2014(H26)入試分析 開成中学校 算数
2014.02.19 15:41｜入試問題分析(算数)｜
さて，関西の最難関，難関とよばれる学校も一通り目を通しましたので，そろそろ関東の学校にまいりましょう。
今回は開成中学校の入試問題に目を向けてみます。
問題の分量は大問4題、小問数は11題。
64.6⇒72.1⇒55.7⇒68.3⇒61.9
ここ5年の合格者平均を見ていると，3年前の上がり過ぎと2年前の下がり過ぎがあるので安定していないように見えますが，
学校側としては65点あたりに落ち着いてくれればという風に考えていそうですね。
つまり，7割が目標点となりそうです。
小問3つ間違いに抑えたいところですから，立体図形がNGの子にはかなりきついテストでした。
今回は，大問4を取り上げたいと思います。
(問題)H26 開成中学校 算数 大問1番
図1のように1から8までの数字がかかれている8枚の正三角形を用いて，図2のような立体を作ります。ただし，図1
の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Aまたは点Fのどちらかに重ね，すべての数字が表から見えるようにします。
また，立体の6個の頂点A，B，C，D，E，Fについて，それぞれの頂点に集まっている4枚の正三角形に
書かれている数の合計はすべて同じになっています。
(1)1つの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。
(2)辺BCを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合計と，辺DEを1辺とする2枚の正三角形に
書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の空欄をうめなさい。
『どちらも[ 空 欄 ]すると，同じ値になるから。』
(3)三角形ABCに書かれている数が1であるとします。8が書かれている三角形として可能性があるものを
すべて選び，解答欄の三角形を○で囲みなさい。
(4)この立体の展開図で，1，2，3の書かれている三角形の配置が図3のようになるとき，他の数字を
向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。
(1)Aに集まっている4面とFに集まっている4面，この8面は重複がありません。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36を2つの頂点で分け合っているわけですから，36÷2＝18ずつとなります。
(2)△ABC＋△FBC＋△ACD＋△FCDはCに集まる4面ですので和が18です。
△ADE＋△FDE＋△ACD＋△FCDもDに集まる4面ですので和が18です。
それぞれから△ACD＋△FCDを引いても大きさは同じですから，△ABC＋△FBC＝△ADE＋△FDEとなりますね。
文章をうまくあてはまるように書くのがちょいと難しいですが，『どちらも[4面の和の18から三角形ACDに書かれた数と
三角形FCDに書かれた数を引き算]すると，同じ値になるから。』とでもしておきましょう。
(3)見取図のままだと書き込みにくいので，真上から見た，段ごとの図に直してみましょう。
｢1｣の場所は△ABCと決まっており，残りの7面は大きく分けて3種類に分かれます。どのような3種類かというと，
・｢1｣と辺をはさんで隣り合っている面(図の○)
・｢1｣と1つの頂点だけ共有している面(図の△)
・｢1｣と平行な面(図の×)
です。ここからの解説は見取図も参考にしながら見てくださいね。
例えば，△ADEに8が入ったとすると，(2)で△ABC＋△FBC＝△ACD＋△FCDを証明していますから，
1＋△FBC＝8＋△FDEということになります。が，残った数字は2～7ですから，これを満たすことはできません。
よって，△ADEに8が入ることは不可能ということになります。
また，△ADEと同じ位置関係にある，他の△の面にも8は入りません。
同様に，△FDEに8が入った場合も，1＋△FBC＝△ADE＋8ということになり，残った数字は2～7を使って
これを満たすことはできません。
つまり，｢8｣が入る可能性のある面は○の面である，△AEB，△ACD，△FBCとなります。
(4)まずは，展開図に正8面体の頂点打ちをしておきましょう。最も離れた点が，展開図ではひし形の長い方の
対角線上に出てきますから，(A，F)(B，D)(C，E)をペアにして書き込んでいきましょう。
※ここでは，△ABCに｢1｣が書き込まれたものとして頂点を打っています。
同時に，段ごとの図にも数字を書きこんでおきます。
さて，ここから使うのは4面の和が18という条件です。
上4面の和から考えて，ア＋イ＝18－3＝15です。
また，左4面の和から考えて，ア＋ウ＝18－4＝14です。
残っている数は4，5，6，7，8ですから，この条件を満たす組み合わせは(ア，イ，ウ)＝(8，7，6)だけです。
さらに，後ろ4面の和から考えて，エ＝18－13＝5になりますから，残ったオは4になります。
あとは下のように展開図に数字を書きこめばよいだけです。
段ごとの図を見ながら，数の上に来るアルファベットに注意して書き込みましょう。
別の学校のところでもかきましたが，立体問題はいかに平面での処理に持ち込めるかです。
当然，全てが平面処理というわけにはいかないでしょうが，どのようにすれば平面的に考えられるかを意識しましょう。
