2013(H25)入試分析 算数 神戸女学院中等部 PART2

前回に引き続き，神戸女学院中等部の算数の分析です。

では，今回はこの中から7番の問題を取り上げてみます。
(問題)H25　神戸女学院中等部　算数　大問7番
箱の中に1から5までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。この箱の中からカードを1枚ずつ
順に3回取り出します。ただし，取り出したカードは元に戻さないものとします。次に，1回目と2回目に
とりだしたカードに書かれた数字の和を十の位とし，2回目と3回目に取り出したカードに書かれた数字の
和を一の位とする整数を作ります。例えば，1回目に5のカード，2回目に1のカード，3回目に2のカードを
取り出したとき，1回目と2回目に取り出したカードの数字の和は5＋1＝6，2回目と3回目に取り出した
数字の和は1＋2＝3ですから，作られる整数は63となります。このとき，カードの取り出し方を(5，1，2)と
書くことにします。
(1)作られた整数が奇数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。
(2)作られた整数が3の倍数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。
(3)作られた整数が37となるカードの取り出し方は(1，2，5)の1通りで，45となるカードの取り出し方は，
(1，3，2)(3，1，4)の2通りです。作られた整数が70以上になり，その整数を作るカードの取り出し方が
3通りある整数をすべて求めなさい。


(1)取り出した3枚のカードを(A，B，C)とすると，Bが偶数でCが奇数，または，Bが奇数でCが偶数になればOKです。
・Bが偶数でCが奇数のとき
B　C　A
2×3×3＝18通り
・Bが奇数でCが偶数のとき
B　C　A
3×2×3＝18通り
となるので，18×2＝36通りですね。

(2)剰余系を使ってもいいのですが，数字が限られているので逆にややこしくなるかもしれません。
よって，ここではそのまま書き出していきます。
3の倍数ということは，十の位と一の位を足して3の倍数になればよいということです。
(A＋B)＋(B＋C)＝A＋B×2＋Cが3の倍数ということですね。
今回はB×2のところを基準として場合分けしてみましょう。
・B＝1のとき(B×2＝2のとき)
A＋C＝3の倍数＋1　⇒　(A，C)＝(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)　の4通り
・B＝2のとき(B×2＝4のとき)
A＋C＝3の倍数＋2　⇒　(A，C)＝(1,4)(3,5)(4,1)(5,3)　の4通り
・B＝3のとき(B×2＝6のとき)
A＋C＝3の倍数　⇒　(A，C)＝(1,2)(1,5)(2,1)(2,4)(4,2)(4,5)(5,1)(5,4)　の8通り
・B＝4のとき(B×2＝8のとき)
A＋C＝3の倍数＋1　⇒　(A，C)＝(1,3)(2,5)(3,1)(5,2)　の4通り
・B＝5のとき(B×2＝10のとき)
A＋C＝3の倍数＋2　⇒　(A，C)＝(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)　の4通り
となるので，4×4＝8＝24通りです。

(3)この問題に関しては，80台と90台はまず省くことができます。
なぜか？例えば80台を考えてみましょう。

A＋B＝8になる(A，B)の組み合わせは(3，5)と(5，3)しかありません。
さらに，87を作る場合を考えてみると，(3，5)に対してC＝2，(5，3)に対してC＝4とそれぞれ1通りに決まるので，
(A，B)を決める時点で3通り以上ないとお話にならないわけです。よって，80台は全滅。
90台も(A，B)の組み合わせは(4，5)と(5，4)しかないのでダメですね。

つまり，70台だけを考えればよいことになります。
(A，B)の組み合わせは(2，5)と(3，4)と(4，3)と(5，2)の4通り。この中から3通りが生き残ればよいわけです。
Cに入る数を表にして書き上げると次のようになります。



3通りが生き残るのは75と76の場合ですね。

こうやって記事にしてしまうとなんてことなさそうなのですが，まぁ，テストという限られた時間の中では
なかなか正解にはたどり着かないでしょう。特に(2)は剰余系を使うと混乱しそうだし，書き出すと抜けそうだしで
正解率はかなり低いと思われます。

つくづく，今年の受験生にはしんどいテストだったなぁという感想です。

(池)