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2012(H24)入試分析 算数 四天王寺中学校

2012.03.06 23:45|入試問題分析(算数)
ちょっと最近、背中のお肉が気になる池田でございます。
今回は四天王寺中学校の算数の問題です。

問題の分量は大問7題、小問数は25題。
広い範囲から標準的なレベルの問題が出る構成は変わらずというところでしょうか。
ただし、立体の面や辺の数を問う問題や推理の問題など、見たことはあるけれども
ついつい軽んじてしまいがちな問題が出ているのも四天王寺の特徴です。
普段の勉強に取り組むときから、1つ1つの問題を軽んじることなく、
しっかりと理解を深めておくようにしましょう。
では、今回は4番の問題を取り上げてみましょう。


(問題)H24 四天王寺中学校・算数 大問4番①
9段の階段があり,1歩で1段,2段,または3段上ることができます。
また,例えば4段上がるのに,1段,3段で上るのと,3段,1段で上るのはちがう上り方とします。
階段の下から上るとき,
(ア)5段目までの上がり方は何通りありますか。
(イ)5段目をふんで,9段目まで上る上り方は何通りありますか。
ただし,1歩につき1段,2段,3段上る上り方をそれぞれ1回は使うものとします。


四天

(ア)を解くだけならトリボナッチ数列(前の3つの数を合計した数列。フィボナッチのパワーアップ版です。)
を利用すれば簡単に解けるのですが(上表参照),(イ)のところで結局書き出さないといけなくなりますね。

(イ)の問題でややこしいところは,「5段目をふんで」のところです。
「9段の上り方を考えて,そのうち,5段目をふんでいるものは~」とストレートに考えてしまうと,
数えもらしをしてしまう事は必至!そこで,まずは5段目まで上らせてあげましょう。

・5段目まで
TYPE A:1+1+1+1+1 並べ替えると1通り
TYPE B:1+1+1+2 並べ替えると4通り
TYPE C:1+1+3 並べ替えると3通り
TYPE D:1+2+2 並べ替えると3通り
TYPE E:2+3 並べ替えると2通り
全て合わせて13通り
これは(ア)の答えと一致します。


では、残りの4段も同じように上ってみましょうか。
TYPE F:1+1+1+1 並べ替えると1通り
TYPE G:1+1+2 並べ替えると3通り
TYPE H:1+3 並べ替えると2通り
TYPE I:2+2 並べ替えると1通り
全て合わせて7通り。
よって、13×7=91通り・・・・・・ではありません

「それぞれ1回は使うものとします」ですから、全てを組み合わせることができるわけではないですね。
Aは2,3の両方を含むものしか組み合わせられないので0通り。
Bは3を含むものと組み合わせることができるのでHのみ。4×2=8通り
Cは2を含むものと組み合わせることができるのでGとI。3×(3+1)=12通り
Dは3を含むものと組み合わせることができるのでHのみ。3×2=6通り
Eは1を含むものと組み合わせることができるのでFとGとH。2×(1+3+2)=12通り
全て合わせて38通り

場合の数は泥臭く書き出す方法と鮮やかに計算だけで出せてしまう方法が混在しており、
どうしても後者に目が行きがちです。
しかし、本当に合否の分かれる問題というのは今回の(イ)のように書き出しを求められることが多いです。
本質を理解することなく小手先のテクニックだけを身につけてしまうと、
いざ本番でちょっとひねられた場合に対応できなくなってしまいますから、
教える側も教えられる側もこの辺りをきちんと認識しておかなくてはなりませんね。

次回は,洛星中学校の問題を取り上げてみましょう。
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Comment

ぴかっと光った問題?

