2012(H24)入試分析 桜蔭中学校 算数

今回は桜蔭中学校です。言わずと知れた、女子の名門。
その名門校の算数入試問題を、道幸が分析します！

まずは、入試状況からです。
昨年度　出願者数 503人 受験者数 500人 合格者数 255人　実質競争率 2.0
今年度　出願者数 588人 受験者数 581人 合格者数 259人　実質競争率 2.2
というわけで、今年は昨年より受験者数が増え、首都圏女子の最難関の一つ桜蔭中学は今年激戦でした。
合格最低点を公表しない学校なので、はっきりしたことは分かりませんが、だいたい70%をきちんと取りきることが合格への最低条件でしょう。
算数は、50分で100点満点。分量は多くも少なくもなく、妥当なところ。難易度も決して高くはありません。難問揃いというわけではないので、70%をきちんと押さえていくことは決して難しくないように思います。

さて、問題分析といきましょう。
Ⅰ　(1)　計算問題2問　これは落としてはいけません。
　　(2)　数の性質の問題。小問3題。やや難しく感じるかもしれません。
Ⅱ　回転体の体積と表面積　小問2題。できないと困ります。
Ⅲ　ニュートン算　小問2題。これは差がつく問題のように思います。
Ⅳ　数列　小問3題　あせってミスをしなければ取れる(でも意外と差がつくかも)
Ⅴ　点の移動と立体切断　小問3題　小問で求めた解答を次の問題で使っていくという形式なので、全滅しないように！落ち着いて取り組めば、難しい問題ではありませんから、取りきれるでしょう。

ここではⅠ(2)を取り上げます。

桜蔭中学校Ⅰ(2)　

4けたの整数のうち，28の倍数は〔　ア　〕個あります。また，28で割ると小数第1位でちょうど割り切れる4けたの整数のうち，最も小さい数は〔　イ　〕です。4けたの整数のうち，28で割ると小数第1位でちょうど割り切れる数は〔　ウ　〕個あります。

アは受験生ならできて当然ですね。1000～9999で28の倍数の個数を求めるわけですから、
9999÷28＝357余り3　…　(あ)
999÷28＝35余り19　…(い)
(あ)の商－(い)の商＝357－35＝322(個)　…　ア
という解き方が一般的ですね。

これ以外に、28×□の答えが1000から9999の範囲になればいいと考えると、
1000÷28＝35あまり20なので□＝36が最小値
9999÷28＝357あまり3なので□＝357が最大値
よって、□には36から357までの整数が順に入りますから、357－36＋1＝322(個)
と考えてもいいですね。

さて、後半の「小数第1位でちょうど割り切れる」という問題ですが、こちらはあまり見かけない問題です。
4けたの整数÷28＝□.△と小数第1位で割り切れるとすると、
□.△×28＝4けたの「整数」　となりますから、小数第一位が0にならないといけません。
つまり、△×8の一の位が0になるということですから、△＝5に限定されます。
商が□.5になるということは、28の倍数と倍数のちょうど真ん中にある数がこれにあてはまる数ということになります。
したがって、28×35＋28＝1008あたりから数直線をかいてみると



図の★印が当てはまる数。
よって、ウの答えは、アの答えより1少なく、322－1＝321(個)
イは、1008＋14＝1022

ウは、次のように、分数を利用しても解くこともできますね。


約分してこの分数が整数になれば、4けたの整数は「28の倍数」となりますが、分母に7が残れば循環小数（同じ小数が繰り返し出てくる）となってしまい、小数第1位では割り切れません。
分母に2×2＝4が残るとき、小数点以下は0.25か0.75となり、小数第2位で割り切れますから、これもあてはまりません。
分母に2だけが残ったとき、小数点以下が0.5と、小数第1位で割り切れるということになります。
そして、このとき、分数は2×7＝14で約分できていますから、分子の4けたの整数は14の倍数ということですね。
これから分かるのは、小数第1位でちょうど割り切れているのは、14の倍数だけど、28の倍数ではない整数ということです。ここから答えを導くこともできますね。

いかがでしたか？

ところで、上本町校の新校舎が完成！写真は個別のブースです(^^)
ちょっと覗いてみてください。お待ちしています。

ちなみに、場所は地下鉄「谷町九丁目駅」と近鉄「大阪上本町駅」の間で、千日前通りに面しています。
ビルの入口に「数理教育研究会」の青い看板が出ています。