2013（H25）年度 灘中学校 算数2日目

ここ5年間の2日目の合格者平均／受験者平均は
21年度62.4／49.2，22年度73.3／59.3，23年度63.8／44.9，24年度86.2／71.4，25年度70.3／54.9
と学校側から発表されています。
今年度は，易しかった昨年度の問題よりは平均点は下がりましたが，それでもやや高めで，
受験者層を考えると，問題の難易度もそれほど高くないものが並びました。
1日目が例年と比べても厳しい問題でしたから，算数を少し苦手とする受験生は2日目で救われたかもしれません。
さて，その中で今回は大問２を取り上げます。
この学校を受験する生徒が解く場合の数の問題としては，基本レベルの問題でしょう。

(問題)H25　灘中学校・2日目算数　大問2番
2013は4個の連続する数字0，1，2，3を並べ替えてできる数です。
また，4213も4個の連続する数字1，2，3，4を並べ替えてできる数です。
このように，4個の連続する数字を並べ替えてできる4桁の数について考えます。
(1)　3で割り切れるものは全部で何個ありますか。
(2)　千の位，百の位，十の位の数を左から順に並べてできる3けたの数を3で割ったときの余りと，
一の位の数を3で割ったときの余りが等しいものは全部で何個ありますか。

(1)　4個の連続する数字の組み合わせは，次の7組です。
0123，1234，2345，3456，4567，5678，6789　…☆
このうち，3で割り切れるものは，各位の数の和が3の倍数になる，0123(㋐)，3456(㋑)，6789(㋒)の3組です。
㋐　この4個の数字でできる4桁の整数は，3×3×2×1＝18(個)
㋑，㋒　この4個の数字でできる4桁の整数は，4×3×2×1＝24(個)ずつで，24×2＝48(個)
したがって，18＋48＝66(個)

(2)　(1)の☆印の7組のそれぞれの数を，3で割ったあまりに書き直してみると，順に
0120，1201，2012，0120，1201，2012，0120
となります。
(そのままの数字で考えてもそれほど手間はかからないので，かまわないのですが…)
このうち例えば，0120になる場合について考えてみることにしましょう。
0120を前の3桁012と一の位0に分ける(これを012／0と書くことにします)と，
0＋1＋2＝3なので，前の3桁は3で割り切れ，後ろの一の位は0なので同じく3で割り切れることが分かります。
前の3桁の012の並び方は，3×2×1＝6(通り)。前の0と後ろの0の数字が入れかわることを考えると，
0120のタイプでは，条件にあてはまる整数が6×2＝12(個)できます。
010／2の場合は，0＋1＋0＝1なので3で割ると余りは1，一の位は2なので3で割ると2余るので不適。
020／1も不適。
以上より，0120のタイプは12×3＝36(個)できるはずですが，☆印先頭の0120の最初の0は
千の位になることができないのでこの場合だけ2×2×1＝4(個)になります。
したがって，0120のタイプでは，4＋6＋12×2＝34(個)できることになります。
同様に，1201のパターンは011／2の場合が適するので，それぞれ6個あり，6×2＝12(個)
2012のパターンは，022／1の場合が適するので，それぞれ6個あり，6×2＝12(個)
条件にあてはまる4桁の整数は，34＋12＋12＝58(個)になります。
と書いてみたのですが，正直今年の灘の２日目は，１日目ほどパンチの効いた問題がなく，
残念なような，ホッとするような，モヤモヤが残ってしまいました^_^;
(道)