2012(H24)入試分析 算数 甲陽学院中学校(第1日) Part2

2012.02.15 16:08|入試問題分析(算数)
それでは,今回も甲陽学院中学校の算数の第一日からです。

(問題)H24 甲陽学院中学校・算数(第一日) 大問6番
円をいくつかのおうぎ形に分けて,となり合うおうぎ形には異なる色をぬることにして,赤,青,黄の3色でぬり分けます。図のように,円が2つのおうぎ形A,Bに分けられていて,Aには赤色がぬられています。
(1) Bを4つのおうぎ形に分けると,何通りのぬり方がありますか。
(2) Bをいくつかのおうぎ形に分けると86通りのぬり方があり,分けるおうぎ形を1つ増やすと170通りのぬり方があります。さらに2つ増やして,86通りのぬり方があるときよりもおうぎ形を3つ増やすと,何通りのぬり方がありますか。2012甲陽6-01


(1)
順番に考えていきましょう。
(ア) Bがおうぎ形に分けられていない場合
ぬり方は青か黄色の2通りです。
(イ) Bが2つのおうぎ形に分けられている場合
2012甲陽6-02
図のように3つの場所が一列に並んでいる場合なら,
2×2=4(通り)ですが,実際にはこれの最初と最後がつながっている状態です。
2012甲陽6-03
(元の図とAの位置が変わってしまっていますね…。すいません…。)

「え?これでも4通りでいいんじゃないの?」
と思うなかれ。
それでは,最初と最後の部分が同じ色になる場合が含まれてしまっています。

「あっちゃー!じゃあ,いちいち面倒な場合分けをしなきゃいけないの?」
いえいえ,そんなことをする必要はありません。
最初と最後が同じ色(赤)になっている場合というのは,
結局2か所を色分けする場合,つまり(ア)と同じ状態になっているはずですね。
ですので,上の「4通り」から(ア)の場合の数を引けばいいわけです。
つまり,4-2=2(通り)ですね。
(ウ) Bが3つのおうぎ形に分けられている場合も同じように考えましょう。
4つの場所が一列に並んでいる場合のぬり分け方が2×2×2=8(通り),
最初と最後が同じになる場合が(イ)と同じぬり分け方ですので2通り。
よって,8-2=6(通り)。
(エ) Bが4つのおうぎ形に分けられている場合は(もう後は式だけにします),
2×2×2×2-6=10(通り)です。

(2)
以下,
Bが5つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2-10=22(通り)
Bが6つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2-22=42(通り)
Bが7つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2-42=86(通り)
問題で書かれているのはここなので,この3つ後が答えです。
Bが8つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2×2-86=170(通り)
Bが9つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2×2×2-170=342(通り)
Bが10つのおうぎ形に分けられている場合…2×2×2×2×2×2×2×2×2×2-342=682(通り)

この解き方がわかっていれば,実は「170通りのぬり方」という条件は不要ということがわかりますね。
(確認ができるという点ではとてもありがたいですけどね。)

さて,次回は甲陽学院の第2日に入ります。
CA3H0447.jpg
(今からそこに座ってご飯を食べるんやけど,どいてくれへんかな?アカンの?あ,そう…。)
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