H22年度入試問題分析(神戸女学院中・算数)Part3

今日は神女のこの問題。

5番
点P，点Qは1辺10cmの正方形ABCDの辺上を移動します。頂点Aを同時に出発して，Pは毎秒4cmで，Qは毎秒1cmでそれぞれ矢印の向きに移動します。Qが頂点Aに戻るまでの時間内で次の(1)(2)を考えます。
(1)　三角形APQの面積が最も大きくなるのは出発してから何秒後ですか。すべての場合を求めなさい。
(2)　直線PQが正方形ABCDの面積を二等分するのは出発してから何秒後ですか。すべての場合を求めなさい。



この「すべての場合を求めなさい」という設問も神女でよく出てきます。

さて，以前から試験における時間配分の大切さについて話してきましたが，この問題，(1)よりも(2)の方が断然簡単なのはお分かりでしょうか？

まずは(1)。
「正方形内で3点をとって三角形の面積が最大になるのは，三角形のうち１辺が正方形の1辺と同じになり，もう１点がその辺の対辺上(両端含む)にある場合(このとき，面積は正方形の半分)」なので，点Pが正方形の頂点と重なる2.5秒刻みで図を描いて一つ一つ確認しなければなりません(点Qが正方形の頂点に来るときは，必ず点Pも正方形の頂点に来ているのでこれは別途調べる必要なし)。40秒後は3点が1点で重なるから考慮から省き，動きの対照性(□秒後の図と(40－□)秒後の図では，対角線ACを軸として線対称になりますね)を利用するにしても全部で8パターン。ちょっと面倒ですよね(ちなみに答えは，12.5秒後と27.5秒後です)。

ついで(2)。
1直線で長方形・正方形の面積を二等分するには，その直線を，長方形・正方形の対角線の交点を通るように引けばよいというのは基本ですね。ですので，これは点Pと点Qがその対角線の交点に関して点対称の位置にくればよい，つまり正方形の周上ではかった両点間の距離が20cmとなればよいわけです。あとは点Qの20cm先を点Qと同じ速さで進む影武者の存在を考えればあとは単なる「N回目の出会い」の問題です(ちなみに，答えは4秒後，12秒後，20秒後，28秒後，36秒後)。

問題文は試験開始の時点で必ず全体に目を通すべきですね。この問題なら，(2)に先に手をつけて(1)は後回しにすべきでしょう。

ふぅ…。

さぁ，次からはまた違う学校の入試問題にいきましょうか！