2011(H23)入試分析 算数 神戸女学院中等部 Part1

随分，間が空いてしまいました…。

今回の算数は今年の神戸女学院中等部の入試問題にいきましょう。

4番
次のように分数がある規則にしたがって並んでいます。

(1)　21番目の分数を求めなさい。
(2)　21番目から27番目までの分数の和を求めなさい。
(3)　最初から何番目までの分数の和がちょうど10になるか求めなさい。


(1)
下図のように，この数列の規則性に従い区切りを入れ，セットの番号を振っていくと，
セットの番号と中の分数の個数が等しくなることがわかります。

21＝1＋2＋3＋4＋5＋6
なので，21番目の分数は6セット目の一番最後(6個目)の分数となります。
同じセットの中の分数の分母は，3から始まり6，12，24…と2倍になっていくので，求める分数は，
1/3^(6-1)＝1/96です。

(2)
求めるのは，6セット目の最後の数と，7セット目の1番目から6番目までの7個の分数の和です。
1/96＋1/3＋1/6＋1/12＋1/24＋1/48＋1/96
を計算するわけですが，ちょっと工夫をしましょう。
同じように大きさが1/2倍ずつなっていく分数の和で，
1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/64＋1/64
がどうなるかは知ってますよね？
後ろから順番に計算していくと，計算がとても楽です。答えは1ですね。
これと同様に，さっきの計算を並べ替えて
1/3＋1/6＋1/12＋1/24＋1/48＋1/96＋1/96
として後ろから計算していくと，答えは2/3となります。
(通分してもたかが知れてますけどね。
ちなみに下の分数は，全部，上の分数の2/3倍になっていますので，和も当然2/3倍になりますね)

(3)
さて，ここまでは前置きです。
「前の小問が次の小問を解くのにどう活かせるか」は常に意識するように心がけましょう。
この問題の場合，(2)と同様に，下図のような分け方をしてみると，実はどのセットも全部和が2/3になるんですね。

それが分かると楽勝です。
10÷2/3＝15ですので，上図のようなセットが15セットちょうどで10になるわけです。
これは16セット目の15番目の分数まで，となりますので，
(1+15)×15÷2＋15＝135(番目)となりますね。
(もちろん，(1から16までの整数の和)－1(番目)と求めてもかまいません。)

では，数列の和がらみで2つほど問題を。

次の2つの数列の和を求めるのに，どう考えれば楽かを考えてみてください。
(1)　1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，…
(2)　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…(いわゆるフィボナッチ数列ですね)

もちろん，頭から順番に計算してもたかが知れているんですが，
それで終わっちゃ面白くないですよね。