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2014(H26)入試分析 東大寺学園中学校 算数 PART2

2014.02.01 09:51|入試問題分析(算数)
(問題)H26 東大寺学園中学校 算数 大問4番
右の図のように点Oを中心とする円と,その円周を12等分した点AからLまでがあります。点Pと直線lは赤と青の2種類のスイッチと連動して動くものとします。
東大寺2014 4の1

・最初,点Pは点Aにあり,直線lは直線BHと一致している。
・赤のスイッチを押すと,直線lを対称の軸として,点Pは対応する点に動く。
・青のスイッチを押すと,直線lが点Oを中心に時計回りに30°回転した後,
直線lを対称の軸として,点Pは対応する点に動く。
たとえば,赤青青とスイッチを押すと,点PはA→赤→C→青→C→青→Eと動きます。
このとき,次の問いに答えなさい。
(1)2回スイッチを押した後,点Pはどの点にありますか。ありえるすべての点を答えなさい。
(2)1回目に赤のスイッチを押し,合計5回スイッチを押した後,点Pが点Gにあるような
スイッチの押し方をすべて答えなさい。答は「赤青青赤赤」のように答えなさい。
(3)13回スイッチを押した後,点Pが点Eにあるようなスイッチの押し方は全部で何通りありますか。


⑴赤赤,赤青,青赤,青青の4通りあります。
赤赤 A→C→AとAに戻る。赤青 A→C→CとCに移動。青赤 A→E→AとAに戻る。青青 A→E→CとCに移動。
よって,AとC
⑵次の図のような樹形図を描いて調べてみます。
東大寺2014 4の2
全部調べても,2×2×2×2=16とおりですから,きちんと丁寧に調べましょう。
赤赤青赤青,赤赤青青青,赤青青赤青,赤青青青青の4つです。
⑶問題はこの⑶ですね。13回ということですから,もしすべて調べつくすとなると,2^13=8192通りあることになり,ほぼ不可能…
何か工夫が必要です。
そこで,⑴がヒントになります。2回スイッチを押すと,点PはAからCに移動するか,もとのAにもどるかのどちらかでした。
実は,スイッチを2回押す操作を1セットとして考えると,㋐赤赤と青赤は元に戻る(点は移動しない),㋑赤青と青青は2目盛り時計回りに進む(角度で言うと60度時計回りに回転)ということになります。
1回目赤を押すと点PはCに移動。そこから(13-1)÷2=6セットであと2目盛り進めばいいのですから,㋐から5セット,㋑から1セット選んで並べるといいのです。これは,㋑をどこで選ぶかも考えて,2^6×6=384通り
1回目青を押すと点PはEに移動。残り6セットで,(a)そのままEにとどまるか,(b)1周して再びEに来るために12目盛り進むかすればいいですね。
(a)の場合は㋐から6回選ぶので2^6=64通り,(b)の場合は㋑から6回選ぶので同じく2^6=64通りあります。
すべて合計すると,384+64×2=512通りになります。

以上で解説は終了ですが,この問題,かなりの難問です。⑶は解けなくても気にすることはありません。むしろ⑴や⑵を確実に得点していくために,きちんと整理して数え上げるという練習を日ごろから行うことで,最低限必要な点数は必ず得られます。ふだんの学習姿勢で⑴や⑵が正解できるようにしておくことが大切でしょう。(道)

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