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2013(H25)年度 入試分析 算数 慶應中等部

2013.02.22 15:36|入試問題分析(算数)
今回は,数理教育研究会の道幸が担当します。
まずは,入試の状況から。

平成23年度入試結果
男子 志願者数971名  合格者数143名  実質競争率6.79倍
女子 志願者数493名  合格者数48名  実質競争率10.27倍

平成24年度入試結果
男子 志願者数878名  合格者数159名  実質競争率5.52倍
女子 志願者数434名  合格者数51名  実質競争率8.51倍

平成25年度入試結果
男子 志願者数816名  合格者数156名  実質競争率5.23倍
女子 志願者数444名  合格者数53名  実質競争率8.38倍

首都圏では,昨年「中学受験バブル崩壊」と言われ,軒並み受験生を減らしました。慶應義塾中等部でも,昨年は志願者数で男子は約100名,女子は約50名減。で,今年はどうだったかというと,上に書いたように,男子は昨年比-62人(志願者数),多少難易度が下がったというところです。女子は昨年比+10人(志願者)。それにしても,関西の学校と比較すると競争率は高く,難関です。

算数について話を進めます。45分100点満点。大問6題,総設問数は20問です。前にも書きましたが,高難度の問題があまり出題されず,少しひねった典型問題の演習量で合否が決まる,つまり,典型問題の処理速度(1問2~2.5分)と精度の高さが求められる入試ですね。
毎年そうですが,最後の方の大問は,やや難度が高く,なかなか手ごわいのではないかと思います。今年でいえば,大問6と大問7ですね。
ここでは,大問7を取り上げましょう。

(問題)2013年度 慶應中等部 大問7
図のような底辺の長さが8cm,高さが5cmの直角三角形Aがあります。この直角三角形Aの底辺の長さを右方向に,高さを上方向にそれぞれ整数で何倍かした新しい直角三角形Bをつくります。次の□に適当な数を入れなさい。
慶應中等部2013 7

(1) 面積が1440cm^2となる直角三角形Bは全部で□種類です。
(2) 直角三角形Bが18種類できるとき,その面積が最も小さいものは□cm^2です。


(1) Aをたて方向に△倍,横方向に□倍すると,Bは5×△×8×□÷2=1440となります。
ここから,△×□=1440×2÷8÷5=72と分かりますから,△と□は72の約数であることが分かります。
△と□の組み合わせを(△,□)と書くと
(1,72),(2,36),(3,24),(4,18),(6,12),(8,9),(9,8),(12,6),(18,4),(24,3),(36,2),(72,1)
の12組(=72の約数の個数)できます。したがって,12種類です。

(2) 以上のように考えると,直角三角形Bが18種類できるということは,△×□の約数の個数が18個あればよい
ということが分かります。
約数の個数は,素数の積で表したときに出てくる(各素数の個数+1)の積でした。
先の72では,72=2×2×2×3×3=2^3×3^2 より,(3+1)×(2+1)=12で12個となります。
18をいくつかの整数の積で表すと
1×18 → ○^17 …ア
2×9 → ○^1×◎^8 …イ
3×6 → ○^2×◎^5 …ウ
2×3×3 → ○^1×◎^2×◇^2 …エ

アでできる最小の数は2^17=131072
イでできる最小の数は3×2^8=768
ウでできる最小の数は3^2×2^5=288
エでできる最小の数は5×3^2×2^2=180

よって,最小の△×□=180となり,5×△×8×□÷2=5×8×180÷2=3600となりますね。
約数の個数の求め方が分かっていても,すぐに解答に行きつけない,練習を要する問題で,
受験生はけっこう苦戦したのではないでしょうか。

おそらく,最後の問題ができなくても合否に大きな影響はなかったと考えられます。
(ただし,そこまでの問題で確実に得点できていないと話になりませんが・・・)
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