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算数・数学 マメ知識No.2(鳩の巣原理のつづき)

2010.03.11 15:03|マメ知識集
前回思わぬ脱線をしてしまいましたが,
責任をとって今回もその続きを…(^o^;;

「ある整数を13で割って小数点以下までドンドン計算していった場合,循環小数にならない場合があるでしょうか?もし,『必ず循環小数になる!』という場合,それが20桁の数の繰り返しになるようなことがあるでしょうか?」

ヒントとしても書きましたが,割り算を筆算でやった時のあまりに注目してみましょう。
13で割った時のあまりとして考えられるのは,1から12の12個(割り切れない場合を考えるので0は無し)ですね。
小数第12位までの筆算でのあまりとして1から12がまんべんなく1回ずつ出てきたとしても,
小数第13位でのあまりは1~12のどれかが再び出てくることになりますよね?
同じあまりが出てきたら,その後は同じ計算の繰り返しになるはず。
ということで,(割り切れる場合を除いて)循環小数にならない場合などありえません。よって,答えは「×」
(もっといえば,整数÷整数の計算で,小数で割り切れない場合は必ず循環小数になります。)
そして,先の話から13で割ってその循環するセットが20桁になる場合というのも無いはずですね。よって,これも答えは「×」
(これももっといえば,整数÷整数で,割る方の数をNとすると,循環小数の循環するセットは必ず(N-1)桁以下になります。)

わかりましたか?

では,せっかく学んだ「鳩の巣原理」ですし,小学生でも考えられるこんな問題をやってもらいましょう。


問題1
どんな5人のグループでも,そのグループの中での友人の数が等しい人が2人いることを説明しなさい。

問題2
任意の相異なる4つの整数から2つを選ぶと,差が3の倍数になる組み合わせが必ずあることを説明しなさい。



答えは…自分で考えてみよう!!(^o^)/

「こんなん算数でも数学でもない~っ!」という方。
とんでもない。立派な「論理・論証」の問題ですし,
現に数学オリンピックなどでもよく使われる,立派な数学の論法です(中学・高校では普通教えませんけどね…)。

問題の考え方がわからないけど,どうしても知りたい人は…数理教育研究会まで(^-^)

次回は,今年の入試問題分析に戻ります(多分…)。
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