形の問題は、補助線を引くことで典型的な解き方に当てはめてることはできないかを意識すると得点につながっていきます。
頑張ってください！(畠田)

駒場東邦中学校 算数 問題 解説★2017年(H29年)

今回は駒場東邦中学校をとりあげます。

受験者数 514名、合格者数 272名で実質倍率1.89です。
教科ごとの点数は(平均点 合格者平均点 配点)の順に
国語(63.7 70.3 120)
社会(49.1 53.0 80)
算数(88.4 98.6 120)
理科(47.9 51.4 80)
合計(249.1 273.2 400)

合格最低点は249点

算数が例年よりかなり高い平均点になりましたので、点を落とせない試験だったようです。

各問題を見ていくと

大問1 (1)計算問題です、しっかり合わせてください。
(2)大きい箱と小さい箱の玉の和が一定に注目して比で解く典型問題です。
(3)ポリキューブの4つの場合(テトラキューブ)です。鏡像を区別すると8通り、同一視すると7通りですが、問題文に鏡像を区別するのかしないのか書いていないのでどのように採点されてるのか気になりますね。
(4)実生活において算数の考え方が活かされて感動した出来事を説明する問題が出ました。時間も限られているので、感動をしたことを説明しようとしたのであれば上手くは書けなくていいと思います。

大問2 (1)①台形の面積から直角三角形2つの面積を除きます。②△AEDを2つあわせて正方形の面積で1辺の長さを求める問題です。よくある誘導ですね。
(注 3：4：5の直角三角形の辺比を覚えている人は（1）②から解けてしまいますね)
(2)ACの長さが(1)より5cmとわかります。直線アにBCが接している状態からCDが接するまで転がしたときに45°回転させることから扇形が45°になり、アとイに囲まれた部分は3つの扇形と台形ABCDの和になります。①は何となく正解したとしても、②は扇形でない部分をどう面積を計算したらよいか気づくにくいかもしれません。

大問3 今回はこの問題を扱います。

大問4 (1)正方形ABCDの各頂点から，直角三角形APQと合同な図形を切り取ればよいですね。
(2)①三角形PQRの各辺の三等分点が頂点になるので正六角形です。
②三角形PQRに三角方眼を書いて9等分すれば、三角形PQRは小三角形9個分、正六角形は小三角形6個分で9:6=3:2とわかります。
(3)立方体の各頂点に対する8つの三角錐を考えると、隣同士の三角錐の共通部分は四面体で12個あります。(立方体)-8×(三角錐)+12×(四面体)で求めることができます。
わかりやすい形なので、時間がなくても(1)(2)まではあわせたいです。

大問1完答、大問2(2)①まで、大問3(1)(2)、大問4(1),(2)をあわせて受験者平均越え，あと大問2(２)②か大問4(3)をあわせたら合格者平均越えですね。

(問題)H29年　駒場東邦中学 大問3
次のように、分子が1以上434以下の整数で、分子が435である分数を小さい順に並べたものを考えます。
1/435,2/435,3/435,…,434/435
(1)それ以上約分できない分数のことを既約分数といいます。次の分数を既約分数で表しなさい。
①285/435 ②377/435
(2)既約分数は全部でいくつあるか答えなさい。
(3)既約分数ではない分数が最も長く続く並びをすべて求めなさい。ただし、約分はしないで,「□/435から□/435」のように答えなさい。

[解説]
(1)①285/435=19/29 ②377/435=13/15

(2)435を素因数分解すると435=3×5×29なので
1以上434以下の整数から、3または5または29の倍数を取り除きます。
435は取り除かれるので1以上435以下で考えると少し便利です。

(3または5または29の倍数の個数)=(3の倍数の個数)+(5の倍数の個数)+(29の倍数の個数)-(3×5=15の倍数の個数)-(5×29=145の倍数の個数)-(29×3=87の倍数の個数)+(3×5×29=435の倍数の個数)
=435÷3+435÷5+435÷29-435÷15-435÷145-435÷87+435÷435
=145+87+15-29-3-5+1
=211
なので435-211=224個となります。

(注 1以上435以下の整数で435と互いに素な整数の個数は、オイラーのφ関数の公式を使って(3-1)×(5-1)×(29-1)=224と求めることもできます。)

