整数の2乗の和

さらに「整数の2乗の和」の続きを。



例えば，上図のように三角形の形で1から4までの整数を並べたときに，
このすべての整数の和が，
1×1＋2×2＋3×3＋4×4
になるのはわかると思います。
次にこの三角形を120°ずつ回転させていったものを3つ作り，
3つの三角形の同じ位置に書かれた数字を足していくと，
その和はすべて9(＝2×4＋1)になります。
つまり，全部で9が
10個(＝(1＋4)×4×1/2(等差数列の和))
できるので，その和は
9×10＝90
となります。
よって，元の三角形に並べられた整数の和は，この1/3倍，つまり
30
となります。

同様に1からNまでの整数を同じように並べた場合，その和は
1/6×N×(N＋1)×(2×N＋1)(上の太字部分の「4」を「N」に置きかえて，すべてかけて整理したもの)
となります。
(高校数学で数列を習った方にはおなじみの公式ですね)

ちなみに上の公式は，
下図のような立体を組み立てることからも考えることができます。
(組み立てた後，若干の変形が必要ですが)
一度考えてみてくださいね。
(宇)