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2014(H26)入試分析 六甲中学校(B日程) 算数 PART1

2014.02.17 21:14|入試問題分析(算数)
六甲のB日程の問題です。
昨年は受験者平均が78.9点/150点,合格者平均が102.6点/150点でした。今年の分は未公表ですが,おそらく昨年並みではないかと思います。
問題として目新しく感じたのは1枚目大問3の面積の問題と大問6の辺の比と面積の問題,それと2枚目の大問8の時計算。
特に,8の時計算の問題はかなりの難問であったように思います。
それではその大問8をやってみましょう。
(問題)H26 六甲中学校(B日程) 大問8番
長針が7cm,短針が6cmの時計があります。2本の針の先をまっすぐ結んで間にできる図のような三角形を考えて,5時10分にできる三角形と同じ面積の三角形ができる時刻にチャイムを鳴らします。5時10分に鳴らすチャイムを1回目とします。次の⑴~⑶の問いに答えなさい。ただし,円周率は22/7としなさい。
⑴ 5時から11時までの6時間に,鳴らすチャイムの回数は全部で何回ですか。
⑵ 1回目のチャイムから2回目のチャイムまでの間に,長針が通過してできるおうぎ形の面積は何cm^2ですか。
⑶ 8回目のチャイムから11回目のチャイムまでの間に,短針が通過してできるおうぎ形の面積は何cm^2ですか。

六甲B2014 8の1
5時10分の時の長針と短針の作る小さいほうの角は95度です。ですから,長針と短針の作る角が95度になるとチャイムが鳴ります。この問題の1つ目のポイントは,この場合の他に,面積が等しくなるときがあれば,その角度を考えるということです。これについては,次のように考えるといいでしょう。
底辺を短針と考えて固定し(図のOC),長針OAを徐々に回転させてみます。すると,長針が図のOBの位置に来た時も面積が等しくなることが分かります。
六甲B2014 8の2
つまり,角ア=角イのとき,三角形AOCと三角形BOCは高さ(AH1とBH2)が等しくなり,面積も等しくなります。
このときのイの角度は,アと同じで180-95=85度になります。
つまり,長針と短針が作る角が95度の時と85度のときに面積が等しくなってチャイムが鳴ります。

⑴ 5時から11時までの間で時計の長針と短針の作る角が85度と95度になる回数を求めたらいいですね。
長針と短針の間の角は720/11分周期で戻ってくる(1周期は150°から0°まで減って,また180°まで増えてから150°に戻るまで)ので,5時~11時の360分の間に,360÷720/11=5.5周期入ります。
85度や95度になるのは1周期に4回ありますね。5周期では,4×5=20回あります。
残り0.5周期であと2回あるので,20+2=22回になります。

⑵時計の長針と短針のつくる角が,チャイムの鳴る1回目の95度から2回目の85度になるまでの間(☆)に短針が進む角度を考えましょう。
☆にかかる時間は(95-85)÷5.5=20/11分です。その間に長針が進む角度は6×20/11=120/11度
ですから,長針の動いた面積は,7×7×π×120/11×1/360=7×7×22/7×120/11×1/360=14/3cm^2になります。

⑶チャイムが鳴るときの長針と短針の作る角度は次の4つに分類できます。
長針が短針の95度手前 1回目,5回目,9回目 ,・・
長針が短針の85度手前 2回目,6回目,10回目,・・
長針が短針の85度先  3回目,7回目,11回目,・・
長針が短針の95度先  4回目,8回目,12回目,・・
ですから,8回目から11回目ということは,短針の95度先にいた長針が,ぐるっと回って短針を追い越し,短針の85度先にくるということです。このとき,長針は短針より,360-95+85=350度多く動くことになります。
時間にすると,350÷5.5=700/11分
この間に短針の進む角度は,0.5×700/11=350/11度ですね。
よって短針の動く面積は,6×6×π×350/11×1/360=6×6×22/7×350/11×1/360=10cm^2になります。
とても手間のかかる問題ですが,答えをみるとあっさりしています。何とも六甲Bらしいと言えばそうなのかもしれないという問題でした。(道)
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六甲らしい学習効果の高い良問♪

