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2011(H23)入試分析 算数 神戸女学院中等部 Part1

2011.04.21 16:21|入試問題分析(算数)
随分,間が空いてしまいました…。

今回の算数は今年の神戸女学院中等部の入試問題にいきましょう。

4番
次のように分数がある規則にしたがって並んでいます。
神女4-1
(1) 21番目の分数を求めなさい。
(2) 21番目から27番目までの分数の和を求めなさい。
(3) 最初から何番目までの分数の和がちょうど10になるか求めなさい。



(1)
下図のように,この数列の規則性に従い区切りを入れ,セットの番号を振っていくと,
セットの番号と中の分数の個数が等しくなることがわかります。
神女4-2
21=1+2+3+4+5+6
なので,21番目の分数は6セット目の一番最後(6個目)の分数となります。
同じセットの中の分数の分母は,3から始まり6,12,24…と2倍になっていくので,求める分数は,
1/3^(6-1)=1/96です。

(2)
求めるのは,6セット目の最後の数と,7セット目の1番目から6番目までの7個の分数の和です。
1/96+1/3+1/6+1/12+1/24+1/48+1/96
を計算するわけですが,ちょっと工夫をしましょう。
同じように大きさが1/2倍ずつなっていく分数の和で,
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/64
がどうなるかは知ってますよね?
後ろから順番に計算していくと,計算がとても楽です。答えは1ですね。
これと同様に,さっきの計算を並べ替えて
1/3+1/6+1/12+1/24+1/48+1/96+1/96
として後ろから計算していくと,答えは2/3となります。
(通分してもたかが知れてますけどね。
ちなみに下の分数は,全部,上の分数の2/3倍になっていますので,和も当然2/3倍になりますね)

(3)
さて,ここまでは前置きです。
「前の小問が次の小問を解くのにどう活かせるか」は常に意識するように心がけましょう。
この問題の場合,(2)と同様に,下図のような分け方をしてみると,実はどのセットも全部和が2/3になるんですね。
神女4-3
それが分かると楽勝です。
10÷2/3=15ですので,上図のようなセットが15セットちょうどで10になるわけです。
これは16セット目の15番目の分数まで,となりますので,
(1+15)×15÷2+15=135(番目)となりますね。
(もちろん,(1から16までの整数の和)-1(番目)と求めてもかまいません。)

では,数列の和がらみで2つほど問題を。

次の2つの数列の和を求めるのに,どう考えれば楽かを考えてみてください。
(1) 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,…
(2) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…(いわゆるフィボナッチ数列ですね)


もちろん,頭から順番に計算してもたかが知れているんですが,
それで終わっちゃ面白くないですよね。
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