(3)1以上434以下の整数のうち3または5または29の倍数が最も長く続く並びを求めればよいです。
まず3または5の倍数は表にしてみると

周期15で繰り返すことになります。
この周期には29の倍数は1つしか入りません。
ということは15で割って余り4、または余り11のところに29の倍数が埋まった場合が最も長く続く並びになります。

29×1÷15は余り14
29×2÷15は余り13
29×3÷15は余り12
29×4÷15は余り11
…
29×11÷15は余り4
…
29×14÷15は余り1

より29×4=116のところは114から117、29×11=319のところは318から321に対応します。

なので114/435から117/435,318/435から321/435となります。


(3)は正解まで持っていけなくてもよいですが，3，5，29の3つの要素があるときに，まずは小さいもの2つを組み合わせてから残りの29を考慮に入れる(あるいは逆に大きいもの2つを組み合わせてから残りの3を考慮に入れる)と手間が少なくて済むことが多いです。この辺りは覚えておくとよいかも知れませんね。がんばってください！(畠田)

開成中学校 算数 問題解説＆入試分析★2017年(H29年)

今回は開成を扱いたいと思います

受験者数1142人,合格者395人,倍率2.9

合格最低点195点
各教科の平均点は
(合格者平均 全体平均 満点)の順に
国語(48.2 42.4 85)
算数(54.8 40.1 85)
理科(61.5 56.8 70)
社会(48.3 42.2 70)

算数は昨年と同様に平均点が例年より低くなりました。
今年の問題は内容を読み取るのが難しいものがあり、他の問題を解く時間を圧迫したようです。

各問題を見てみますと

○大問1 (1)は計算問題なので間違わないように。(2)は2の倍数の方は2,3,4の最小公倍数12周期で考える、5の倍数の方はベン図で解くと計算がしやすいので両方使えるようにしておきましょう。
すばやく解いて完答を狙ってください。

○大問2 今回はこの問題を扱います

○大問3 (1)BEの長さもxcmなのでx：1＝9：xとなりますから，x×x＝9→x＝3となります。(2)は(1)と同じ形ですね。横軸にわかる時間をどんどん書き込んで、同じように解きましょう。
さっと解いて満点をとりたいところです。

○大問4 (1)「(あ)の長さも(う)の長さも面DEFを底面としたときの水面の高さと同じなので体積に比例します。1＋5/4＝9/4倍です。
(2)図2と図3で体積比が4：9、ADの長さは共通なので台形の面積も4：9になります。二つの台形の高さも(1)より4：9なので、(上底+下底)の値が等しい。つまり3＋(い)＝4＋(え)ですから，(え)が(い)よりも1cm短くなります。
ややこしそうに見えますが、整理すると簡単です。
(3)(2)で求めた(い)－(え)＝1と，まだ使っていない3：4：5の三角形の相似を使ってみましょう。
(あ)＝④，(う)＝⑨とすると，(い)＝(AB－④)×3/4＝3－③，(え)＝(FE－⑨)×4/3＝4－⑫，この差が1ですから(3－③)－(4－⑫)＝1より⑨＝2，④＝8/9cmとわかります。
最後の式変形は開成を受ける子であればできるようにしておきたいですね。
(4)(あ)＝8/9,(い)＝7/3と長さがわかったので図1から水の体積は3×4÷2×8/9＝16/3,これを図2の台形の面積(7/3＋3)×8/9÷2＝64/27で割ればBEが出ます。16/3÷64/27＝9/4
(5)図1から水の体積を出すと，3×4÷2×高さ＝6×高さとなりますが，面ACFDを下にした水の体積は(5＋上底)×高さ÷2×9/4となります。これらは等しいですから，(5＋上底)×9/8＝6，上底＝1/3とわかります。あとは相似の利用。3cm，4cm，5cmの直角三角形は5cmを底辺とすると高さは12/5cmなので，12/5－12/5×(1/3÷5)＝56/25cmですね。
共通の長さの部分に注目して，いかにシンプルに整理できるかが勝負です。

