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2014(H26)入試分析 灘中学校(第2日) 算数 PART1

2014.01.26 16:24|入試問題分析(算数)
さて,今回から灘中学校2日目です。

(問題)H26 灘中学校・2日目算数 大問4番
4桁の整数ABCDに次の①,②,③の「操作」を施して新しい整数を作ります。
① A×A,B×B,C×C,D×Dをそれぞれ計算する。
② ①でできた4個の数をそれぞれ14で割り,余りを求める。ただし,0を14で割ったときの余りは0である。
③ ②で求めた余りを順に並べて整数をつくる。
例えば,右のように,2014に「操作」を施すと4012が作られ,1513に「操作」を施すと11119が作られます。
2014灘2日目4番01
(1)次の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。
2014灘2日目4番02
(2)「操作」を施しても値が変化しないような4桁の整数は全部で何個ありますか。
(3)「操作」を施すと値が小さくなるような4桁の整数は全部で何個ありますか。
(4)「操作」を施すと値が大きくなるような4桁の整数は全部で何個ありますか。


(1)はそのまま計算するだけですね。
36÷14=2あまり8 ⇒ 8
49÷14=3あまり7 ⇒ 7
64÷14=4あまり8 ⇒ 8
81÷14=5あまり11 ⇒ 11

この表を完成させた時点で,10個の数字が大まかに4種類に分類できることに気づきますか?
A:操作後,変わらないもの 0,1,7,8
B:操作後,小さくなるもの 4
C:操作後,大きくなるもの(桁数は1桁のまま) 2,3,6
D:操作後,大きくなるもの(桁数が2桁になる) 5,9
これを使って,(2)以降を解いてみましょう。

(2)変化しないということは,使ってもいいのはAタイプの0,1,7,8です。
千の位に0は使えないので,3×4×4×4=192個ですね。

(3)小さくなるということは,桁数が増えるような5,9は絶対に使えません。
上の位が小さくなってしまえば(つまりBタイプであれば),下の位は桁数が増えさえしなければ(ABCのいずれでも)OKです。
それぞれ,左から順に千,百,十,一の位で()内のタイプの数を使えると考えると,
(B)(ABC)(ABC)(ABC) 1×8×8×8=512個
・(Aの0以外)(B)(ABC)(ABC) 3×1×8×8=192個
・(Aの0以外)(A)(B)(ABC) 3×4×1×8=96個
・(Aの0以外)(A)(A)(B) 3×4×4×1=48個
よって,512+192+96+48=848個となります。

(4)全ての4桁の数(9×10×10×10=9000個)から変化しないものと小さくなるものを除けば大きくなるものが残ります。
9000-192-848=7960個となります。

10個の数をバラバラに考えるのではなく,4つのグループに分けるというのがポイントですね。
わったときのあまりを扱う問題のときには,よくこのグループ分けの考え方は利用しますので,
受験生は覚えておくとよいですよ。(池)
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