2014(H26)清風南海入試プレテスト

11月30日に清風南海中学校でプレテストが行われましたので，そこから1問取り上げてみます。

【3番】次の図のような正方形ABCDがあり，正方形の内部に辺ABまたは辺ADに平行な線を引き，
(ア)～(オ)の部分に分けます。(イ)の面積は200㎝^2，(エ)の面積は160cm^2，(オ)の面積は
240㎝^2です。DE，FG，HC，CI，FMの長さがすべて等しいとき，次の問いに答えなさい。

(1)J，Kを結ぶとき，四角形JKLMの面積を求めなさい。
(2)AE：EDを最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3)正方形ABCDの面積を求めなさい。
(4)(ウ)の面積を求めなさい。
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(1)
J，Kを結べと書いてあるので，結んで長方形JKLMを作りましょう。
この長方形の面積を下の図のように(カ)とします。
四角形ABCDは正方形ですから，下の図の×印の長さが等しいこともわかりますね。
すると，(イ)－(カ)の面積と(エ)＋(カ)の面積が等しいことになります。
つまり，200－(カ)＝160＋(カ)ですから，
(カ)×2＝200－160＝40㎝^2
(カ)＝40÷2＝20㎝^2となりますね。


(2)
引き続き，上の図です。
(イ)－(カ)の長方形と(オ)の正方形はいずれも縦の長さが○印ですから，
この2つの四角形の面積比がそのまま横の長さの比，つまりAE：EDとなります。
よって，(200－20)：240＝3：4となります。

(3)
さらに引き続き，上の図です。
(エ)＋(オ)＋(カ)の面積は160＋20＋240＝420㎝^2です。
先ほど，AE：ED＝3：4と出しましたから，
正方形ABCDは420×7/4＝735cm^2となります。

(4)
最後は下の図のように補助線を入れ，長方形(キ)を作りましょう。
正方形FGOMと正方形KHCIはいずれも一辺の長さが○印なので，
(キ)の面積は240－180－20＝40cm^2です。
JK：KN＝長方形JKLM：長方形KNOL＝20：40＝1：2ですから，
(ク)と(ケ)の面積比も1：2ですね。
よって，(ク)の面積は180×1/3＝60cm^2です。
なぜ(ク)を出したかというと，(ウ)の面積は実は(ク)の面積と等しいからです。
JK＝○印－KN＝NHですからね。
よって、求める面積は60cm^2です。


最近、面積迷路というパズルがよく本で出されており、私もよく解いていたのですが、
そのブームに乗った出題というところでしょうか。
興味のある方は本屋さんで探してみるといいかもしれません。
低学年の方でも楽しめますよ。
(池)