算数・数学 マメ知識No.5(フィボナッチ数列)

2010.03.28 02:00|マメ知識集
先日の「パスカルの三角形」の話の中でなにげなく書いたフィボナッチ数列について。

「前の2項の和が次の項になる」という以下のような数列です。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987…

「フィボナッチ協会(!)」なるものがあるほど,この数列には色々な性質があるのですが,その中でも算数の問題でも出てくるものをいくつか。

(性質1) 1番目から□番目の項までの和は,((□+2)番目の項-1)。

(性質2) (3×□)番目の項は偶数。

(性質3) (4×□)番目の項は3の倍数。


例えば,(性質3)がどこまでもずっと成り立つのか疑問に思う人もいるかも知れません。
そこで,「剰余系」という考えを使ってみましょう。
整数全体をある整数で割った余りに分類してみるのです。
ここでは,3で割った余りで分類してみましょう(つまり,整数全体を「余りが0」「余りが1」「余りが2」の3グループに分けることになります)。

そうすると例えば
(3で割った余りが1の数)+(3で割った余りが1の数)=(3で割った余りが2の数)
(3で割った余りが2の数)+(3で割った余りが2の数)=(3で割った余りが1の数)
(3で割った余りが1の数)+(3で割った余りが2の数)=(3で割った余りが0の数)(3で割り切れる数)
というようになっていきますね。
この要領で,上記のフィボナッチ数列を3で割った余りで書いていくと,以下のようになります。

1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…

つまり,ずっと「1,1,2,0,2,2,1,0」の繰り返しになることがわかります。
ですので,(性質3)がずっと成り立つことはわかりますよね。
(同じ発想で(性質2)も考えてみてください。また,5の倍数,6の倍数…がどういう規則で現れるかも見てみましょう)。
この剰余系というのもかなり使える便利な発想なので覚えているといいかもしれません。

あ,「パスカルの三角形」の中のフィボナッチ,見つかりましたか?
ヒントは「桂馬跳び」です。
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