算数・数学 マメ知識No.1

2010.03.09 17:42|マメ知識集
算数の範囲を離れますが,ちょっとしたマメ知識。

「鳩の巣原理」というものの話をしておきましょう。
これは「10羽の鳩を9個の鳩の巣に入れるとすれば,2羽以上の鳩が入る巣が必ず1個はできる」という,当たり前といえば当たり前の話です。9羽までは同じ巣の中に鳩が入らないように入れていくことができますが,10羽目は,すでに鳩が入っている巣に入れざるをえなくなりますもんね。

では,この「鳩の巣原理」を使って,こんな問題を考えてみましょう。

「一番遠い点を結んだ対角線の長さが2cmの立方体があります(下図1)。この立方体の内部(面上,辺上,頂点上も含む)に9つの点をとるとき,間の距離が1cm以下となる2点が必ず存在します(逆にいえば「9つの点すべてを,どの2点間の距離も1cmよりも長く離してとるのは不可能」ということ)。この理屈を説明しなさい。」

鳩の巣原理1

わかるかな?

この立方体を,1辺の長さが元の立方体の半分になるような小立方体8つに分けて考えてみましょう(下図2)。
さっきの「鳩の巣原理」を使うと,この9つの点のうち,最低でも2つの点は同じ小立方体の中(か表面)に入るはずですね?一つの小立方体の中での2点の距離は最長でも1cmなので,間の距離が1cm以下になるような2点は必ず存在します。

鳩の巣原理2


ここまでで何度か出てきた「循環小数」にからんで鳩の巣原理の話をしてみたのですが,肝心の循環小数の話は紙面の関係で以下省略(^o^;;

あ,では,一つ投げかけを。

「ある整数を13で割って小数点以下までドンドン計算していった場合,循環小数にならない場合があるでしょうか?もし,『必ず循環小数になる!』という場合,それが20桁の数の繰り返しになるようなことがあるでしょうか?」

この2つの質問に○,×で答えを出してください。

ヒントは…割り算を筆算でやった時のあまりに注目してみましょう。
13で割った時のあまりとして考えられるのは,1から12の12個(割り切れない場合を考えるので0は無し),
小数第13位まで計算した場合,あまりの中に…あれ?同じものが絶対出てくるはずですよね??ということは…??

では,続きは次回!
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