一昨年はかなり難しくてさすがに灘/甲陽落ちのリベンジ組みしか対応不可能だった六甲B入試でしたが,去年/今年と2年連続で六甲A入試リベンジ組みでも十分に戦うことのできる問題だったなぁ~というのが今年の問題を初見で解いたときの印象です。(六甲A入試のときと同様,1/23(木)の13:00に事務室で試験問題をもらってから,阪急の駅まで続く坂道を,途中こけそうになりながらも,立ち歩きしながら,ゴリゴリと六甲Bの問題を解いておりました(^^♪)

細かく見ていくと,さすがに六甲Aよりかは一問一問毎の難易度が若干上がっていることは確かではありますが,どの問題についても特に『難問(奇問)』という問題はなく,一度はどこかで見たことがありそうな問題で,受験生諸君は十分に実力を発揮できたかと思います。

ちなみに,初見で六甲Bの問題を解いたときの感想は以下の通りです。
【1】⇒いつもどおりハードな計算。立ち歩きしながらの暗算は無理なので,パス
【2】⇒集合がらみの鶴亀算と気づけば楽勝ですが,【1】のあとに,気づけたかどうか。いきなり実力差が出そう。
【3】⇒なかなか斬新な図形と比の問題。三角形の面積比をうまく底辺の比に持ち込めたかどうか。この辺ですでにギブアップモードの受験生も発生?
【4】⇒【3】で調子を崩されたかと思ったら,ごく普通の速さと比の問題。ここは確実にゲット
【5】⇒類題練習量が差を分けそうな感じもしますが,ここで落とすと致命的。しっかりと展開図を書いて,相似比をおっかけてチョン。
【6】⇒いかにも六甲らしい思考力型の図形の問題。(カ)は必答ですが,(オ)は『高さの変化量』の考え方が定着していないと厳しいかと思われます。灘中からのリベンジ組みは灘中1日目の【8】で経験済みなのでしっかり解けたかもしれません。
【7】⇒【6】で調子を狂わされてやけをおこしそうになった受験生もいたかもしれませんが,またまたごく標準的な仕事つるかめ算で一安心♪。ここはさすがにゲットでしょう。
【8】⇒そして,今年の六甲Bを象徴する角速度(時計算)の問題。もちろん,95度と85度の量パターンを考慮しないと全滅することは確かであると同時に,それでも地道に調べ上げるのは結構しんどい問題。私はこの手のタイプの問題は,『横軸に時間,縦軸に長針と短針の間の角のうちの小さい方』をとったようないわゆる『ダイヤグラム』を書いて条件整理するようにしています。すると,結構視覚的に分かりやすいかと思います。神女対策で,時計算ダイヤグラムを絡めた問題を練習していれば,そのような発想もできたかもしれませんが,それでも厳しい問題であることは確かです。ただし,学習効果の極めて高い問題で,『六甲Bで1問取り上げて下さい』とオファーがあれば,私もこの問題を取り上げたかと思いますし,テキスト/カリキュラムにも入れたい問題です。
【9】⇒フィナーレは去年に引き続き『容器と水量』。これも苦手とする生徒が多数ですが,最低でも(1)(2)は取りたいところです。

以上,総括すると,『山あり谷あり』の非常に六甲らしい問題のセットだったと思います。途中,何度かくじけそうになった受験生もいるかと思いますが,『なにくそ!』と粘り強く問題と向き合って,取れるべきところをしっかり獲得し,合格点はやはり100/150点ぐらいかなぁ~という印象です。

「崖っぷち」受験生にとってはきついかも

いつもながら的確な講評、ありがとうございます。
まさに「山あり谷あり」という問題セットでした。
大問3でムムム・・・となって、大問6でエエ??となって大問8で???となりそうなところを、うまくそれ以外の問題で気力も含めてカバーできれば、それなりに点数をまとめられそうな内容でした。要は、時間いっぱいまで正気を保って問題に取り組めたかという気力と粘りのあるもの勝ち。そういう意味では、あとがない「崖っぷち」受験生にとってはやはりきつい内容と言えるのではないでしょうか。
しかし、先に挙げた3題は、六甲らしい、良い問題ではありました。
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