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2012(H24) 入試分析 慶應義塾中等部 算数

2012.03.22 16:35|入試問題分析(算数)
今回は、数理教育研究会の生きもの係、道幸が担当します。まず、入試の状況

平成22年度入試結果
男子 志願者数908名  合格者数149名  実質競争率6.09倍
女子 志願者数534名  合格者数51名  実質競争率10.47倍
平成23年度入試結果
男子 志願者数971名  合格者数143名  実質競争率6.79倍
女子 志願者数493名  合格者数48名  実質競争率10.27倍

平成24年度入試結果については、まだ確定数字がわかりませんが、男子約140名募集に対し、志願者は878名で競争率は6.27倍。女子約50名募集に対して女子434名が志願し、競争率8.68倍でした。
首都圏では、今年「中学受験バブル崩壊」と言われ、軒並み受験生を減らせている状況です。慶應義塾中等部でも、志願者数で男子は約100名、女子は約50名減。多少難易度が下がったというところです。ですが、関西の学校と比較すると競争率は高く、難関であることに変わりはないようです。

さて、いよいよ算数についてです。45分100点満点。総設問数は20問前後ですが、高難度の問題があまり出題されず、少しひねった典型問題の演習量が合否を左右します。つまり、典型問題の処理速度(1問2~2.5分)と精度の高さが求められる入試ですね。
ただ、今年の問題を見ると、やや難度の高い応用問題も含まれていますから、侮(あなど)れませんね(^_^;)

では、その「やや難度の高い応用問題」である【7】を見てみましょう。

2012慶応中等部7番問題

立方体の切断の問題は、よく目にしますから、受験生も十分に理解し、使えるようになっておかないといけませんが、この問題は「正四面体」の切断で、初めて目にすると、結構難しく感じられます。
切断をする際のルールをおさらいしてみましょう。
1 同一平面上の2点は結ぶ。
2 平行な面を通る切り口の直線は平行になる。

この2つが基本でした。
さらに、3つめ。面を延長して、延長した面を切る。
この問題では、1のルールによって2本の切り口の線は簡単にかけますが、2のルールを使えるようなところがなく、次の1本が決まりません。
そこでルール3を使いましょう。
切り口の直線PQを延長し、辺DBの延長と交わる点をTとします。
次に、点Tと点Rを結べば、辺BCとの交点Sが分かりますね。
2012慶応解説図1
図で、赤くぬった面が切り口の面になります。
BSの長さは、三角形の相似を2回使うと出てきます。

(1) 正三角形AEPを図のように作ります。このとき、AP=PE=EA=2cm
よってEQ=5-2=3(cm)
△EQPと△BQTは相似で、辺の比が3:1よりBT=2×1/3=2/3(cm)

2012慶応解説図2

同様に正三角形CRFを作ります。
このとき△FRSと△TBSは相似で辺の比は3:2/3=9:2
よってBS:SF=9:2
BF=3cmなのでBS=3×2/(9+2)=6/11(cm) ア=6,イ=11
2012慶応解説図3
(2) (1)ができたら(2)は楽勝!のはず・・・
正三角形1つの面積を6×6=36とします。すると、4つの面の面積の合計は36×4=144
2012慶応解説図4
頂点Aを含む立体の、切り口以外の表面積は
四角形APRC=36-4×3=24
四角形AQSC=36-1×6/11=390/11
三角形AQP=2×5=10
三角形CRS=3×60/11=180/11
の合計 944/11になります。
すると、Dを含む立体の、切り口以外の表面積は
144-944/11=640/11
よって、2つの差は304/11
304/11÷36=76/99 ア=76,イ=99

いかがでしたか。結構難しい問題のように思います。ただ、切断の問題は最難関の学校では出題される可能性が非常に高いので、こういった問題も含めて十分対策しておきましょう。

ほっとひと息(*^。^*)
いい夢見てるよ
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Comment

正四面体の切断♪

いつも楽しく拝見させて頂いております。

H24の関東の入試問題はまだちゃんと解いてないのですが,この慶応の問題だけは,なぜか,気に入ったので真っ先に解いていました。

私が,この問題を気に入った理由は,「正四面体の切断」という題材は,関西の入試問題としては過去にあまり例がないにも関わらず,意外と関東方面の学校では出題の例があるからです。H22の市川,H24の江戸川学園取手に続き,H24の慶応となると,これで関東の学校では3年連続で出題されたことになります。

っということで,H25の中学入試では,いよいよ「関西上陸」の予感が?という感触があり,対策を練らねばと考えていたところです。

No title

そうですね。そろそろ関西で出題されてもおかしくないと思います。立方体は切りなれていても、正四面体の切断となると、手元が狂って、まともに切れない!なんてことになりかねません。要注意ですね。
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