(池)
今回は開成中学校の入試問題に目を向けてみます。
問題の分量は大問4題、小問数は11題。
64.6⇒72.1⇒55.7⇒68.3⇒61.9
ここ5年の合格者平均を見ていると，3年前の上がり過ぎと2年前の下がり過ぎがあるので安定していないように見えますが，
学校側としては65点あたりに落ち着いてくれればという風に考えていそうですね。
つまり，7割が目標点となりそうです。
小問3つ間違いに抑えたいところですから，立体図形がNGの子にはかなりきついテストでした。
今回は，大問4を取り上げたいと思います。
(問題)H26 開成中学校 算数 大問1番
図1のように1から8までの数字がかかれている8枚の正三角形を用いて，図2のような立体を作ります。ただし，図1
の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Aまたは点Fのどちらかに重ね，すべての数字が表から見えるようにします。
また，立体の6個の頂点A，B，C，D，E，Fについて，それぞれの頂点に集まっている4枚の正三角形に
書かれている数の合計はすべて同じになっています。
(1)1つの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。
(2)辺BCを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合計と，辺DEを1辺とする2枚の正三角形に
書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の空欄をうめなさい。
『どちらも[ 空 欄 ]すると，同じ値になるから。』
(3)三角形ABCに書かれている数が1であるとします。8が書かれている三角形として可能性があるものを
すべて選び，解答欄の三角形を○で囲みなさい。
(4)この立体の展開図で，1，2，3の書かれている三角形の配置が図3のようになるとき，他の数字を
向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。
(1)Aに集まっている4面とFに集まっている4面，この8面は重複がありません。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36を2つの頂点で分け合っているわけですから，36÷2＝18ずつとなります。
(2)△ABC＋△FBC＋△ACD＋△FCDはCに集まる4面ですので和が18です。
△ADE＋△FDE＋△ACD＋△FCDもDに集まる4面ですので和が18です。
それぞれから△ACD＋△FCDを引いても大きさは同じですから，△ABC＋△FBC＝△ADE＋△FDEとなりますね。
文章をうまくあてはまるように書くのがちょいと難しいですが，『どちらも[4面の和の18から三角形ACDに書かれた数と
三角形FCDに書かれた数を引き算]すると，同じ値になるから。』とでもしておきましょう。
(3)見取図のままだと書き込みにくいので，真上から見た，段ごとの図に直してみましょう。
｢1｣の場所は△ABCと決まっており，残りの7面は大きく分けて3種類に分かれます。どのような3種類かというと，
・｢1｣と辺をはさんで隣り合っている面(図の○)
・｢1｣と1つの頂点だけ共有している面(図の△)
・｢1｣と平行な面(図の×)
です。ここからの解説は見取図も参考にしながら見てくださいね。
例えば，△ADEに8が入ったとすると，(2)で△ABC＋△FBC＝△ACD＋△FCDを証明していますから，
1＋△FBC＝8＋△FDEということになります。が，残った数字は2～7ですから，これを満たすことはできません。
よって，△ADEに8が入ることは不可能ということになります。
また，△ADEと同じ位置関係にある，他の△の面にも8は入りません。
同様に，△FDEに8が入った場合も，1＋△FBC＝△ADE＋8ということになり，残った数字は2～7を使って
これを満たすことはできません。
つまり，｢8｣が入る可能性のある面は○の面である，△AEB，△ACD，△FBCとなります。
(4)まずは，展開図に正8面体の頂点打ちをしておきましょう。最も離れた点が，展開図ではひし形の長い方の
対角線上に出てきますから，(A，F)(B，D)(C，E)をペアにして書き込んでいきましょう。
※ここでは，△ABCに｢1｣が書き込まれたものとして頂点を打っています。
同時に，段ごとの図にも数字を書きこんでおきます。
さて，ここから使うのは4面の和が18という条件です。
上4面の和から考えて，ア＋イ＝18－3＝15です。
また，左4面の和から考えて，ア＋ウ＝18－4＝14です。
残っている数は4，5，6，7，8ですから，この条件を満たす組み合わせは(ア，イ，ウ)＝(8，7，6)だけです。
さらに，後ろ4面の和から考えて，エ＝18－13＝5になりますから，残ったオは4になります。
あとは下のように展開図に数字を書きこめばよいだけです。
段ごとの図を見ながら，数の上に来るアルファベットに注意して書き込みましょう。
別の学校のところでもかきましたが，立体問題はいかに平面での処理に持ち込めるかです。
当然，全てが平面処理というわけにはいかないでしょうが，どのようにすれば平面的に考えられるかを意識しましょう。
(池)
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