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慶應義塾中等部 算数 問題 解説&入試分析★2018年(H30年)

2018.04.16 21:57|入試問題分析(算数)
今回は慶應義塾中等部です。

問題の難易度は高くないので男子なら8割5分、女子なら9割を目標にしましょう。
標準的な問題を早く正確に処理することが求められます。


(問題)H30年 慶應義塾中等部 大問7
同じ大きさの正三角形のタイルが140枚あります。このタイルをすき間なく並べて、正三角形または正六角形をつくります。[図1],[図2]はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。
次の[      ]に適当な数をいれなさい。
keiouchuto2018m1.jpg
(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で[      ]枚使います。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、正三角形をつくるのに使うタイルは[ア]枚、正六角形をつくるのに使うタイルは[イ]枚です。



(1)
まずは手を動かして正三角形になる場合を書いてみて実験してみます。
keiouchuto2018k1.jpg
小さいものから順に1枚,4枚,9枚,16枚となっていくので平方数であることがわかります。
よって140枚をこえない最大の平方数を考えて11×11=121枚です。


(2)
今度は正六角形になる場合はどんな場合か書いてみて実験してみます。
keiouchuto2018k2.jpg
すると,正三角形の6倍であることに気付いてきます。
正六角形は(平方数)×6枚と言うことになります。

正三角形と正六角形の枚数が140をこえない場合を考えることになりますが,正六角形の枚数である(平方数)×6の方が荒いのでこちらの値で場合分けすることにします。
(1×1)×6=6枚,(2×2)×6=24枚,(3×3)×6=54枚,(4×4)×6=96枚
で(5×5)×6=150は140を超えて4パターンの値しかありません。

●正六角形の枚数が6枚の時
残り140-6=134枚
最大になる正三角形は11×11=121枚
余ったタイルは134-121=13枚

●正六角形の枚数が24枚の時
残り140-24=116枚
最大になる正三角形は10×10=100枚
余ったタイルは116-100=16枚

●正六角形の枚数が54枚の時
残り140-54=86枚
最大になる正三角形は9×9=81枚
余ったタイルは86-81=5枚

●正六角形の枚数が96枚の時
残り140-96=44枚
最大になる正三角形は6×6=36枚
余ったタイルは44-36=8枚

以上より余ったタイルが5枚の場合が一番少なく
正三角形が81枚、正六角形が54枚となります。


このような処理能力を求められてる学校の問題では、考えて悩むのではなく、手を動かして書いてみて掴んでいきましょう(畠田)
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フェリス女学院中学校 算数 問題 解説&入試分析★2018年(H30年)

2018.04.16 15:46|入試問題分析(算数)
フェリス女学院を取り上げます。
2018年度の受験者数は386人で合格者196人、倍率は1.97倍です。

合格者平均点は
国語:60/100
算数:48/100
社会:38/60
理科:35/60

と例年のように算数が低く、勉強すればとれる問題が多いので他の受験生に大きな差をつけやすい教科でもあります。

それでは図形の回転の理解が深まりそうな問題をとりあげます。

(問題)H30年 フェリス女学院中学校 第3問
四角形ABCDを,(あ)図のように矢印の向きに回転させ,四角形EFGDと重なるように動かすことを,「四角形ABCDを点Dのまわりに,時計まわりに90°回転させる」といいます。次の[ア],[イ],[ウ]にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
feri2018km1_201804161531590d1.jpg

(1)(い)図は,ある四角形を点Oのまわりに,時計まわりに90°回転させるとき,その四角形が通るところを表したものです。曲線⌒PRは点Oを中心とする円の一部です。3つの点Q,O,Rは一直線上にならんでいます。また,直線PQの長さと直線QOの長さは等しいです。この四角形の角のうち,最も小さい角の大きさは[ア]°です。
feri2018km2_2018041615320037f.jpg

(2)(い)図は,(1)とは別の四角形を点Oのまわりに時計まわりに[      ]°回転させたとき,その四角形が通ったところを表したものと考えることができます。[      ]にあてはまる数のうち,最も小さいものは[イ]で,そのときの四角形の角のうち,最も小さい角の大きさは[ウ]°です。
feri2018km3_20180416153202c35.jpg




平面図形の回転のポイントの一つは端に注目します。
feri2018k1_201804161532033d3.jpg
図のように回転して通るところの端に元の図形の端の形があらわれます。
回転して青の実線は青の破線に,赤の実線は赤の破線になります。
(1)
feri2018k2_2018041615320551f.jpg
図のように左の端は青の実線のOQとOP,右の端は赤の破線ORの部分の形になります。
赤の破線を90°逆に回転させて元に戻してOR'を考えます。
feri2018k3_20180416153218e40.jpg
すると元の図形はPとR'を直線で結んで四角形OR'PQとなることがわかります。
∠POR'=90°-30°=60°

OP=OR'
より△OR'Pは正三角形となるので最も小さい角の大きさは∠OR'P=60°とわかります。


(2)
feri2018k4_20180416153220507.jpg
(1)の図形では図のように緑の扇形の弧R'P'の部分が重なっているので,ここが重ならない(P'とR'が同じ点になる)ように回転させたら良さそうです。
つまり90°回転から30°÷2=15°ひいて75°回転を考えます。
feri2018k5_20180416153221a05.jpg
すると図より
∠POP'=75°
OP=OP'
から最も小さい角の大きさは∠OP'P=(180-75°)÷2=52.5°となります。


フェリス女学院はどういう解き方をしたら良いかを求められる問題をよく出します。
しっかり過去問で練習していきましょう!(畠田)
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