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算数・数学 マメ知識No.5(重複組み合わせ)

2010.04.05 21:20|マメ知識集
今回のマメ知識のテーマは「重複組み合わせ」です。

例えば,次のような問題。

赤,青,黄3色のボールを組み合わせて全部で6個にしたいと思います。
3色の個数の組み合わせは何通りありますか。
ただし,使わないボールがあってもよいものとします。


これを,「赤が6個の場合」,「5個の場合」,「4個の場合」…とかで場合分けしていくと大変なことになりますね。そこでこう考えてみましょう。

ボールを入れる箱を6個用意します。
□□□□□□

そして,次にしきりを,ボールの種類より1個少ない2個用意します。
||

この6個の箱の間に2個の仕切りを立て,左側の仕切りより左の箱に「赤」,2つの仕切りの間の箱に「青」,右側の仕切りより右の箱に「黄」を入れることに決めます。

つまり,例えば,
□□|□|□□□
の場合,
赤赤|青|黄黄黄
となり,

|□|□□□□□
の場合は,
|青|黄黄黄黄黄
と,なります(左側の仕切りより左の箱が無い場合,赤は0個になります)。

つまり,この問題は「6個の箱と2個の仕切りの並べ方は何通りありますか」と同じ問題になりますので,答えは8C228(通り)となります。

では,仕上げ。

赤,青,黄,白4色のボールを組み合わせて全部で7個にしたいと思います。
4色の個数の組み合わせは何通りありますか。
ただし,使わないボールがあってもよいものとします。


「7個の箱と3個の仕切りの並べ方は何通りありますか」と同じ問題になるので,答えは10C3120(通り)となりますね?
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