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算数・数学 マメ知識No.4

2010.03.25 23:41|マメ知識集
明日昼13時から数理教育研究会の教室において,灘中頻出論点解析講座を実施します。

算数は,灘の「整数問題」に焦点をあてて授業を行います。
授業だけでなく,頻出論点に関するおみやげプリントも用意しているのですが,
そこで載せようかと思ってやめたトピックを一つ。
(整数問題のトピックとしては面白いですけど,灘の頻出論点でもないですし(^o^;;,だいたい,感覚的な説明以外の説明が大変(無理?)(^o^;;)

問題
120以下の整数で,120と互いに素な(1以外に公約数を持たない)整数はいくつありますか。


これは分数の問題の形でよく出ますね。
これを普通に算数で考えると,120を素因数分解して,

1. ベン図で考えて,(素因数の)2,3,5の倍数を,1から120の120個の整数から除く

という作業をするか,あるいは,

2. (素因数の)2,3,5のL.C.M.の30を1セットにして考える

かのどちらかでしょう。
いずれにせよ答えは32個なのですが,素因数が2,3,5とわかった時点で実はこんな計算で求められてしまいます。

120×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=120×1/2×2/3×4/5=32(個)

ビックリでしょ?小学生で,上の式の意味を感覚的にでも理解できたら大したものです。

これがわかれば,例の「0より大きく1より小さい,分母が120の規約分数の和を求めよ」とかいうような問題も楽勝なんですよね。
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