暗算の勧め(第2回) ～計算の工夫～

173×99＋297×9を計算してみましょう。(洛南平成21年度)
いきなり、整数計算、しかも「かけ算」、楽勝ですね！

さて、これを、ひっ算でガリガリと、
173×99＝17127で、297×9＝2673だから、17127＋2673＝19800
とやってももちろん構わないのですが、味気ないですね。
面白くないですね。暗算でもほぼできません(^_^;)
なので、一工夫してみましょう。

まず、99＝100－1，9＝10－1なので、これを使って、
173×99＋297×9
＝173×(100－1)＋297×(10－1)
＝17300－173＋2970－297
＝17300＋2970－(173＋297)
＝19800

ですが、これでもまだ暗算でやるのはつらい^^;
せっかくなので、もう一工夫

297＝3×99なので、これは使えそうです。
173×99＋297×9
＝173×99＋3×9×99
＝(173＋27)×99
＝200×99
＝19800
最後のところは、200×(100－1)＝20000－200とやってもいいですね。
何とか暗算でできるかも。

では同じく洛南です。
9997×9997－9995×9999を計算してみましょう。（洛南平成20年度）

もちろんひっ算でガリガリ…でもいいのですが・・・
前回、かけ算を面積図で表すというのをやりましたね。それを使ってみましょう。


9997×9997－9995×9999は図の㋐－㋑で求められます。
㋐＝9997×2，㋑＝9995×2なので、㋐－㋑＝(9997－9995)×2＝4となります。

もちろん、これでいいのですが、この問題の場合、次のようにも考えられます。
㋐＝㋑＋㋒になるので、㋐－㋑＝㋒＝2×2＝4
ここまで頭の中でイメージすれば、少なくともガリガリひっ算しなくても答えが出せますね。

それではこれはどうでしょう。

2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋…＋98×99＋99×100　(洛星平成17年度改)

ひっ算でガリガリは無理そう。時間もかかりすぎて、入試が終わってしまいます。
実は、次のような計算の工夫ができるのですねぇ。


結局　(99×100×101－1×2×3)÷3となって、答えは333298

部分分数分解のような解法になります。覚えておくと便利かも(^^)
（ちなみに、洛星の問題では、計算の工夫の仕方を誘導してくれた上で、最後の方にこの問題が出ていますから、
きちんと誘導に乗っかれば答えまで行き着くはず。それを聞いて安心したって？）

おまけ
1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4＋5＋5＋5＋5＋5＋…＋100
(1を1個、2を2個、3を3個、4を4個、…、100を100個すべてたす)

つまり、式にすれば、1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋…＋99×99＋100×100　はいくつですか。

先の洛星の問題をヒントに答えを出してみましょう。

解説はまたの機会に。答えが出た人は、どんどんコメントに書き込んでください。

今回は、「暗算の勧め」とタイトルしながら、簡単に暗算できないものも取り上げました。
大切なことは、常に何かいい工夫はないか、と頭を使って取り組む姿勢であり、そうした中で、
暗算できそうなところを「自分で作っていく」という姿勢ではないでしょうか。

それでは以上です。数理教育研究会のうら若き(？？？)流星、道幸がお送りしました。