いつも楽しく拝見させて頂いております。

H24四天は幅広い範囲から標準的な問題が出題された例年通りの構成だったのですが,その中でも数問ですが,ぴかっと光る「良問かつ難問」がありました。

H24四天入試で取り上げたい問題と言えば,私も【4】①を選んだと思います。
(ア)が四天受験生なら一度は取り組んだことのある「トリボナッチ数列」と思いきや,(イ)が書き出しを要する問題。緊張感高まる試験場では「1段,2段,3段上る上り方をそれぞれ1回は使う」という条件を見落として,91通りを答にした受験生は多数いたことと思われます(^^♪。「勉強量がものを言う典型問題の出題が目立った今年度関西入試」の中では,数少ない「ピカリ」と光った問題の一つだと思います。

ちなみに,私が一通り解いた問題の中で最も解答に自信が持てなかった問題は【3】②の「金星人火星人問題」でした。(←これ,はずかしい話ですが,今だにスパッと解く方法が分かりません(^^♪。とりあえず「背理法」で解きました。)

このような初見での整理力を見る問題を交えながら,もちろん「努力量,勉強量を見る問題」も含まれていました。個人的には【5】③「均等性を利用した和の計算」などは結構正答率が悪いのではないかと勝手に予想しています。

3番②

 ウルトラマンさん、こんにちは。

推理系の問題というのは、実際生徒が試験会場で解くときも、
「ごそごそとやってたら答えが出た」
ということが多いでしょうから、なかなか解説方法をしぼるのが難しいですよね。

参考までに、私が今回の3番②の解説をするならというものを書いておきます。
もっといい方法があれば教えてくださいね。(^^

3番②
下の(ア),(イ)に登場するA,B,Cは火星人か金星人のどちらかです。
火星人の男性は常に本当のことを言い,女性は常にうそをつきます。
金星人の女性は常に本当のことを言い,男性は常にうそをつきます。
次の□に当てはまる語句を答えなさい。
(ア)Aに「あなたは金星人ですか」とたずねたところ,「いいえ」と答え,
「あなたは女性ですか」とたずねたところ,「はい」と答えました。
Aは□星人で,性別は□性です。
(イ)Bは「Cは金星人です」と言い,Cは「Bは火星人です」と言いました。
また,Bは「Cは男性です」と言い,Cは「Bは女性です」と言いました。
Bは□星人で,性別は□性です。
Cは□星人で,性別は□性です。


(ア)
前半から,Aは正直な火星人(火星人男性)かうそつきの金星人(金星人男性)のいずれか。
後半から,Aは正直な女性(金星人女性)かうそつきの男性(金星人男性)のいずれか。
両方満たすのは金星人男性
(イ)
☆Bが正直であった場合
Cは金星人の男性(うそつき)⇒Cの発言より,Bは金星人の男性(うそつき)⇒前提と合わない。
☆Bがうそつきであった場合
Cは火星人の女性(うそつき)⇒Cの発言より,Bは金星人の男性(うそつき)⇒前提と合う。
よって、Bは金星人男性で,Cは火星人女性

5番の③は、四天王寺合格を考えれば、配点上は取れなくてもかまわない問題でしょうね。
他の問題をしっかり合わせて、余った時間で解ければラッキーというところでしょうか。
余裕で合格する子はこのような問題の練習に時間を回せているんでしょうが、ボーダー上の
子はそこまで時間が回らないでしょうから、正解率はおっしゃる通り低くなると思います。

3番②(ア)補足

宇高先生から,こんなのはどう?と言われて,(イ)の解説との繋がりを考えると
そのほうがきれいかなと思ったので載せておきます。
(ア)
☆Aが正直であった場合
発言から,Aは火星人の女性(うそつき)⇒前提と合わない。
☆Aがうそつきであった場合
発言から,Aは金星人の男性(うそつき)⇒前提と合う。
よって,Aは金星人男性

先に宇高先生と話してから載せたら綺麗でしたね(^^;

なるほどぉ~!

池田先生,宇高先生,解説ありがとうございます。

なるほどぉ~!
鮮やかな解法だと思います。今までもやもやしてたことが非常にすっきりしました。

個人的には「論理と推理」の問題って非常に嫌いな問題の一つです。理由は「非常に解説がしにくい」ことと(T_T)/~~~,いまいち解いたときの達成感が味わえないからです。

なので,月刊誌「中学への算数」は毎月買っているのですが,「論理と推理」が特集されている「月」だけは購入するのを毎年敬遠しています。

でも,四天には結構出るので,やっぱりやっておかないと駄目な単元なのですねぇ~。
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