大問1と大問3を完答して，大問2と大問4でどれくらい取れるかの勝負です。大問4の後半が難しいので、大問2の出来が大きく合否に影響したように思います。


それでは大問2です。
(問題)平成29年 開成中学校 算数 大問2
右の図1は、正方形で分割された長方形です。ただし、正方形の中の数はその正方形の1辺の長さ(単位はcm)を表しています。この分割された長方形から、以下のような手順にしたがって、点を矢印つきの線(以下では、この線を「矢印」ということにします)で結んだ図形(図4)を作ります。最後にできたこの図形(図4)を「長方形の分割を表す経路」ということにします。

【「長方形の分割を表す経路」を作る手順】
(i)図1のそれぞれの縦線の真ん中に点をとり、図2のように左にある点から順にA,B,C,…と名前をつけます。
(ii)各正方形について、左の辺を含む縦線の真ん中の点から右の辺を含む縦線の真ん中の点へ向かう矢印をかき、その近くにその正方形の中の数を移します。(図3)
(iii)もとの長方形、正方形の辺の線をすべて消します。(図4)

矢印の近くに記入した数を「矢印に対応する数」ということにします。いずれの問いも、解答らんに答えのみを記入しなさい。

(1)矢印に対応する数の間にはいくつかの法則があります。その1つは、1つの点に注目したとき、その点に入ってくる矢印に対応する数の和と、その点から出ていく矢印に対応する数の和は必ず等しくなることです。例えば図4で、点Cに入ってくる矢印B→C、A→Cに対応する数の和3＋16と、点Cから出ていく矢印C→D、C→Eに対応する数の和7＋12はともに19になります。この理由を表した文を、次の(い)、(ろ)の中から1つ選び、その記号を答えなさい。

(い)1つの縦線と辺が重なっているすべての正方形について、その縦線の左側にある正方形の中の数の合計と右側にある正方形の中の数の合計が等しいから。
(ろ)1つの横線と辺が重なっているすべての正方形について、その横線の上側にある正方形の中の数の合計と下側にある正方形の中の数の合計が等しいから。

図1とは別の、正方形で分割された長方形を考えます。同じ手順にしたがってその長方形の分割を表す経路を作ると、図5のようになりました。この図について、以下の問いに答えなさい。

(2)空らん(ア)～(カ)はそれぞれ矢印に対応する数を表しています。これらの空らんに当てはまる数を答えなさい。

(3)図5におけるもとの長方形の縦、横の長さを答えなさい。

(4)解答らんの長方形は(3)で縦、横の長さを求めたもとの長方形を表しています。この長方形に図5で表された正方形による分割をかきこみ、それぞれの正方形の中にその1辺の長さを表す数を書きなさい。分割の様子がわかれば、辺の長さは多少不正確でも定規を使っていなくても構いません。



[解説]
(1)
例えば図3の点Cの場合を考えると

この赤の縦線と辺を共有する正方形の数字が書かれることになります。
左の青の正方形は3と16、右の黄色の正方形は7と12で赤の縦線が共通よりこれらの和は19で等しくなるはずです。
よって(い)が正解です

(2) (1)で「いくつかの法則がある」と書いていますので，他の法則も考えてみましょう。
このような分割作業をするときは縦だけでなく横も考慮しないといけません。
縦については(1)より『点に入ってくる数の和と、出ていく数の和が等しい』(以下，法則(a)とします)ということがわかっています。

次は横についてですが、矢印の数は右に何cm進んだかを表しています。
例えば点Aから点Dに進んだならば

赤の経路 13＋10＝23
青の経路 13＋3＋7＝23
黄色の経路 16＋7＝23
とどの経路をとっても、数の和は同じになります。
このことから『スタートとゴールの2点が決まれば、どの矢印に沿って進む経路を選んでも数の和が等しい』(以下，法則(b)とします)ということがわかります。

この横に関する法則を法則(b)とします。

これらを使って解きます。


①点Aと点Cに法則(b)を使って
33＝(ア)＋5より(ア)＝28
②点Bに法則(a)を使って
(ア)＝5＋7＋(ウ)より(ウ)＝16
③点Bと点Dに法則(b)を使って
5＋(イ)＝7より(イ)＝2
④点Dに法則(a)を使って
7＋(イ)＝(エ)より(エ)＝9
⑤点Eに法則(a)を使って
(エ)＋(ウ)＝(カ)より(カ)＝25
⑥点Cに法則(a)を使って
33＋5＝(イ)＋(オ)より(オ)＝36

