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2014(H26)入試分析 甲陽学院中学校(第1日) 算数

2014.02.09 12:47|入試問題分析(算数)
さて,今回は甲陽1日目の分析をしてみましょう。

問題数は大問6問で,例年と同様でした。形式や配列も同じような感じなので,受験生はとまどうことなく受験に臨めたと思います。
1日目の算数の受験者平均は100点満点で60.3点。2日目も61.4点と,ここ数年でもっとも高くなりました。
問題も,見慣れた感じの問題が多く,それも平均点を押し上げる要因の一つになったのでしょう。

今回はこの1日目の問題から,6番の問題を取り上げてみたいと思います。

(問題)H26 甲陽学院中学校(1日目) 大問6番
3けたの整数の中で,各位の和が各位の積以上となるものを考えます.
⑴このような3けたの整数のうち,百の位が9であるものは何個ありますか.
⑵このような3けたの整数のうち,百の位が1であるものは何個ありますか.
⑶このような3けたの整数は全部で何個ありますか.


[解き方]
⑴3けたの整数を9ABとすると,A,Bどちらかに0が入っていれば9×A×B=0となり,9+A+Bより小さくなります。
この場合の(A,B)の組み合わせは,(0,1)~(0,9),(1,0)~(9,0),(0,0)の19通りあります。
(0を使わない2数の組み合わせなので,10×10-9×9=19通りとしてもいいですね。)
次に,A×B=1の場合は,AもBも1になるので,9×A×B=9となり,9+A+Bより小さくなります。ですから,この場合,1通り。
A×B=2のとき,9×A×B=18となりますが,この場合,A+Bの組み合わせは,1+2か2+1ですから,9+A+B=12となり,18以上にはできません。
A×B=3のときは,9×A×B=27となり,9+A+B=27にするためにはAもBも9でないといけませんから,これは不適。
A×Bが4以上のときは,9×A×B=36以上となり,9+A+Bでは作れませんね。
以上より,19+1=20通りあります。

⑵3けたの整数を1ABとすると,1+A+B≧1×A×Bとなるためには,まず,A,Bいずれかに0か1が含まれる場合が考えられます。この場合の(A,B)の組み合わせは,(0,1)~(0,9),(1,0)~(9,0),(0,0),(1,2)~(1,9),(2,1)~(9,1),(1,1)の36通りあります。
(A,Bに入るすべての数字の組み合わせから,0と1を使わない組み合わせを引いて求めてもいいですね。
10×10-8×8=36通りとなります。)
これ以外の場合ももれなく調べないといけません。他に(2,2),(2,3),(3,2)の3通りもあるので,36+3=39通りです。

⑶0をふくむものは,100~999の900個から,0を含まないもの9×9×9=729個引けばいいので,900-729=171通り,
また,1を2個含むものは,11□,1□1,□11の形で,□に2~9が入るものと111で8×3+1=25通り,
1と2と2のもの3通り,1と2と3のもの6通り。以上合計すると171+25+3+6=205通りとなります。

時間内にどれだけきちんと整理して数え上げができるかを問われているような出題です。スマートな解き方も大切ですが,きちんと一つ一つの数え上げで十分得点が期待できる問題です。ふだんから整理をしっかり行い,そのうえで丁寧に数え上げていくという練習もやっておきたいものです。

ところで,今年の甲陽の1日目,比較的取り組み易い問題が並んでいました。算数の合格者平均が2日間のトータルで140点弱,ほぼ7割ですから,1日目は75点を目指したいところでしょう。(道)
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