聖光学院 算数 問題 解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.07.04 16:17|入試問題分析(算数)
今回は聖光学院をとりあげます

第1回は
受験者数は645人、合格者数は242で実質倍率は2.7倍

科目別得点結果は(科目,満点,平均点,合格者平均,合格最低点)の順に
(国語,150,85.7,96.9,63)
(算数,150,97.8,118.0,66)
(理科,100,63.8,73.2,51)
(社会,100,69.5,75.4,49)
(合計,500,316.8,363.5,334)
となっております。

算数は平均点と合格者平均の差が大きく、合否に影響しやすいです。


各大問を見ていくと

大問1 (1)計算問題です。必ずあわせましょう。
(2)(進んだ距離の比)=(速さの比)なので80:45:120=16:9:24から
学さんが⑯、光さんが⑨、聖さんが㉔進んだとします。光さんと聖さんの間の距離は㉔-⑨=⑮で,聖さんと学さんの間の距離も⑮ですから,1周1500m=㉔+⑮+⑯などから解いていきましょう。

(3)立方体は全部で1+3+6+10+15+21+28+36=120個あり、1+2+3+4+5+6+7+8=そのうちの36個の立方体から,1/6㎤の三角錐が1つずつ切り落とされます

大問2 (1)10,9,8,7の組み合わせのときなので19×15,18×16,17×17のうち最大のものを考えます。
(2)70の約数を考えて2以上19以下の組み合わせになるものは5×14と7×10ですが、2,3,6,8の和は19より5×14だけとなります。
(3)100の約数を考えて2以上19以下の組み合わせになるものは10×10だけです。
(4)108,140,144の約数のうち2以上19以下の組み合わせとその和はそれぞれ
108は6×18で和24と9×12で和21、140は10×14で和24、144は8×18で和26と9×16で和25と12×12で和24です。和が一致するのは24だけなので108は6×18、140は10×14、144は12×12と決まります。

大問3 (1)4点から2点選ぶ方法は4C2=6通りより、6×6=36通りです。
(2)QD:BC=1:3より1×3/(1+3)=3/4cmとわかります。
(3)(ア)(上底):(下底)=1:2のときなので下底がRCのとき上底は3通り、下底がBSのとき上底は3通りとわかります。
(イ)(上底):(下底)=1:1のときなので上底と下底の長さが1のときと、上底と下底の長さが2のときを調べると1/6cmきざみに5個あることがわかります。

大問4 (1)[ア]時間後に水深は0.9m、直方体LMNK-IFGJ側に3.6mなので(高さ)×(底面積)の比を考えて(0.9×4):3.9=1:1とわかります。
(2)7.5時間後の水の体積と[ア]時間後の水の体積の比は(3.6×25×25):(0.9×20×25+3.6×5×25)=5:2より7.5×2/5=3時間とわかります。
(3)18時間後から36時間後の18時間で(3.6×20×25)m^3の水が流れるので3.6×20×25÷18=100m^3とわかります。
(4)7.5時間で3.6×25×25m^3の水が入ったので1時間に3.6×25×25÷7.5=300m^3とわかります。
またPの給水量とRの排水量の差とQの給水量の比は1:1から
それぞれの給水量と排水量はPは250m^3 Rは100m^3 Qは150m^3とわかります。
9.5時間後は水深が3.6mより2×300÷(25×25)=0.96mだけ高くなります。
鶴亀算で考えますと、9.5時間後にすぐにPを閉めた場合、水深3.6mより8.5×100÷(25×25)=1.36mだけ低くなります。よってPを閉めるまで(1.36-0.96)×25×25÷(100+150)=1時間とわかります。


(問題)H29年 聖光学院中学校 第1回 大問5
図1のように1辺の長さが9cmの立方体ABCD-EFGHを、四角形EFGHが底面になるように置きます。ADの真ん中の点をMとし、Mの真上にXM=4cmとなるように点Xをとります。
四角形ABCD内の点PとXを結ぶ直線が側面BFGCと交わる点をQとし、BC上に角QRBが直角となるように点Rをとります。このとき、次の問いに答えなさい。
seikou17m1.jpg
(1)Pが図2の位置にあるとき、QRの長さとBRの長さはそれぞれ何cmですか。
seikou17m2.jpg
(2)Pが図3の斜線部分を動くとき、Qが通過する部分を解答欄の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。ただし、解答欄の図のマス目の1目盛りは1cmであるとします。また、PとQを結ぶ直線がこの立方体の内部を通過する部分の体積は何㎤ですか。
seikou17m3.jpg


[解説]
(1)
seikou17k1.jpg
上から見た図よりMP:PR=3:6=1:2となります。
よってBRの長さは
4-(4.5-4)×2=3cm
となります。
seikou17k12k.jpg

また横から見た図よりXM:QR=MP:PR=1:2より
QR=4×2=8cm
となります。

(2)
Pが長方形の頂点ア、イ、ウ、エにあるときに注目します。
seikou17k32k.jpg

上から見た図より
アエ:ア'エ'=Mア:Mア'=3:9=1:3なのでア'エ'=1×3=3cm
イウ:イ'ウ'=Mイ:Mイ'=6:9=2:3なのでア'エ'=1×3÷2=3/2cm

横から見た図より
Rイ':XM=Rイ:イM=3:6=1:2なのでRイ'=4÷2=2cm
Rア':XM=Rア':アM=6:3=2:1なのでRア'=4×2=8cm

seikou17k33.jpg

図のような台形ア'エ'ウ'イ'のようになります。
面積は(3/2+3)×6÷2=13.5㎠となります。


seikou17k3.jpg
体積は
(台形を底面とした四角錐の体積)-(長方形を底面とした四角錐の体積)
=13.5×9÷3-1×3×4÷3
36.5㎤
となります。


聖光学院の問題は難易度が高かったり、複雑であることが多いです。
しっかり過去問で傾向を掴んで研究して、慣れておきましょう。
頑張ってください(畠田)
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