(3)縦の長さは33＋(ア)＝61cm
横の長さは33＋(オ)＝69cm
ですね。

(4)
まずは周囲から書いていくとわかりやすいです。

A→Cの33を左上、C→Fの36を右上でくっつけます。
A→Bの28を左下、B→Eの16を真ん中下、E→Fの25を右下とくっつけて書きます。


残りの空間を7，5，2，9の正方形で埋めればいいですね。
33と28の違いが5，16と25の違いが9，16と9の違いが7，5と7の違いが2。順番はどうでもいいですが，こんな感じで埋まります。

難しいというわけではないですが、あまり類題はやったことないかもしれません。
開成の過去に出題された問題はこのようなものも多く、落ち着いて問題を読み取り、与えられてるヒントを使って考えることが出来るかが合否に大きく影響します。
きちんと解いて慣れておくことで，初見の問題でも焦らずに取り組める心を鍛えましょう。最後は経験の積み重ねが合格に結びつきます。頑張りましょう！(畠田)

麻布中学校 算数 問題解説＆入試分析★2017年(H29年)

今回は麻布中学をとりあげたいと思います。

出願者数967人
合格者数382人
倍率2.53
合格最低点106/200

配点は国語60点算数60点理科40点社会40点です。

各問題を見ていくと

○大問1 計算問題なのでしっかりあわせてください。

○大問2 基本的な時計算です。確実に素早く答えをあわせたいです。

○大問3 (1)(1)だけなら，鶴亀算・面積図・白い部分の面積に注目など，いろいろな解き方があります。
(2)AP×6＋BC×10＝⑦、AP×12＋BC×10＝⑩からAP：BPが求まります。
(3)AP×6＋BP×10＝③,AP×30＋BP×20＝⑩からAP：BPが求まります。方針がつかみやすいので，しっかり点数を確保したいところです。

○大問4 (1)3分間走ると8分早くついたということは、1分早くつくには3÷8＝3/8分間走ればよくなります。99mを走ると3/8分、歩くと1分遅くなることから1＋3/8＝11/8分かかるので99÷11/8＝72m/分と求めることができます。
(2)走る速さ：歩く速さ＝(11/8)：(3/8)＝11：3なので，水曜日に走った距離を⑪，歩いた距離を③とすると，木曜日は(⑪＋③)÷2＝⑦走って⑦歩いたことになります。
つまり，④を走るか歩くかで4分の差になりますので，自宅から学校までの⑭を走るか歩くかで14分差。
かかる時間の比は速さの逆比で3：11ですから，14×11/8×72＝1386mとわかります。
(1)(2)どちらも問題文に与えられてることをどう使えばよいか、状況図やダイアグラムで整理する練習をしっかりしておきましょう。

○大問5 (1)AとBの水の量の比が1200:600＝2:1より必要な角砂糖の個数の比は(2÷4):(1÷3)＝3:2でAは3個，Bは2個になります。
(2)入れる角砂糖の合計個数は2＋10＝12個で，Aに2個以上，AにBよりもたくさん入れるということですから，
(A,B)＝(2個,10個),(3個,9個),(4個,8個),(5個,7個)の組み合わせが考えられます。
このうち，10回目の操作[2]で初めて同じ濃度になるものは入れた角砂糖の個数が互いに素でないといけないので(5個，7個)しかありません。
よって，ア：イ＝(4×5)：(3×7)＝20：21となります。
(3)どちらも6.25%より水は93.75%で合計1800gなので，必要な角砂糖は1800÷0.9375-1800＝120gになります。
4×A＋3×B＝120gとなるような個数の組み合わせは，
(A，B)＝(27個,4個),(24個,8個),(21個,12個),(18個,16個),(15個,20個),(12個,24個),(9個,28個),(6個,32個),(3個,36個)ですが，
合わせて2＋30＝32個以上入っていて，互いに素になっている組み合わせは(9個,28個)のみです。
よってウ:エ＝(4×9):(3×28)＝3:7となります。
(1),(2),(3)とも麻布でよく出る濃度と不定方程式の組み合わせです。
対策をたてやすいので、バッチリ解いて差をつけましょう。

