算数・数学 マメ知識No.4

明日昼13時から数理教育研究会の教室において，灘中頻出論点解析講座を実施します。

算数は，灘の「整数問題」に焦点をあてて授業を行います。
授業だけでなく，頻出論点に関するおみやげプリントも用意しているのですが，
そこで載せようかと思ってやめたトピックを一つ。
(整数問題のトピックとしては面白いですけど，灘の頻出論点でもないですし(^o^;;，だいたい，感覚的な説明以外の説明が大変(無理？)(^o^;;)

問題
120以下の整数で，120と互いに素な(1以外に公約数を持たない)整数はいくつありますか。

これは分数の問題の形でよく出ますね。
これを普通に算数で考えると，120を素因数分解して，

1.　ベン図で考えて，(素因数の)2，3，5の倍数を，1から120の120個の整数から除く

という作業をするか，あるいは，

2.　(素因数の)2，3，5のL.C.M.の30を1セットにして考える

かのどちらかでしょう。
いずれにせよ答えは32個なのですが，素因数が2，3，5とわかった時点で実はこんな計算で求められてしまいます。

120×(1－1/2)×(1－1/3)×(1－1/5)＝120×1/2×2/3×4/5＝32(個)

ビックリでしょ？小学生で，上の式の意味を感覚的にでも理解できたら大したものです。

これがわかれば，例の「0より大きく1より小さい，分母が120の規約分数の和を求めよ」とかいうような問題も楽勝なんですよね。