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2014(H26)大阪桐蔭入試プレテスト

2013.12.08 17:34|算数雑談
12月7日に大阪桐蔭中学校でプレテストが行われましたので,そこから1問取り上げてみます。

【6番(3)】1辺の長さが4cmの立方体ABBCD-EFGHがあり,その6つの面を赤くぬります。
3点B,D,Eを通る面を面①,3点C,A,Fを通る面を面②とします。また,辺AEの上にあり,
Aから3㎝の点をKとします。立方体を面①で切ったときにできる2つの立体のうち,体積の
大きい方の立体をV1とし,V1を面②で切ったときにできる2つの立体のうち,体積の大きい方の
立体をV2,小さい方の立体をV3とします。さらに3点K,H,Gを通る面でV2を切ったとき,
辺EFを含む方の立体をV4とします。次の問いに答えなさい。
ただし,角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。
(3)V4の体積を求めなさい。
大阪桐蔭プレ2014-00
まずは,3回の切断面を図に書き込んでみましょう。
大阪桐蔭プレ2014-01
このときに一番下に残った立体の体積を求めればよいわけですが,これだけ線が描かれると混乱する人が
出てきます。このようなときには,それぞれの切り口がどの面に描かれたかを意識するとよいでしょう。
ここでは分かりやすくするために,
前の面の切り口は水色右の面の切り口は赤色左の面の切り口は緑色にしてみました。
大阪桐蔭プレ2014-02
同じ色の線同士は同一平面上に乗っているので,●の所は交差します。
●同士のうち,同じ切断面上に乗っているものは結ぶことができますので,(←これ大事!!)
これを手がかりに考えると,V4は下のような立体になることが分かるかと思います。
大阪桐蔭プレ2014-03
この立体の体積は,左下の図の三角柱から右下の図の三角すい2つを切り取ればよいですね。
大阪桐蔭プレ2014-04大阪桐蔭プレ2014-05
2つの三角すいは同じ体積ですので,右側の三角すいの体積を求めましょう。
前の面から見た図と,右の面から見た図は下のようになりますので,
大阪桐蔭プレ2014-06
三角すいABC-Fの体積から隣辺比を利用して三角すいXYZ-Fの体積を求めることができますね。
大阪桐蔭プレ2014-07
三角すいABC-Fの体積は4×4×4×1/6=32/3cm^3ですから,
三角すいXYZ-Fの体積は32/3×1/5×1/4×1/4=2/15cm^3となります。
三角柱の体積は4×1÷2×4=8cm^3なので,
V4の体積は8-2/15×2=116/15cm^3となります。

立体の切断で混乱する人は,切断面を書きこんだ後,どこの部分が残るのかがわからないという人が多いです。
上で色分けをしたように,同一平面上で交わる切り口に注目するということが抜けてしまっている人が多いので,
今一度,入試までに確認しておきましょう。(池)
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