2013(H25)入試問題解説 算数 ラ・サール中学校

算数に関する記事がずいぶんとあいてしまいましたので，久々に入試問題からピックアップしてみましょう。

今回はラ・サールの問題です。
(問題)H25　ラ・サール中学校　算数　大問4番
図のように，正三角形の各頂点と各辺のまん中にそれぞれ黒石か白石を置きます。
その際，回転しておなじになるものは同じ置き方とみなします。
たとえばと(●は黒石，○は白石)は同じ置き方です。
このとき，次の問に答えなさい。

(1)黒石が2か所となる置き方は何通りですか。
(2)黒石が3か所となる置き方は何通りですか。
(3)置き方は全部で何通りですか。6か所すべてが同じ色でもかまいません。


場合の数の問題は場合分けの仕方が命です。
今回のような，「回転して同じになるものは同じ置き方になる」というような問題の場合，置く場所を種類分け
することが第一歩になります。
今回は正三角形の頂点になる場所が3つ，辺上になる場所が3つ，大きく分けてこの2種類ですね。
では，頂点になる場所を軸にして場合分けしてみましょう。
(1)黒石2個のうち，頂点に何個置くかで考えます。
・2個とも頂点の場合　必ず隣り合う頂点に置くことになるので，1通りです。


・1個だけ頂点の場合　頂点の黒石は上に固定しましょう。あとはどの辺上に置くかなので3通りですね。
左の図の1つ目と2つ目は回転しても重ならないことに注意！！

・頂点が0個の場合　必ず隣り合う辺上に置くことになるので，1通りです。


よって，1＋3＋1の5通りとなります。

(2)(1)と同様に，黒石3個のうち，頂点に何個置くかで考えます。
・3個とも頂点の場合　全ての頂点に置くことになるので，1通りです。


・2個だけ頂点の場合　1個だけ白になりますので，上の石を白にしましょうか。図のように3通りの方法があります。

先ほど同様，1つ目と2つ目は回転しても重ならないことに注意！！

・1個だけ頂点の場合　頂点の黒石は上に固定しましょう。
これまた，1つ目と2つ目は回転しても重ならないことに注意！！

・頂点が0個の場合　全て辺上に置くことになるので，1通りです。


よって，1＋3＋3＋1の8通りとなります。

(3)(1)(2)で2か所の場合と3か所の場合を出しましたので，黒石の個数で場合分けしましょう。
・黒石が0個の場合　　⇒　　真っ白の1通り
・黒石が1個の場合　　⇒　　黒石を頂点に置くか，辺上に置くかの2通り
・黒石が2個の場合　　⇒　　(1)より5通り
・黒石が3個の場合　　⇒　　(2)より8通り
・黒石が4個の場合　　⇒　　白石が2個ということは，(1)と同じこと。5通り。
・黒石が5個の場合　　⇒　　白石が1個ということは，黒石1個と同じはずなので，2通り。
・黒石が6個の場合　　⇒　　白石が0個ということは，黒石0個と同じはずなので，1通り。

よって，1＋2＋5＋8＋5＋2＋1＝24通りとなります。

よく見るタイプの問題なのですが，「場合分けの仕方が大切だ」という所に意識が行かないといつまでも
できるようにならない問題です。闇雲に書きだすのではなく，まずは「これとこれとこれの場合に分ける」
と考えてから，それぞれについて何通りあるかと考えるようにしましょう。

普段の授業も，答えの出し方よりも，「どのように場合分けをすればよいか」に意識を向けながら
授業を受けると効果的ですよ。(池)