○大問6 今回はこの問題を扱います。

大問1，2(1)(2)，大問3(1)，大問5(1)，大問6(1)この辺りを確実に押さえ，3番・4番・5番の残りの問題からしっかり稼げるかの勝負という感じでしょう。

(問題)H29年　麻布中学校　算数　大問6
111,1121のように,1,2の2種類の数字だけからなる整数を考えます。このような整数Aに対し、以下の規則で定める整数を[A]と表します。

(規則1)	Aが1桁の整数1,2の場合,[1]＝2,[2]＝1とします。
(規則2)	Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が1の場合、つまり、Aが1Bと表せるときは、[A]＝Bとします。例えば [112]＝12 [12112]＝2112 です。
(規則3)	Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が2の場合、つまり、Aが2Bと表せるときは、[A]＝[B][B]とします。ただし、[B][B]は[B]を2つ並べてできる整数を表します。例えば [22]＝[2][2]＝11, [21121]＝[1121][1121]＝121121, [2211]＝[211][211]＝[11][11][11][11]＝1111 です。

このとき、以下の問いに答えなさい。

(1)[2112]，[2212]を求めなさい。
(2)[A]＝22となる整数Aは3つあります。このようなAをすべて求めなさい。
(3)[A]=Aとなる整数Aは1つだけあります。このようなAを求めなさい。
(4)次の条件をともにみたす整数Aをすべて求めなさい。ただし答の欄はすべて使うとは限りません。
●Aは6桁以下の整数です。
●[A]は292で割り切れる8桁の整数です。

[解説]
(1)[2112]＝[112][112]＝1212，[2212]＝[212][212]＝[12][12][12][12]＝2222

(2)
22＝[1][1]＝[21]
22＝[12][12]＝[212]
22＝[122]
で21,212,122の3通りが考えられます。

(3)[　]内の左端が1になると[　]がなくなるので，1が初めて現れるのは左から数えて何番目かで場合分けして考えてみましょう。

★ Aが1を含まないとき　[22222…]は1111…になるので不適

★ A＝1Bのとき
[A]＝[1B}＝Bとなり[A]＝Aとはなりません。

★ A＝21Bのとき
[21B]＝[1B][1B]＝BBですから、[A]＝Aとなるには、BB＝21BなのでB＝21となればよいです。
よって[A]＝Aとなるのは1つだけなので、A＝2121


一応他のものも調べてみると
A＝221Bの時
[221B]＝[21B][21B]＝[1B][1B][1B][1B]＝BBBBで[A]＝AとなるにはBBBB＝221BでBBB＝221となり無理です。
A＝2221B、22221B…と調べても同様に無理とわかります。

(4)
★Aが1を含まないとき
111111は292では割り切れないので不適

★A＝1Bのとき
[1B]=BでBが8桁となるとA＝1Bは9桁になるので，
Aが6桁ということと矛盾します。

★A＝2Bのとき
[2B]=[B][B]でBは5桁以下，[B]は4桁になりますね。
291は素因数分解すると292=2×2×73ですから、ひとまず[B][B]が4の倍数になるものを考えて、
そのうち73で割り切れるものを選ぶことにしましょう。

今回，各位には1と2しか使えないので下2桁は12のみです。
よって，[B]=1112,1212,2122,2212の4つに絞れます。

[B]=1112のとき、[A]=11121112でB=11112
[B]=1212のとき、[A]=12121212でB=11212かB=2112
[B]=2112のとき、[A]=21122112でB=12112
[B]=2212のとき、[A]=22122212でB=12212

[A]はいずれも73で割り切れますので，A=211112,211212,22112,212112,212212となります。

(注…実は73は10001を素因数分解した73×137という形に出てくる，算数オリンピックなどでよく取り上げられる数です。
この性質を使うと，例えば先ほどの8桁の数も
11121112=1112×10001＝1112×73×137
12121212=1212×10001＝1212×73×137
21222122=2122×10001＝2122×73×137
22122212=2212×10001＝2212×73×137
というように，簡単に73の倍数であるということが確認できます。)


麻布の最後の問題は，解き方を知っているような問題ではなく，問題文に従って作業をすることで法則をつかみながら解くタイプの問題が多いです。
そのようなことを意識しながら(2)(3)辺りまで正解できるような力をつけていくことが合格に近づく道です。
頑張ってください！(畠田)