3乗の和

以前，道幸先生が２乗の和の記事を書いておられましたので，今回は３乗の和の記事を。

1×1×1＋2×2×2＋…＋9×9×9を簡単に計算する方法を考えてみましょう。

そのまえに，皆さん，九九の表はご存知ですよね。


この九九の表に出てくる数字の和は，
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝2025
となっています。

一方，1×1×1＋2×2×2＋…＋9×9×9を計算すると，
1＋8＋27＋64＋125＋216＋343＋512＋729＝2025
となります。

では，なぜこれが一致するのかを考えてみましょう。
九九の表でわざとL字型に色分けをしていますが，それぞれ同じ色のところを合計すると，3乗の計算結果になります。
例えば，5＋10＋15＋20＋25＋5＋10＋15＋20＝(5＋20)＋(10＋15)＋(15＋10)＋(20＋5)＋25＝25×5＝125となり，
5×5×5＝125です。

L字の角の所は□×□になっており，それ以外の2直線のところを組み合わせると□×□と同じ値が□－1組作れるので，
これらを合わせると□×□×□となります。

よって，1×1×1＋2×2×2＋…＋100×100×100だったら，
(1＋2＋…＋100)×(1＋2＋…＋100)＝5050×5050＝25502500
という風に計算することができます。

そのまま計算するよりは，かなり楽になったでしょ？

(池)