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2014(H26)入試分析 灘中学校(第2日) 算数 PART2

2014.01.27 19:53|入試問題分析(算数)
前回に引き続き,灘中学校1日目の問題です。

(問題)H26 灘中学校・2日目算数 大問5番
(1)右の図1のように,長方形ABCDがあります。点Eは辺ADを1:3の比に分けています。
また,点Fは辺BCのまん中の点です。図の斜線部分で示した,三角形AFDと三角形BCEの
共通部分の面積は,長方形ABCDの面積の何倍ですか。
2014灘2日目5番01
(2)右ページの図2は,1辺の長さが15cmの立方体です。辺AE,BF,CG,DHには1cm刻みで
0から15までの目もりがついています。面ABCD上の点Pは対角線ACを1:3の比に分けています。
また,面EFGH上の点Qは対角線EGのまん中の点です。
四角すいP-EFGHと四角すいQ-ABCDの共通部分を立体Vとします。

(ア)次の目もりのついた4つの点を通る平面でVを切ると,切り口は正方形になります。
その1辺の長さは何cmですか。空欄に数を入れなさい。
1の目もり……1辺の長さが1cmの正方形
5の目もり……1辺の長さが□cmの正方形
7の目もり……1辺の長さが□cmの正方形
9の目もり……1辺の長さが□cmの正方形
(イ)Vの体積を求めなさい。
2014灘2日目5番02


(1)三角形EBCや三角形FADから不要部分を引いてもよいですが,今回はEFで2つに分けて,それぞれの面積を考えます。
まず,赤の相似に目をやると,相似比は①:②ですから,EG:GBも1:2となります。
三角形EBFは長方形全体の1/4ですから,三角形EGF=1/4×1/3=1/12ですね。
同様に,青の相似に目をやると,相似比は③:②ですから,EH:HCも3:2,
三角形EFCは長方形全体の1/4ですから,三角形EHF=1/4×3/5=3/20となります。
よって,求める部分の面積は1/12+3/20=7/30となります。
2014灘2日目5番_03

(2)(ア)「切り口は正方形になります。」の一文は受験生には非常にありがたいです。
この一文がなければ,(2)にチャレンジすることができない子がかなりの数になったと思われます。
まず,立方体の四頂点を結んだ長方形AEGCを下の図のように書き出してみましょう。
2014灘2日目5番_04
(1)の図と全く同じ図であることがわかりますね。
立方体の高さが15cmですから,AP,PC,EQ,QGのいずれも15の倍数になるようにしておけば計算が楽になりそうです。
今回考える四角すいの共通部分というのが(1)の斜線部分と同じ,四角形PIQJということになります。
この平面図で表される横方向の長さが切断面の正方形の対角線を表します。
例えばAC(=<60>)が対角線の場合は,一辺が15cmの正方形になります。

また,1の目もりで切ったときの正方形の対角線は(あ)のところで,<60>×1/15=<4>ですから,
一辺の長さは15×<4>/<60>=1cmとなるわけです。問題文とつじつまが合っていることが確認できますね。

5の目もりで切ったときの正方形の対角線は(い)のところで,<60>×5/15=<20>ですから,
一辺の長さは15×<20>/<60>=5cmです。

9の目もりで切ったときの正方形の対角線は(え)のところで,<60>×6/15=<24>ですから,
一辺の長さは15×<24>/<60>=6cmです。

7の目もりで切ったときの正方形の対角線は(う)のところですが,これは(い)と(え)のちょうど間なので,
(<20>+<24>)÷2=<22>,正方形の一辺も(5+6)÷2=5.5cmと出せますね。

(イ)切断面(い)より上の部分切断面(え)より下の部分切断面(い)と切断面(え)の間 に分けましょう。

切断面(い)より上の部分 ⇒ 四角すいになります。
  底面が一辺5cmの正方形,高さが5cmなので,5×5×5÷3=125/3cm^3
切断面(え)より下の部分 ⇒ 四角すいになります。
  底面が一辺6cmの正方形,高さが6cmなので,6×6×6÷3=72cm^3
ここまではスムーズに行けるでしょう。
切断面(い)と切断面(え)の間 ⇒ これは四角すい台になります。
  下の底面が一辺6cmの正方形,上の底面が一辺5cmの正方形,高さが4cmです。
  切り取られた部分と切り取る前の四角すいは,相似比が6:5,体積比が(6×6×6):(5×5×5)=216:125ですから,
  4×6=24cm … 切り取る前の四角すいの高さ
  6×6×24÷3×(216-125)/216=364/3cm^3 となります。

よって,求める立体の体積は,125/3 + 72 + 364/3 = 235cm^3 ですね。


今回の立体図形の問題をいかに平面図形上に落として処理できるかという力が問われている問題でした。

立体図形の問題の中には,「完成図をしっかりとイメージしないと解けない」という問題もありますが,
「ぼんやりとしたイメージ+平面図形上でいかに処理をするか」ということを念頭に置いて普段から
学習しておかないと,とても取り組めないというような問題が増えつつあります。

「平面図形上で処理をする」をキーワードに,立体図形の学習に励んで下さいね。(池)
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Comment

積分で体積を求める問題の小学生バージョン♪

複雑な立体図形の体積を,『断面積の関数』を導出してから,それを『積分』するというのは,大学入試の数学では定番の手法ですが,本問はそれを『小学生』でも分かるように誘導してきたイメージの問題と言えるかと思います。今後,このようなアプローチをする求積問題が増加しそうな感じがした『灘中2日目』の力作問題でした。

No title

>ウルトラマンさん
「灘で出したから、うちも出す」
のノリで、優しさのこもった問題文も
なしに出されたらひどい話ですけどね…

でも、そういうことが起こりそうな予感も…
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