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麻布中学校 算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.01 11:09|入試問題分析(算数)
今回は麻布中学をとりあげたいと思います。

出願者数967人
合格者数382人
倍率2.53
合格最低点106/200

配点は国語60点算数60点理科40点社会40点です。

各問題を見ていくと

○大問1 計算問題なのでしっかりあわせてください。

○大問2 基本的な時計算です。確実に素早く答えをあわせたいです。

○大問3 (1)(1)だけなら,鶴亀算・面積図・白い部分の面積に注目など,いろいろな解き方があります。
(2)AP×6+BC×10=⑦、AP×12+BC×10=⑩からAP:BPが求まります。
(3)AP×6+BP×10=③,AP×30+BP×20=⑩からAP:BPが求まります。方針がつかみやすいので,しっかり点数を確保したいところです。

○大問4 (1)3分間走ると8分早くついたということは、1分早くつくには3÷8=3/8分間走ればよくなります。99mを走ると3/8分、歩くと1分遅くなることから1+3/8=11/8分かかるので99÷11/8=72m/分と求めることができます。
(2)走る速さ:歩く速さ=(11/8):(3/8)=11:3なので,水曜日に走った距離を⑪,歩いた距離を③とすると,木曜日は(⑪+③)÷2=⑦走って⑦歩いたことになります。
つまり,④を走るか歩くかで4分の差になりますので,自宅から学校までの⑭を走るか歩くかで14分差。
かかる時間の比は速さの逆比で3:11ですから,14×11/8×72=1386mとわかります。
(1)(2)どちらも問題文に与えられてることをどう使えばよいか、状況図やダイアグラムで整理する練習をしっかりしておきましょう。

○大問5 (1)AとBの水の量の比が1200:600=2:1より必要な角砂糖の個数の比は(2÷4):(1÷3)=3:2でAは3個,Bは2個になります。
(2)入れる角砂糖の合計個数は2+10=12個で,Aに2個以上,AにBよりもたくさん入れるということですから,
(A,B)=(2個,10個),(3個,9個),(4個,8個),(5個,7個)の組み合わせが考えられます。
このうち,10回目の操作[2]で初めて同じ濃度になるものは入れた角砂糖の個数が互いに素でないといけないので(5個,7個)しかありません。
よって,ア:イ=(4×5):(3×7)=20:21となります。
(3)どちらも6.25%より水は93.75%で合計1800gなので,必要な角砂糖は1800÷0.9375-1800=120gになります。
4×A+3×B=120gとなるような個数の組み合わせは,
(A,B)=(27個,4個),(24個,8個),(21個,12個),(18個,16個),(15個,20個),(12個,24個),(9個,28個),(6個,32個),(3個,36個)ですが,
合わせて2+30=32個以上入っていて,互いに素になっている組み合わせは(9個,28個)のみです。
よってウ:エ=(4×9):(3×28)=3:7となります。
(1),(2),(3)とも麻布でよく出る濃度と不定方程式の組み合わせです。
対策をたてやすいので、バッチリ解いて差をつけましょう。

○大問6 今回はこの問題を扱います。

大問1,2(1)(2),大問3(1),大問5(1),大問6(1)この辺りを確実に押さえ,3番・4番・5番の残りの問題からしっかり稼げるかの勝負という感じでしょう。

(問題)H29年 麻布中学校 算数 大問6
111,1121のように,1,2の2種類の数字だけからなる整数を考えます。このような整数Aに対し、以下の規則で定める整数を[A]と表します。


(規則1) Aが1桁の整数1,2の場合,[1]=2,[2]=1とします。
(規則2)



Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が1の場合、つまり、Aが1Bと表せるときは、[A]=Bとします。例えば
[112]=12
[12112]=2112
です。
(規則3)





Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が2の場合、つまり、Aが2Bと表せるときは、[A]=[B][B]とします。ただし、[B][B]は[B]を2つ並べてできる整数を表します。例えば
[22]=[2][2]=11,
[21121]=[1121][1121]=121121,
[2211]=[211][211]=[11][11][11][11]=1111
です。

このとき、以下の問いに答えなさい。

(1)[2112],[2212]を求めなさい。
(2)[A]=22となる整数Aは3つあります。このようなAをすべて求めなさい。
(3)[A]=Aとなる整数Aは1つだけあります。このようなAを求めなさい。
(4)次の条件をともにみたす整数Aをすべて求めなさい。ただし答の欄はすべて使うとは限りません。
●Aは6桁以下の整数です。
●[A]は292で割り切れる8桁の整数です。


[解説]
(1)[2112]=[112][112]=1212,[2212]=[212][212]=[12][12][12][12]=2222

(2)
22=[1][1]=[21]
22=[12][12]=[212]
22=[122]
21,212,122の3通りが考えられます。

(3)[ ]内の左端が1になると[ ]がなくなるので,1が初めて現れるのは左から数えて何番目かで場合分けして考えてみましょう。

Aが1を含まないとき [22222…]は1111…になるので不適

A=1Bのとき
[A]=[1B}=Bとなり[A]=Aとはなりません。

A=21Bのとき
[21B]=[1B][1B]=BBですから、[A]=Aとなるには、BB=21BなのでB=21となればよいです。
よって[A]=Aとなるのは1つだけなので、A=2121


一応他のものも調べてみると
A=221Bの時
[221B]=[21B][21B]=[1B][1B][1B][1B]=BBBBで[A]=AとなるにはBBBB=221BでBBB=221となり無理です。
A=2221B、22221B…と調べても同様に無理とわかります。

(4)
★Aが1を含まないとき
111111は292では割り切れないので不適

★A=1Bのとき
[1B]=BでBが8桁となるとA=1Bは9桁になるので,
Aが6桁ということと矛盾します。

★A=2Bのとき
[2B]=[B][B]でBは5桁以下,[B]は4桁になりますね。
291は素因数分解すると292=2×2×73ですから、ひとまず[B][B]が4の倍数になるものを考えて、
そのうち73で割り切れるものを選ぶことにしましょう。

今回,各位には1と2しか使えないので下2桁は12のみです。
よって,[B]=1112,1212,2122,2212の4つに絞れます。

[B]=1112のとき、[A]=11121112でB=11112
[B]=1212のとき、[A]=12121212でB=11212かB=2112
[B]=2112のとき、[A]=21122112でB=12112
[B]=2212のとき、[A]=22122212でB=12212

[A]はいずれも73で割り切れますので,A=211112,211212,22112,212112,212212となります。

(注…実は73は10001を素因数分解した73×137という形に出てくる,算数オリンピックなどでよく取り上げられる数です。
この性質を使うと,例えば先ほどの8桁の数も
11121112=1112×10001=1112×73×137
12121212=1212×10001=1212×73×137
21222122=2122×10001=2122×73×137
22122212=2212×10001=2212×73×137
というように,簡単に73の倍数であるということが確認できます。)


麻布の最後の問題は,解き方を知っているような問題ではなく,問題文に従って作業をすることで法則をつかみながら解くタイプの問題が多いです。
そのようなことを意識しながら(2)(3)辺りまで正解できるような力をつけていくことが合格に近づく道です。
頑張ってください!(畠田)


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