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2013(H25)入試分析 灘中学校(第1日) 算数 PART1

2013.01.25 19:33|入試問題分析(算数)
今年もこの時期がやってまいりました。
入試分析を少しずつ進めていきたいと思います。

問題数は大問13問,小問数15問とボリューム的には例年と変化なく,
テスト時間内で脳味噌をフル回転させてテンポよく問題を解いていくことが
求められるテストとなっています。

去年は合格者平均が1日目79.4点,2日目86.2点と例年になく高かったので,
今年はどのようになるかと注目していましたが,やはり1日目は厳しい問題が
並びました。合格者平均が58.6点とここ5年で最も厳しく,問題の並びも
前半にキツ目の問題が並び,生真面目に前から順に取り組んだ生徒は,
精神的にもしんどい試験になったのではないでしょうか。

今年はその中でも前から順に解いていったときにはじめに出てくる壁となるであろう,
4番の問題を取り上げてみたいと思います。

(問題)H25 灘中学校・1日目算数 大問4番
分母,分子がともに整数で,これ以上約分できない分数のうち,0.5より大きく0.51より小さいものを
すべて考えます。ただし,ちょうど0.5または0.51になる分数は除きます。この中で,分母が100以下の
分数は□個あります。


0.5と0.51を数直線上で表してみると下の図のようになります。
2013灘1日目01
のところが分母が100のときにちょうど表すことのできる目盛りになりますね。
この赤いところにが乗ってくるような分数を見つければよいわけです。

では,分母が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えましょう。
なぜ偶数と奇数に分けるかというと,50/100のところは1/2なので,
分母が偶数の場合は必ずここにが重なり,
分母が奇数の場合はここを挟んで左右対称にが配置されるからです。

2013灘1日目02

分母が偶数の場合は,上の図のように①/②の次のが1/②だけ右に移動しますので,
51/100を飛び越えてしまうのが分かりますね。つまり,分母が偶数の場合はありえないということです。

次に,分母が奇数の場合を見てみましょう。

先ほどと違い,1/2にあたるところにが来ません。
ここは無理に表現するならば(①+0.5)/(②+1)を示しており,実際にで表せる場所は
左右に0.5/(②+1)ずつ離れたところになります。

2013灘1日目03

分数のままで考えるのが得意な人はこの解き方でよいかと思いますが,分数のままで考えるのが
ちょっと苦手な人のために別解を。

<<別解>>
50/100と△/○と51/100を,分母が○×100になるように通分すると,50×○<100×△<51×○
となるので,50×○より大きく51×○より小さい100の倍数が存在しないといけません。
★○が偶数の場合
50×○が100の倍数になり,51×○が次の100の倍数を超えることができないのであり得ません。
★○が奇数の場合
50×○は下2桁が50となるので,51×○が次の100の倍数を超えるには○は少なくとも51は必要です。
よって,51以上100以下の奇数なので50÷2=25個

いずれの解き方でも分母が偶数の場合と奇数の場合で分けて考えていますね。
時間がたっぷりあって余裕をもって解ける状況であればともかく,限られた時間の中で
場合分けをして,それぞれ整理して考えるとなると,かなり高い壁だったのではないかと思われます。
(池)
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テーマ:中学受験
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Comment

始めまして。中学受験の算数を解くのが好きな者です。以前、灘中の算数問題で検索し、貴ブログにたどり着きました。
この問題ですが、私が思いついた方法も最初に提示されている方法と同じ解法だったのですが、対象となる分数達が、全て問題の条件の一つである既約分数となり得るかどうかの判断の仕方が分かりません…
受験生でもなく、厚かましいとは承知しておりますが、ご教授いただけないでしょうか。

すみません!今気付きました!
もし約分できたとしても、分母は100以下ですね!
すみませんでした。

今年も楽しませていただきます

この季節(?)が来るのを待っていました~。
ビシバシとブログの更新の方,楽しみにしております。
ちなみに,掲題の灘中1日目[4]は厳しい問題で,初見ではかなり考え込みました。
分かりやすい解説ありがとうございます。

No title

>算数好き さん
ご質問,ありがとうございます。
素晴らしい疑問だと思います。

(①+1)/(②+1)が約分できるんじゃないか,つまり,
①+1と②+1が共に★(1以外のある整数)の倍数になることはないのかということですね。

共に★の倍数であるとするならば,その差の①も★の倍数となります。
①と①+1が共に★の倍数であるということは★は1以外に存在しえませんので,
約分はできないということになります。

>ウルトラマン さん
テスト中であれば,間違いなく後回しになる問題ですね(笑)
私の場合,同級生がたまたま解いている場に居合わせてしまったので,
この仕事をやっているものとして解かないわけにはいきませんでした(^^;

なるほど。よくわかりました!
お忙しい中、お時間をとっていただき、ありがとうございました。
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