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2014(H26)入試分析 東大寺学園中学校 算数 PART3

2014.02.03 20:43|入試問題分析(算数)
(問題)H26 東大寺学園中学校 算数 大問5番
右の図のようなAB=2cm,AD=3cm,AE=4cmの直方体ABCD-EFGHがあります。このとき,次の問いに答えなさい。
東大寺2014 5の1

(1)点QがCH上を自由に動くとき,AQをAR:RQ=2:1に分ける点Rが動くことのできる部分の長さは,CHの何倍ですか。
(2)点PはAF上を自由に動き,点Qは点Pの動きと無関係にCH上を自由に動きます。PQをPR:RQ=2:1に分ける点をRとするとき,点Rが動くことのできる範囲は,どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また,その図形の面積を求めなさい。
(3)①三角すいACFHの体積を求めなさい。ただし,三角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。
②三角すいACFHと三角すいBDEGの共通部分(どちらの三角すいにも含まれている部分)の体積を求めなさい。
(4)(2)で求めた図形のうち,(3)の②の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。


東大寺の最後大問5は立体切断に関係する問題です。
全5問のうち,3問はなかなかの難問と言っていいでしょう。ただ,⑴も空間での点の移動を考える問題なので,受験生は戸惑うかもしれません。
東大寺2014 5の2

⑴図1-1で,赤で記入した線分STの長さを求めることになります。三角形ASTと三角形ACHは相似で,辺の比が2:3なので,ST=CH×2/3より,2/3倍です。
⑵図1-2のように,点PをFに固定し,点QをCH上で移動させると,Rは図のUV上を通過します。
さらに,点QをCに固定し,点PをAF上で移動させるとRは図1-3のSU上を通過,点QをHに固定し,点PをAF上で移動させるとRは図1-4のTV上を通過します。
求めるRの移動範囲は,ST,UV,SU,TVの4つの線分に囲まれた部分ということになります。
ここで,CHとSTとUVは平行,AFとSUとTVは平行ですから,四角形STVUは平行四辺形になります。
東大寺2014 5の3
このとき,4つの点S,T,V,Uは正面から見ると図2-1のようになっていて,側面のDCGH側から見ると,図2-2のようになっています。したがって,面積は,2×4-(2×1/3)×(4×1/3)-(2×2/3)×(4×2/3)=32/9(cm^2)となります。
⑶①三角すいACFHは直方体から,三角すいAHCD,ACFB,CHFG,AHFEの4つの三角すいを切り取った残りの立体です。
したがって,体積は,2×3×4-2×3×1/2×4×1/3×4=8(cm^3)ですね。(図3-1)
東大寺2014 5の4
②三角すいACFHと三角すいBDEGの共通部分は次のように考えると考えやすいのではないでしょうか。
三角すいACFHは,直方体を面ACH,面ACF,面CHF,面AHFで切って,直方体の頂点が入った4つの三角すいを取り除いた残りの立体です。
また,三角すいBDEGは,直方体を面BDE,面BDG,面DEG,面BEGで切って,直方体の頂点が入った4つの三角すいを取り除いた残りの立体です。
ですから,求めたい共通部分の立体は,直方体を上記8面で切って不要部分を取り除いた立体です。
図3-2の2面できれば,切断面にオレンジ色の辺が出現します。
図3-3の2面で切っても,同じようにオレンジ色の辺が出現します。
上側の4面できると,図3-4のようになり,さらに下側で残った4面を切れば,図3-5のような8面体になります。この8面体が共通部分になります。
東大寺2014 5の4の2
体積は,図3-5の赤く色を付けた部分を底面と考えると,四角すい2個をくっつけた形になりますね。
この赤い部分は,真上から見ると図3-6のようなひし形ですから,長方形の面積の半分です。
ですから,この立体の体積は,2×3×1/2×4×1/3=8(cm^3)です。
⑷平行四辺形STVUを含む面で直方体を切ると,切り口は次の図4のようになっています。
東大寺2014 5の5
オレンジ色の部分が八面体に含まれる部分になりますから,面積は平行四辺形STVUの1/2ですね。
32/9×1/2=16/9(cm^2)となります。

東大寺学園の問題を大問3問,順に解説しましたが,どの問題もかなり手間も時間もかかり,しかも一筋縄ではいかない難問ぞろいでした。何度も書きますが,こういった問題にあたったときは,ひとつひとつ丁寧に順に解いていくということも大切ですが,何よりもまず取れるところを確実に取りきること,これが合格するために最低限しないといけないことでしょう。今回の大問5で言えば,⑴や⑶の①でしょう。そのうえで,残りの問題にチャレンジしましょう。
未来の受験生の健闘を祈ります。(道)

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